24.3.1 锐角三角函数 同步练习 2021-2022学年华东师大版数学九年级上册（word版含答案）
文档属性
| 名称 | 24.3.1 锐角三角函数 同步练习 2021-2022学年华东师大版数学九年级上册（word版含答案） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 431.1KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 华师大版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2021-08-31 08:14:13 | ||
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文档简介
24.3.1
锐角三角函数
一、单选题
1．已知在中，，则下列式子中正确的是（
）
A．
B．
C．
D．
2．在中，，，，那么的值为（
）．
A．
B．
C．
D．
3．如图，梯子（长度不变）跟地面所成的锐角为∠A，关于∠A的三角函数值与梯子的倾斜程度之间，叙述正确的是（
）
A．sinA的值越大，梯子越陡
B．cosA的值越大，梯子越陡
C．tanA的值越小，梯子越陡
D．陡缓程度与∠A的三角函数值无关
4．如图，在平面直角坐标系内有一点P（3，4），连接OP，则OP与x轴正方向所夹锐角α的正弦值是（ ）
A．
B．
C．
D．
5．如图，在中，，，，则的长为（
）
A．
B．
C．
D．
6．在中，，那么等于（
）
A．
B．
C．
D．
7．如图，在Rt△ABC中，，，cosA=，则的长为（
）
A．3
B．4
C．5
D．6
8．如图，已知菱形的对角线相交于点O，若，则的长是（
）
A．1
B．2
C．3
D．4
9．下列各式中正确的是（
）
A．
B．
C．
D．
10．sin60°＋cos30°的值是（ ）
A．
B．
C．
D．1
11．如图，在中，于点，若，则的值为（
）
A．
B．
C．
D．
12．若锐角A满足tana＝，则sina的值是（ ）
A．
B．
C．
D．
二、填空题
13．已知为锐角，且，则______．
14．在中，，，，则的长为______．
15．如图，在四边形中，连接，，，．若，，则______．
16．如图，折叠矩形，使D落在边上的F处，若折痕，则_________．
17．如图，在边长为1的等边△ABC中，AD是BC边上的高，连接BP，则BP+的最小值是__．
三、解答题
18．计算：
（1）；
（2）．
19．如图，矩形中为边上一点，将沿AE翻折后，点B恰好落在对角线的中点F上．
（1）证明：；
（2）若，求折痕的长度
20．如图，将矩形沿对角线对折，点落在处，与相交于点．
（1）求证：是等腰三角形；
（2）若，，求的正弦值．
参考答案
1．A
解：在中，，
，
，，，
故选:A．
2．A
解：在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5，BC=3，
则sinA=，
故选：A．
3．A
解：A选项，sinA的值越大，∠A越大，梯子越陡，A正确；
B选项，cosA的值越大，∠A越小，梯子越缓，B错误；
C选项，tanA的值越小，∠A越小，梯子越缓，C错误；
D选项，根据∠A的三角函数值可以判断梯子的陡缓程度，D错误；
故选：A．
4．D
解：作PM⊥x轴于点M，
∵P（3，4），
∴PM=4，OM=3，
由勾股定理得：OP=5，
∴，
故选：D
5．D
解：在△ABC中，∠C=90°，sinA=，
∵BC=h，∠A=α，
∴sinα=，
∴AB=，
故选：D．
6．B
解：如图，∵∠C=90°，
∴cosA=．
故选：B．
．
7．A
解：∵在△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，cosA＝，
∴cosA＝，
∴AB＝5，
∴BC＝．
故选A．
8．B
解：∵四边形ABCD是菱形，AC=6，
∴AC⊥BD，OA=AC=3，BD=2OB．
在Rt△OAB中，∵∠AOD=90°，
∴tan∠BAC==，
∴OB=1，
∴BD=2．
故选：B．
9．C
解：A
，∵tan45?=1
∴A错误
B，∵
cos45?=
∴
B
错误
C
，∵sin30?=
∴C正确
D
，∵tan60?=；
∴D错误
故选：C．
10．C
解：原式=；
故选C．
11．B
解：∵在中，，
∴,
∵于点，
∴，
∴，，
∴∽，
∴，即，，
∵，
∴设，，
∴，
∴，
故选：B．
12．B
解：∵tana＝，
∴sina＝＝，
故选：B．
13．
解：∵，，
∴，
又∵为锐角，
∴.
故答案为：.
14．5或7
解：过点作垂线
当为锐角三角形时，如下图
设
∵，
∴，
又∵，
∴，解得
∴
又∵
∴
∴
当为钝角三角形时，如下图
∵，
∴，
又∵，
∴，解得
∴
又∵，
∴
∴
故答案为：5或7
15．
解：如图：过点C作BD垂线，垂足为E，
在中，，
，
设BE为x，DE为y，
则根据勾股定理可得：，
即：，
，，
，
，
，
，即；
根据，
解得：，
则，
故答案为：．
16．10
解：∵tan∠EFC=，
设CE=3k，则CF=4k，由勾股定理得EF=DE==5k，
∴DC=AB=8k，
∵∠AFB+∠BAF=90°，∠AFB+∠EFC=90°，
∴∠BAF=∠EFC，
∴tan∠BAF=tan∠EFC=，
∴BF=6k，AF=BC=AD=10k，
在Rt△AFE中，
由勾股定理得AE==k=5，
解得：k=1，
∴BC=10×1=10；
故答案为：10．
17．．
解：过B作BH⊥AC于H，交AD于P'，过P作PQ⊥AC于点Q，如图：
∵等边△ABC，AD是BC边上的高，
∴∠DAC＝30°，
在Rt△APQ中，PQ＝AP?sin∠DAC＝AP?sin30°
，
∴BP+AP=BP+PQ，
BP+AP最小即是BP+PQ最小，当B、P、Q共线，Q与H重合时，BP+AP的最小值即是BH的长度，
∵边长为1的等边△ABC，BH⊥AC，
∴∠BHC＝90°，∠C＝60°，
∴BH＝BC?sinC＝1×sin60°＝，
∴BP+AP的最小值是，
故答案为：．
18．（1）；（2）．
解：（1）原式
；
（2）原式
．
19．（1）证明见解析；（2）
解：（1）
矩形，
由对折可得：
为的中点，
（2），
由折叠可得：
20．（1）见解析；（2）
解：（1）∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠ADB=∠CBD，
由折叠性质得：∠DBF=∠CBD，
∴∠ADB=∠DBF，
∴BF=DF，
∴△BFD是等腰三角形；
（2）∵四边形ABCD是矩形，
∴AD=BC=4，AB=CD=2，∠A=90°，
设BF=DF=x，则AF=4﹣x，
在Rt△ABF中，由勾股定理得：22+（4﹣x）2=
x2
解得：x=
，
∴sin∠AFB=
，
即
的正弦值为．
锐角三角函数
一、单选题
1．已知在中，，则下列式子中正确的是（
）
A．
B．
C．
D．
2．在中，，，，那么的值为（
）．
A．
B．
C．
D．
3．如图，梯子（长度不变）跟地面所成的锐角为∠A，关于∠A的三角函数值与梯子的倾斜程度之间，叙述正确的是（
）
A．sinA的值越大，梯子越陡
B．cosA的值越大，梯子越陡
C．tanA的值越小，梯子越陡
D．陡缓程度与∠A的三角函数值无关
4．如图，在平面直角坐标系内有一点P（3，4），连接OP，则OP与x轴正方向所夹锐角α的正弦值是（ ）
A．
B．
C．
D．
5．如图，在中，，，，则的长为（
）
A．
B．
C．
D．
6．在中，，那么等于（
）
A．
B．
C．
D．
7．如图，在Rt△ABC中，，，cosA=，则的长为（
）
A．3
B．4
C．5
D．6
8．如图，已知菱形的对角线相交于点O，若，则的长是（
）
A．1
B．2
C．3
D．4
9．下列各式中正确的是（
）
A．
B．
C．
D．
10．sin60°＋cos30°的值是（ ）
A．
B．
C．
D．1
11．如图，在中，于点，若，则的值为（
）
A．
B．
C．
D．
12．若锐角A满足tana＝，则sina的值是（ ）
A．
B．
C．
D．
二、填空题
13．已知为锐角，且，则______．
14．在中，，，，则的长为______．
15．如图，在四边形中，连接，，，．若，，则______．
16．如图，折叠矩形，使D落在边上的F处，若折痕，则_________．
17．如图，在边长为1的等边△ABC中，AD是BC边上的高，连接BP，则BP+的最小值是__．
三、解答题
18．计算：
（1）；
（2）．
19．如图，矩形中为边上一点，将沿AE翻折后，点B恰好落在对角线的中点F上．
（1）证明：；
（2）若，求折痕的长度
20．如图，将矩形沿对角线对折，点落在处，与相交于点．
（1）求证：是等腰三角形；
（2）若，，求的正弦值．
参考答案
1．A
解：在中，，
，
，，，
故选:A．
2．A
解：在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5，BC=3，
则sinA=，
故选：A．
3．A
解：A选项，sinA的值越大，∠A越大，梯子越陡，A正确；
B选项，cosA的值越大，∠A越小，梯子越缓，B错误；
C选项，tanA的值越小，∠A越小，梯子越缓，C错误；
D选项，根据∠A的三角函数值可以判断梯子的陡缓程度，D错误；
故选：A．
4．D
解：作PM⊥x轴于点M，
∵P（3，4），
∴PM=4，OM=3，
由勾股定理得：OP=5，
∴，
故选：D
5．D
解：在△ABC中，∠C=90°，sinA=，
∵BC=h，∠A=α，
∴sinα=，
∴AB=，
故选：D．
6．B
解：如图，∵∠C=90°，
∴cosA=．
故选：B．
．
7．A
解：∵在△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，cosA＝，
∴cosA＝，
∴AB＝5，
∴BC＝．
故选A．
8．B
解：∵四边形ABCD是菱形，AC=6，
∴AC⊥BD，OA=AC=3，BD=2OB．
在Rt△OAB中，∵∠AOD=90°，
∴tan∠BAC==，
∴OB=1，
∴BD=2．
故选：B．
9．C
解：A
，∵tan45?=1
∴A错误
B，∵
cos45?=
∴
B
错误
C
，∵sin30?=
∴C正确
D
，∵tan60?=；
∴D错误
故选：C．
10．C
解：原式=；
故选C．
11．B
解：∵在中，，
∴,
∵于点，
∴，
∴，，
∴∽，
∴，即，，
∵，
∴设，，
∴，
∴，
故选：B．
12．B
解：∵tana＝，
∴sina＝＝，
故选：B．
13．
解：∵，，
∴，
又∵为锐角，
∴.
故答案为：.
14．5或7
解：过点作垂线
当为锐角三角形时，如下图
设
∵，
∴，
又∵，
∴，解得
∴
又∵
∴
∴
当为钝角三角形时，如下图
∵，
∴，
又∵，
∴，解得
∴
又∵，
∴
∴
故答案为：5或7
15．
解：如图：过点C作BD垂线，垂足为E，
在中，，
，
设BE为x，DE为y，
则根据勾股定理可得：，
即：，
，，
，
，
，
，即；
根据，
解得：，
则，
故答案为：．
16．10
解：∵tan∠EFC=，
设CE=3k，则CF=4k，由勾股定理得EF=DE==5k，
∴DC=AB=8k，
∵∠AFB+∠BAF=90°，∠AFB+∠EFC=90°，
∴∠BAF=∠EFC，
∴tan∠BAF=tan∠EFC=，
∴BF=6k，AF=BC=AD=10k，
在Rt△AFE中，
由勾股定理得AE==k=5，
解得：k=1，
∴BC=10×1=10；
故答案为：10．
17．．
解：过B作BH⊥AC于H，交AD于P'，过P作PQ⊥AC于点Q，如图：
∵等边△ABC，AD是BC边上的高，
∴∠DAC＝30°，
在Rt△APQ中，PQ＝AP?sin∠DAC＝AP?sin30°
，
∴BP+AP=BP+PQ，
BP+AP最小即是BP+PQ最小，当B、P、Q共线，Q与H重合时，BP+AP的最小值即是BH的长度，
∵边长为1的等边△ABC，BH⊥AC，
∴∠BHC＝90°，∠C＝60°，
∴BH＝BC?sinC＝1×sin60°＝，
∴BP+AP的最小值是，
故答案为：．
18．（1）；（2）．
解：（1）原式
；
（2）原式
．
19．（1）证明见解析；（2）
解：（1）
矩形，
由对折可得：
为的中点，
（2），
由折叠可得：
20．（1）见解析；（2）
解：（1）∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠ADB=∠CBD，
由折叠性质得：∠DBF=∠CBD，
∴∠ADB=∠DBF，
∴BF=DF，
∴△BFD是等腰三角形；
（2）∵四边形ABCD是矩形，
∴AD=BC=4，AB=CD=2，∠A=90°，
设BF=DF=x，则AF=4﹣x，
在Rt△ABF中，由勾股定理得：22+（4﹣x）2=
x2
解得：x=
，
∴sin∠AFB=
，
即
的正弦值为．