第四章 4.3
请同学们认真完成
[练案8]
A级 基础巩固
一、选择题
1．函数y＝ex与y＝ln
x的图像( )
A．关于原点对称
B．关于x轴对称
C．关于y轴对称
D．关于直线y＝x对称
2．函数y＝f(x)的图像经过第三、四象限，则y＝f－1(x)的图像经过( )
A．第一、二象限
B．第二、三象限
C．第三、四象限
D．第一、四象限
3．函数y＝f(x)的图像过点(1,3)，则它的反函数的图像过点( )
A．(1,2)
B．(2,1)
C．(1,3)
D．(3,1)
4．若函数y＝f(x)是函数y＝ax(a＞0且a≠1)的反函数，且f(2)＝1，则f(8)＝( )
A．3
B．
C．－3
D．－
5．(多选题)函数y＝2|x|在下面的区间上，不存在反函数的是( )
A．[－1,1]
B．(－∞，0]
C．[－2,4]
D．[2,4]
二、填空题
6．已知f(x)＝2x＋b的反函数为f－1(x)，若y＝f－1(x)的图像经过点Q(5,2)，则b＝____．
7．函数f(x)＝的反函数是____．
8．若函数y＝f(x)的反函数是y＝－(－1≤x≤0)，则原函数的定义域是___，f(－1)＝____．
三、解答题
9．已知y＝x＋a与y＝3－bx互为
反函数，求a、b的值．
．
10．求下列函数的反函数．
(1)f(x)＝；
(2)f(x)＝1－(－1≤x＜0)；
(3)f(x)＝．
B级 素养提升
一、选择题
1．若f(lnx＋1)＝x，则f(5)＝( )
A．log5e
B．ln
4
C．e4
D．4e
2．若函数y＝的图像关于直线y＝x对称，则a的值为( )
A．1
B．－1
C．±1
D．任意实数
3．已知函数y＝f(x)与y＝ex互为反函数，函数y＝g(x)的图像与y＝f(x)的图像关于x轴对称，若g(a)＝1，则实数a的值为( )
A．－e
B．－
C．
D．e
4．函数y＝10x2－1(0＜x≤1)的反函数是( )
A．y＝－(x＞)
B．y＝(x＞)
C．y＝－(＜x≤1)
D．y＝(＜x≤1)
二、填空题
5．若点(1,2)既在y＝的图像上，又在其反函数的图像上，则a＝____，b＝____．
6．已知函数f(x)的反函数为g(x)＝1＋2lg
x(x＞0)，则f(1)＋g(1)＝____．
7．设a＞0且a≠1，若函数f(x)＝ax－1＋2的反函数的图像经过定点P，则点P的坐标是____．
三、解答题
8．已知函数f(x)＝loga(2－x)(a＞1)．
(1)求函数f(x)的定义域、值域；
(2)求函数f(x)的反函数f－1(x)；
(3)判断f－1(x)的单调性．
9．已知f(x)＝loga(ax－1)(a＞0，且a≠1)．
(1)求f(x)的定义域；
(2)讨论f(x)的单调性；
(3)解方程f(2x)＝f－1(x)．
第四章 4.3
请同学们认真完成
[练案8]
A级 基础巩固
一、选择题
1．函数y＝ex与y＝ln
x的图像( D )
A．关于原点对称
B．关于x轴对称
C．关于y轴对称
D．关于直线y＝x对称
[解析] ∵函数y＝ex与y＝ln
x是互为反函数，
∴其图像关于直线y＝x对称．
2．函数y＝f(x)的图像经过第三、四象限，则y＝f－1(x)的图像经过( B )
A．第一、二象限
B．第二、三象限
C．第三、四象限
D．第一、四象限
[解析] 因为第三、四象限关于y＝x对称的象限为第三、二象限，故y＝f－1(x)的图像经过第二、三象限．
3．函数y＝f(x)的图像过点(1,3)，则它的反函数的图像过点( D )
A．(1,2)
B．(2,1)
C．(1,3)
D．(3,1)
[解析] ∵互为反函数的图像关于直线y＝x对称，
∴点(1,3)关于直线y＝x的对称点为(3,1)，故选D．
4．若函数y＝f(x)是函数y＝ax(a＞0且a≠1)的反函数，且f(2)＝1，则f(8)＝( A )
A．3
B．
C．－3
D．－
[解析] 由题意可知f(x)＝logax，f(2)＝loga2＝1，a＝2，
即f(x)＝log2x，f(8)＝log28＝3．
5．(多选题)函数y＝2|x|在下面的区间上，不存在反函数的是( AC )
A．[－1,1]
B．(－∞，0]
C．[－2,4]
D．[2,4]
[解析] 函数若在区间上单调，则存在反函数，易知函数y＝2|x|在[－1,1]，[－2,4]上不单调．
二、填空题
6．已知f(x)＝2x＋b的反函数为f－1(x)，若y＝f－1(x)的图像经过点Q(5,2)，则b＝__1__．
[解析] 由互为反函数的图像关于直线y＝x对称可知，点Q′(2,5)必在f(x)＝2x＋b的图像上，
∴5＝22＋b，
∴b＝1．
7．函数f(x)＝的反函数是__f－1(x)＝4－x2(x≥0)__．
[解析] 函数的值域为[0，＋∞)，令y＝，
将其中的x，y对调得x＝，解得y＝4－x2，
所以反函数f－1(x)＝4－x2(x≥0)．
8．若函数y＝f(x)的反函数是y＝－(－1≤x≤0)，则原函数的定义域是__[－，－1]__，f(－1)＝__－1__．
[解析] 因为原函数的定义域为反函数的值域，又－1≤x≤0，所以1≤2－x2≤2，即y∈[－，－1]．
令－＝－1，解得x＝±1，因为原函数的定义域为[－，－1]，所以x＝－1．
三、解答题
9．已知y＝x＋a与y＝3－bx互为
反函数，求a、b的值．
[解析] 由y＝x＋a，得x＝2y－2a，
∴y＝2x－2A．
即函数y＝x＋a的反函数为y＝2x－2a，
由已知得函数y＝2x－2a与函数
y＝3－bx为同一函数，
∴，∴．
10．求下列函数的反函数．
(1)f(x)＝；
(2)f(x)＝1－(－1≤x＜0)；
(3)f(x)＝．
[解析] (1)设y＝f(x)＝．
∵x≠－，∴y≠0．
由y＝，解得x＝．
∴f－1(x)＝(x≠0)．
(2)设y＝f(x)＝1－．
∵－1≤x＜0，∴0＜y≤1．
由y＝1－，解得x＝－．
∴f－1(x)＝－(0＜x≤1)．
(3)设y＝f(x)＝，
当0≤x≤1时，－1≤y≤0，
由y＝x2－1，得x＝；
当－1≤x＜0时，0＜y≤1，
由y＝x2，得x＝－．
∴f－1(x)＝．
B级 素养提升
一、选择题
1．若f(lnx＋1)＝x，则f(5)＝( C )
A．log5e
B．ln
4
C．e4
D．4e
[解析] 解法一：令lnx＋1＝t，则x＝et－1，∴f(t)＝et－1，
∴f(5)＝e5－1＝e4．
解法二：令lnx＋1＝5，则lnx＝4，
∴x＝e4，∴f(5)＝e4．
2．若函数y＝的图像关于直线y＝x对称，则a的值为( B )
A．1
B．－1
C．±1
D．任意实数
[解析] 因为函数图像本身关于直线y＝x对称，故可知原函数与反函数是同一函数，所以先求反函数，再与原函数作比较即可得出答案；或利用反函数的性质求解，依题意，知点(1，)与(，1)均在原函数图像上，故可得a＝－1．
3．已知函数y＝f(x)与y＝ex互为反函数，函数y＝g(x)的图像与y＝f(x)的图像关于x轴对称，若g(a)＝1，则实数a的值为( C )
A．－e
B．－
C．
D．e
[解析] ∵函数y＝f(x)与y＝ex互为反函数，
∴f(x)＝ln
x，
又∵函数y＝g(x)的图像与y＝f(x)的图像关于x轴对称，∴g(x)＝－ln
x，
∴g(a)＝－ln
a＝1，∴ln
a＝－1，∴a＝．
4．函数y＝10x2－1(0＜x≤1)的反函数是( D )
A．y＝－(x＞)
B．y＝(x＞)
C．y＝－(＜x≤1)
D．y＝(＜x≤1)
[解析] 由y＝10x2－1(0＜x≤1)，得x2－1＝lg
y，
即x＝．
又∵0＜x≤1，即－1＜x2－1≤0，
∴＜10x2－1≤1，即原函数的值域为(，1]．
∴原函数的反函数为y＝(＜x≤1)．
二、填空题
5．若点(1,2)既在y＝的图像上，又在其反函数的图像上，则a＝__－3__，b＝__7__．
[解析] 由题意可知点(1,2)和点(2,1)都在y＝的图像上，
∴，解得．
6．已知函数f(x)的反函数为g(x)＝1＋2lg
x(x＞0)，则f(1)＋g(1)＝__2__．
[解析] 令g(x)＝1，则2lg
x＝0，∴x＝1．
∵f(x)与g(x)互为反函数，
∴f(1)＝1，g(1)＝1＋2lg
1＝1，
∴f(1)＋g(1)＝2．
7．设a＞0且a≠1，若函数f(x)＝ax－1＋2的反函数的图像经过定点P，则点P的坐标是__(3,1)__．
[解析] 因为函数f(x)＝ax－1＋2经过定点(1,3)，所以函数f(x)的反函数的图像经过定点P(3,1)．
三、解答题
8．已知函数f(x)＝loga(2－x)(a＞1)．
(1)求函数f(x)的定义域、值域；
(2)求函数f(x)的反函数f－1(x)；
(3)判断f－1(x)的单调性．
[解析] (1)要使函数f(x)有意义，需满足2－x＞0，即x＜2，
故原函数的定义域为(－∞，2)，值域为R．
(2)由y＝loga(2－x)得，2－x＝ay，即x＝2－ay．
∴f－1(x)＝2－ax(x∈R)．
(3)f－1(x)在R上是减函数．
证明如下：任取x1，x2∈R且x1＜x2，
∵f－1(x2)－f－1(x1)＝2－ax2－2＋ax1＝ax1－ax2，
∵a＞1，x1＜x2，∴ax1＜ax2即ax1－ax2＜0，
∴f－1(x2)＜f－1(x1)，
∴y＝f－1(x)在R上是减函数．
9．已知f(x)＝loga(ax－1)(a＞0，且a≠1)．
(1)求f(x)的定义域；
(2)讨论f(x)的单调性；
(3)解方程f(2x)＝f－1(x)．
[解析] (1)要使函数有意义，必须ax－1＞0，
当a＞1时，x＞0；
当0＜a＜1时，x＜0．
∴当a＞1时，f(x)的定义域为(0，＋∞)；
当0＜a＜1时，f(x)的定义域为(－∞，0)．
(2)当a＞1时，设0＜x1＜x2，则1＜ax1＜ax2，
故0＜ax1－1＜ax2－1，
∴loga(ax1－1)＜loga(ax2－1)，
∴f(x1)＜f(x2)．
故当a＞1时，f(x)在(0，＋∞)上是增函数；
类似地，当0＜a＜1时，f(x)在(－∞，0)上为增函数．
(3)令y＝loga(ax－1)，则ay＝ax－1，
∴x＝loga(ay＋1)．
∴f－1(x)＝loga(ax＋1)．
由f(2x)＝f－1(x)，得loga(a2x－1)＝loga(ax＋1)，
∴a2x－1＝ax＋1，
解得ax＝2或ax＝－1(舍去)，∴x＝loga2．第四章 4.3
1．函数y＝log3x的反函数是( )
A．y＝logx
B．y＝3x
C．y＝x
D．y＝x3
2．函数f(x)＝2x(0＜x≤2)的反函数的定义域为( )
A．(0，＋∞)
B．(1,4]
C．(0,1)
D．[4，＋∞)
3．若函数y＝f(x)是函数y＝2x的反函数，则f[f(2)]的值为____．
4．函数f(x)＝log3(x＋3)的反函数的图像与y轴的交点坐标是____．
5．已知f(x)＝，求f－1()的值．
第四章 4.3
1．函数y＝log3x的反函数是( B )
A．y＝logx
B．y＝3x
C．y＝x
D．y＝x3
[解析] ∵y＝log3x，∴3y＝x，∴y＝3x，故选B．
2．函数f(x)＝2x(0＜x≤2)的反函数的定义域为( B )
A．(0，＋∞)
B．(1,4]
C．(0,1)
D．[4，＋∞)
[解析] ∵0＜x≤2，∴1＜2x≤4，
∵函数f(x)＝2x(0＜x≤2)的值域为其反函数的定义域，故选B．
3．若函数y＝f(x)是函数y＝2x的反函数，则f[f(2)]的值为__0__．
[解析] 由题意知f(x)＝log2x，
∴f(2)＝log22＝1，
∴f[f(2)]＝f(1)＝log21＝0．
4．函数f(x)＝log3(x＋3)的反函数的图像与y轴的交点坐标是__(0，－2)__．
[解析] 函数f(x)的反函数的图像与y轴的交点坐标即为函数f(x)与x轴的交点关于直线y＝x的对称点的坐标，令log3(x＋3)＝0，得x＋3＝1，∴x＝－2，∴函数f(x)与x轴的交点坐标为(－2,0)，点(－2,0)关于直线y＝x的对称点坐标为(0，－2)．
5．已知f(x)＝，求f－1()的值．
[解析] 令y＝，
∴y＋y·3x＝1－3x，∴3x＝，
∴x＝log3，∴y＝log3，∴f－1(x)＝log3．
∴f－1()＝log3＝log3＝－2．
故f－1()的值为－2．
