第四章 4.4
1．在函数y＝，y＝2x2，y＝x2＋x，y＝1中幂函数的个数为( )
A．0
B．1
C．2
D．3
2．已知幂函数y＝f(x)的图像过点(4,2)，则f的值为( )
A．
B．
C．1
D．2
3．函数y＝x－2在区间上的最大值是____．
4．若函数f(x)＝(2m＋3)xm2－3是幂函数，则m的值为____．
5．比较下列各组中两个数的大小：
(1)()0.5与()0.5；
(2)(－)－1与(－)－1；
(3)()
与()．
第四章 4.4
1．在函数y＝，y＝2x2，y＝x2＋x，y＝1中幂函数的个数为( B )
A．0
B．1
C．2
D．3
[解析] 依据幂函数的定义进行判断．函数y＝＝x－2为幂函数，而函数y＝2x2，y＝x2＋x显然不是幂函数，函数y＝1与y＝x0＝1(x≠0)不是同一函数，故它也不是幂函数，故选B．
2．已知幂函数y＝f(x)的图像过点(4,2)，则f的值为( B )
A．
B．
C．1
D．2
[解析] 设f(x)＝xα，由已知，得2＝4α，∴α＝．
∴f(x)＝x，∴f＝＝．
3．函数y＝x－2在区间上的最大值是__9__．
[解析] 由幂函数的性质可知α＜0时，y＝xα在(0，＋∞)上是减函数，故y＝x－2在区间上也是减函数，则ymax＝f＝－2＝9．
4．若函数f(x)＝(2m＋3)xm2－3是幂函数，则m的值为__－1__．
[解析] 由幂函数的定义可得，2m＋3＝1，即m＝－1．
5．比较下列各组中两个数的大小：
(1)()0.5与()0.5；
(2)(－)－1与(－)－1；
(3)()
与()．
[解析] (1)∵幂函数y＝x0.5在(0，＋∞)上是单调递增的，又＞，∴()0.5＞()0.5．
(2)∵幂函数y＝x－1在(－∞，0)上是单调递减的，
又－＜－，∴(－)－1＞(－)－1．
(3)∵函数y1＝()x为减函数，又＞，
∴()＞()，
又∵函数y2＝x在(0，＋∞)上是增函数，且＞，
∴()＞()，∴()＞()．第四章 4.4
A级 基础巩固
一、选择题
1．下列函数是幂函数的是( )
A．y＝5x
B．y＝x5
C．y＝5x
D．y＝(x＋1)5
2．设α∈，则使函数y＝xα的定义域为R且为奇函数的所有α值为( )
A．1,3
B．－1,1
C．－1,3
D．－1,1,3
3．如图所示为幂函数y＝xm与y＝xn在第一象限内的图像，则( )
A．－1＜n＜0＜m＜1
B．n＜0＜m＜1
C．－1＜n＜0，m＜1
D．n＜－1，m＞1
4．(多选题)已知幂函数f(x)的图像经过点，则幂函数f(x)具有的性质是( )
A．在其定义域上为增函数
B．在(0，＋∞)上为减函数
C．奇函数
D．定义域为R
5．已知幂函数y＝(m2－5m－5)x2m＋1在(0，＋∞)上单调递减，则实数m＝( )
A．1
B．－1
C．6
D．－1或6
二、填空题
6．已知点在幂函数y＝f(x)的图像上，则f(x)的解析式是____，f＝____．
7．若函数f(x)＝，则f{f[f(0)]}的值为____．
8．若a＝，b＝，c＝(－2)3，则a、b、c的大小关系为__．
三、解答题
9．已知函数f(x)＝(m2＋2m)·xm2＋m－1，m为何值时，f(x)是
(1)正比例函数；
(2)反比例函数；
(3)二次函数；
(4)幂函数．
10．比较下列各组数值的大小：
(1)3－和3.1－；
(2)－8－和－()；
(3)4.1，3.8－和(－1.9)．
B级 素养提升
一、选择题
1．下列命题中正确的是( )
A．幂函数的图像不经过点(－1,1)
B．幂函数的图像都经过点(0,0)和点(1,1)
C．若幂函数f(x)＝xα是奇函数，则f(x)是定义域上的增函数
D．幂函数的图像不可能出现在第四象限
2．函数y＝x3与函数y＝x的图像( )
A．关于原点对称
B．关于x轴对称
C．关于y轴对称
D．关于直线y＝x对称
3．设函数y＝ax－2－(a＞0，且a≠1)的图像恒过定点A，若点A在幂函数y＝xα的图像上，则该幂函数的单调递减区间是( )
A．(－∞，0)
B．(0，＋∞)
C．(－∞，0)，(0，＋∞)
D．(－∞，＋∞)
4．若(a＋1)
－＜(3－2a)
－，则a的取值范围是( )
A．
B．
C．
D．
二、填空题
5．已知幂函数f(x)＝xα的图像过点，则函数g(x)＝(x－1)f(x)在区间上的最小值是____．
6．已知幂函数f(x)＝x－m2＋2m＋3(m∈Z)为偶函数，且在区间(0，＋∞)上是增函数，则函数f(x)的解析式为___．
7．幂函数y＝xα，当α取不同的正数时，在区间[0,1]上它们的图像是一族美丽的曲线．设点A(1,0)，B(0,1)，连接AB，线段AB恰好被其中的两个幂函数y＝xα，y＝xβ的图像三等分，即有BM＝MN＝NA，那么，αβ等于____．
三、解答题
8．已知幂函数f(x)＝x9－3m(m∈N
)的图像关于原点对称，且在R上单调递增．
(1)求f(x)解析式；
(2)求满足f(a＋1)＋f(3a－4)＜0的a的取值范围．
9．已知幂函数f(x)＝xm2－2m－3(m∈Z)的图像关于y轴对称，且在区间(0，＋∞)上是减函数，求满足(3＋2a)－＞(a－1)－的实数a的取值范围．
第四章 4.4
请同学们认真完成
[练案9]
A级 基础巩固
一、选择题
1．下列函数是幂函数的是( B )
A．y＝5x
B．y＝x5
C．y＝5x
D．y＝(x＋1)5
[解析] 根据幂函数的概念可知选项B正确．
2．设α∈，则使函数y＝xα的定义域为R且为奇函数的所有α值为( A )
A．1,3
B．－1,1
C．－1,3
D．－1,1,3
[解析] 当α＝1时，y＝x的定义域为R且为奇函数；当α＝3时，y＝x3的定义域为R且为奇函数；当α＝－1时，y＝x－1＝，定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，且为奇函数；当α＝时，y＝，定义域为[0，＋∞)，既不是奇函数，也不是偶函数，故选A．
3．如图所示为幂函数y＝xm与y＝xn在第一象限内的图像，则( B )
A．－1＜n＜0＜m＜1
B．n＜0＜m＜1
C．－1＜n＜0，m＜1
D．n＜－1，m＞1
[解析] 由幂函数图像的性质知n＜0,0＜m＜1．
4．(多选题)已知幂函数f(x)的图像经过点，则幂函数f(x)具有的性质是( BC )
A．在其定义域上为增函数
B．在(0，＋∞)上为减函数
C．奇函数
D．定义域为R
[解析] 设幂函数f(x)＝xα(α为常数)，
因为幂函数图像过点，
所以f(x)＝x－，所以由f(x)的性质知，
f(x)是奇函数，定义域为，
在(－∞，0)，(0，＋∞)上是单调递减函数．
5．已知幂函数y＝(m2－5m－5)x2m＋1在(0，＋∞)上单调递减，则实数m＝( B )
A．1
B．－1
C．6
D．－1或6
[解析] 由题意得，解得m＝－1．
二、填空题
6．已知点在幂函数y＝f(x)的图像上，则f(x)的解析式是__f(x)＝x3__，f＝__－__．
[解析] 设幂函数y＝f(x)＝xα，α为常数；把点的坐标代入解析式，
得α＝，解得α＝3，
所以幂函数y＝f(x)的解析式为f(x)＝x3．
f＝3＝－．
7．若函数f(x)＝，则f{f[f(0)]}的值为__1__．
[解析] 当x＝0时，
f(x)＝－2，∴f(0)＝－2；
当x＜0时，
f(x)＝(x＋3)
，
∴f(－2)＝(－2＋3)
＝1；
当x＞0时，f(x)＝x－，∴f(1)＝1．
∴f{f[f(0)]}＝1．
8．若a＝，b＝，c＝(－2)3，则a、b、c的大小关系为__a＞b＞c###．
[解析] ∵y＝x在(0，＋∞)上为增函数，∴＞＞0.又c＝(－2)3＝－8＜0，∴a＞b＞C．
三、解答题
9．已知函数f(x)＝(m2＋2m)·xm2＋m－1，m为何值时，f(x)是
(1)正比例函数；
(2)反比例函数；
(3)二次函数；
(4)幂函数．
[解析] (1)若f(x)为正比例函数，则
，解得m＝1．
(2)若f(x)为反比例函数，则，
解得m＝－1．
(3)若f(x)为二次函数，则，
解得m＝．
(4)若f(x)为幂函数，则m2＋2m＝1，
解得m＝－1±．
10．比较下列各组数值的大小：
(1)3－和3.1－；
(2)－8－和－()；
(3)4.1，3.8－和(－1.9)．
[解析] (1)∵－＜0，∴函数y＝x－在(0，＋∞)上为减函数．
又∵3＜3.1，∴3－＞3.1－．
(2)∵－8－＝－()，又∵＞0，
∴函数y＝x在(0，＋∞)上为增函数．
又＞，则()＞()，
∴－()＜－()，∴－8－＜－()．
(3)∵－＜0，∴函数y＝x－在(0，＋∞)上为减函数．
∴0＜3.8－＜1－＝1．
又∵4.1＞1，∴4.1＞1．
又∵(－1.9)
＜0，∴4.1＞3.8－＞(－1.9)
．
B级 素养提升
一、选择题
1．下列命题中正确的是( D )
A．幂函数的图像不经过点(－1,1)
B．幂函数的图像都经过点(0,0)和点(1,1)
C．若幂函数f(x)＝xα是奇函数，则f(x)是定义域上的增函数
D．幂函数的图像不可能出现在第四象限
[解析] 幂函数y＝x2经过点(－1,1)，排除A；幂函数y＝x－1不经过点(0,0)，排除B；幂函数y＝x－1是奇函数，但它在定义域上不具有单调性，排除C，故选D．
2．函数y＝x3与函数y＝x的图像( D )
A．关于原点对称
B．关于x轴对称
C．关于y轴对称
D．关于直线y＝x对称
[解析] y＝x3与y＝x互为反函数，它们的图像关于直线y＝x对称，故选D．
3．设函数y＝ax－2－(a＞0，且a≠1)的图像恒过定点A，若点A在幂函数y＝xα的图像上，则该幂函数的单调递减区间是( C )
A．(－∞，0)
B．(0，＋∞)
C．(－∞，0)，(0，＋∞)
D．(－∞，＋∞)
[解析] 函数y＝ax－2－(a＞0，且a≠1)的图像恒过定点A(2，)，又点A(2，)在幂函数y＝xα的图像上，∴＝2α，∴α＝－1.∴幂函数y＝x－1，
其单调递减区间为(－∞，0)，(0，＋∞)．
4．若(a＋1)
－＜(3－2a)
－，则a的取值范围是( B )
A．
B．
C．
D．
[解析] 令f(x)＝x－＝，
∴f(x)的定义域是(0，＋∞)，
且在(0，＋∞)上是减函数，故原不等式等价于
解得＜a＜．
二、填空题
5．已知幂函数f(x)＝xα的图像过点，则函数g(x)＝(x－1)f(x)在区间上的最小值是__－1__．
[解析] 由幂函数f(x)＝xα的图像过点，
可得2α＝，解得α＝－1，
即有f(x)＝，
函数g(x)＝(x－1)f(x)＝＝1－
在区间上单调递增，
则g(x)的最小值为g＝1－2＝－1．
6．已知幂函数f(x)＝x－m2＋2m＋3(m∈Z)为偶函数，且在区间(0，＋∞)上是增函数，则函数f(x)的解析式为__f(x)＝x4__．
[解析] 因为幂函数f(x)＝x－m2＋2m＋3(m∈Z)为偶函数，所以－m2＋2m＋3为偶数．又f(x)在区间(0，＋∞)上是增函数，所以－m2＋2m＋3＞0，所以－1＜m＜3.又m∈Z，－m2＋2m＋3为偶数，所以m＝1，故所求解析式为f(x)＝x4．
7．幂函数y＝xα，当α取不同的正数时，在区间[0,1]上它们的图像是一族美丽的曲线．设点A(1,0)，B(0,1)，连接AB，线段AB恰好被其中的两个幂函数y＝xα，y＝xβ的图像三等分，即有BM＝MN＝NA，那么，αβ等于__1__．
[解析] BM＝MN＝NA，点A(1,0)，点B(0,1)．
所以M，N，分别代入y＝xα，y＝xβ，则
α＝log，β＝log．
所以α·β＝log·log＝1．
三、解答题
8．已知幂函数f(x)＝x9－3m(m∈N
)的图像关于原点对称，且在R上单调递增．
(1)求f(x)解析式；
(2)求满足f(a＋1)＋f(3a－4)＜0的a的取值范围．
[解析] (1)幂函数f(x)＝x9－3m(m∈N
)的图像关于原点对称，
且在R上单调递增，可得9－3m＞0，
解得m＜3，m∈N
，可得m＝1,2，
若m＝1，则f(x)＝x6的图像不关于原点对称，舍去；若m＝2，则f(x)＝x3的图像关于原点对称，且在R上单调递增，成立．则f(x)＝x3．
(2)由(1)可得f(x)是奇函数，且在R上单调递增，
由f(a＋1)＋f(3a－4)＜0，
可得f(a＋1)＜－f(3a－4)＝f(4－3a)，
即为a＋1＜4－3a，解得a＜
．
9．已知幂函数f(x)＝xm2－2m－3(m∈Z)的图像关于y轴对称，且在区间(0，＋∞)上是减函数，求满足(3＋2a)－＞(a－1)－的实数a的取值范围．
[解析] 由已知，幂函数f(x)＝xm2－2m－3(m∈Z)在区间(0，＋∞)上是减函数，
∴m2－2m－3＜0，即－1＜m＜3，
又m∈Z，∴m＝0,1,2．
∵函数f(x)的图像关于y轴对称，∴f(x)为偶函数，∴m2－2m－3是偶数，将m＝0,1,2分别代入m2－2m－3检验得，m＝1．
∵函数y＝x－在(－∞，0)，(0，＋∞)上是减函数，
∴3＋2a＜a－1＜0，或0＜3＋2a＜a－1，或3＋2a＞0＞a－1，
解得a＜－4或－＜a＜1．
∴实数a的取值范围是a＜－4或－＜a＜1．
