第五章 5.3 5.3.2
1．掷一枚骰子，设事件A＝{出现的点数不大于3}，B＝{出现的点数为奇数}，则事件A与事件B的关系是( )
A．A?B
B．A∩B＝{出现的点数为1或3}
C．事件A与B互斥
D．事件A与B是对立事件
2．若A，B事件互斥，且有P(A)＝0.1，P(B)＝0.3，那么P(A＋B)＝( )
A．0.6
B．0.4
C．0.2
D．0.03
3．如果事件A与B是互斥事件，且事件A＋B的概率是0.8，事件A的概率是事件B的概率的3倍，那么事件A的概率为____．
4．从一堆产品(其中正品与次品都多于2件)中任取2件，观察正品件数与次品件数，判断下列每对事件是不是互斥事件，如果是，再判断它们是不是对立事件．
(1)恰好有1件次品和恰好有2件次品；
(2)至少有1件次品和全是次品；
(3)至少有1件正品和至少有1件次品．
第五章 5.3 5.3.2
1．掷一枚骰子，设事件A＝{出现的点数不大于3}，B＝{出现的点数为奇数}，则事件A与事件B的关系是( B )
A．A?B
B．A∩B＝{出现的点数为1或3}
C．事件A与B互斥
D．事件A与B是对立事件
[解析] 由题意事件A表示出现的点数是1或2或3；事件B表示出现的点数是1或3或5.故A∩B＝{出现的点数为1或3}．
2．若A，B事件互斥，且有P(A)＝0.1，P(B)＝0.3，那么P(A＋B)＝( B )
A．0.6
B．0.4
C．0.2
D．0.03
[解析] ∵事件A，B是互斥事件，且P(A)＝0.1，P(B)＝0.3，
∴P(A＋B)＝P(A)＋P(B)＝0.4．
3．如果事件A与B是互斥事件，且事件A＋B的概率是0.8，事件A的概率是事件B的概率的3倍，那么事件A的概率为__0.6__．
[解析] 由题意知P(A＋B)＝P(A)＋P(B)＝0.8，又P(A)＝3P(B)，∴P(A)＋P(A)＝0.8，∴P(A)＝0.6．
4．从一堆产品(其中正品与次品都多于2件)中任取2件，观察正品件数与次品件数，判断下列每对事件是不是互斥事件，如果是，再判断它们是不是对立事件．
(1)恰好有1件次品和恰好有2件次品；
(2)至少有1件次品和全是次品；
(3)至少有1件正品和至少有1件次品．
[解析] (1)中恰好有1件次品和恰好有2件次品不可能同时发生，因此它们是互斥事件，又因为它们的和事件不是必然事件，所以它们不是对立事件，同理可以判断(2)(3)中的2个事件不是互斥事件，从而也不是对立事件．第五章 5.3 5.3.2
请同学们认真完成
[练案18]
A级 基础巩固
一、选择题
1．打靶三次，事件Ai表示“击中i发”，其中i＝0,1,2,3.那么A＝A1＋A2＋A3表示( )
A．全部击中
B．至少击中1发
C．至少击中2发
D．以上均不正确
2．(多选题)某小组有三名男生和两名女生，从中任选两名去参加比赛，则下列各对事件中是互斥事件的有( )
A．恰有一名男生和全是男生
B．至少有一名男生和至少有一名女生
C．至少有一名男生和全是男生
D．至少有一名男生和全是女生
3．从一批羽毛球中任取一个，如果其质量小于4.8
g的概率为0.3，质量不小于4.85
g的概率是0.32，那么质量在[4.8,4.85)内的概率是( )
A．0.62
B．0.38
C．0.70
D．0.68
4．如果事件A，B互斥，记，分别为事件A，B的对立事件，那么( )
A．A＋B是必然事件
B．∪是必然事件
C．与一定互斥
D．A与不可能互斥
5．抛掷一枚骰子，“向上的点数是1或2”为事件A，“向上的点数是2或3”为事件B，则( )
A．A?B
B．A＝B
C．A＋B表示向上的点数是1或2或3
D．AB表示向上的点数是1或2或3
二、填空题
6．从4名男生和2名女生中任选3人去参加演讲比赛，若所选3人中至少有1名女生的概率为，那么所选3人中都是男生的概率为____．
7．如图所示，靶子由一个中心圆面Ⅰ和两个同心圆环Ⅱ、Ⅲ构成，射手命中Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ的概率分别为0.35、0.30、0.25，则不中靶的概率是____．
8．在不透明的盒子中有大小、形状相同的一些黑球、白球和黄球，从中摸出一个球，摸出黑球的概率为0.42，摸出黄球的概率为0.18，则摸出的球是白球的概率为____，摸出的球不是黄球的概率为____，摸出的球是黄球或黑球的概率为____．
三、解答题
9．盒子里有6个红球，4个白球，从中任取4个球，设事件A＝{4个球中有1个红球，3个白球}，事件B＝{4个球中有3个红球，1个白球}，事件C＝{4个球中2个红球，2个白球}，事件D＝{4个球中至少有1个红球}，事件E＝{4个球中既有红球又有白球}．
(1)事件E与事件A，B，C是什么样的运算关系？
(2)事件D与事件A的交事件是什么事件？
10．某地区的年降水量在下列范围内的概率如表所示：
年降水量/mm
[100,150)
[150,200)
[200,250)
[250,300)
概率
0.12
0.25
0.16
0.14
(1)求年降水量在[100,200)(mm)范围内的概率；
(2)求年降水量在[150,300)(mm)范围内的概率．
B级 素养提升
一、选择题
1．(多选题)下列命题错误的是( )
A．对立事件一定是互斥事件
B．若A，B为两个事件，则P(A＋B)＝P(A)＋P(B)
C．若事件A，B，C两两互斥，则P(A)＋P(B)＋P(C)＝1
D．若事件A，B满足P(A)＋P(B)＝1，则A，B互为对立事件
2．掷一枚骰子的试验中，出现各点的概率为.事件A表示“小于5的偶数点出现”，事件B表示“小于5的点数出现”，则一次试验中，事件A＋(表示事件B的对立事件)发生的概率为( )
A．
B．
C．
D．
3．已知事件M“3粒种子全部发芽”，事件N“3粒种子都不发芽”，那么事件M和N( )
A．是互斥且对立事件
B．不是互斥事件
C．是互斥但不对立事件
D．是对立事件
4．抛掷一枚骰子，记事件A为“落地时向上的数是奇数”，事件B为“落地时向上的数为偶数”，事件C为“落地时向上的数是3的倍数”，事件D为“落地时向上的数是2或4”，则下列每对事件是互斥事件但不是对立事件的是( )
A．A与B
B．B与C
C．A与D
D．C与A
二、填空题
5．若A，B为互斥事件，P(A)＝0.4，P(A∪B)＝0.7，则P(B)＝____．
6．同时掷两枚骰子，既不出现5点也不出现6点的概率为，则5点或6点至少出现一个概率是____．
三、解答题
7．国家射击队的队员为在世界射击锦标赛上取得优异成绩在加紧备战，经过近期训练，某队员射击一次命中7～10环的概率如表所示：
命中环数
10
9
8
7
概率
0.32
0.28
0.18
0.12
求该射击队员在一次射击中：
(1)命中9环或10环的概率；
(2)至少命中8环的概率；
(3)命中不足8环的概率．
8．袋中有12个小球，分别为红球、黑球、黄球、绿球，从中任取一球，得到红球的概率是，得到黑球或黄球的概率是，得到黄球或绿球的概率是，试求得到黑球、黄球、绿球的概率各是多少？
第五章 5.3 5.3.2
请同学们认真完成
[练案18]
A级 基础巩固
一、选择题
1．打靶三次，事件Ai表示“击中i发”，其中i＝0,1,2,3.那么A＝A1＋A2＋A3表示( B )
A．全部击中
B．至少击中1发
C．至少击中2发
D．以上均不正确
[解析] 由题意可得事件A1、A2、A3是彼此互斥的事件，且A0＋A1＋A2＋A3为必然事件，A＝A1＋A2＋A3表示的是打靶三次至少击中一发．
2．(多选题)某小组有三名男生和两名女生，从中任选两名去参加比赛，则下列各对事件中是互斥事件的有( AD )
A．恰有一名男生和全是男生
B．至少有一名男生和至少有一名女生
C．至少有一名男生和全是男生
D．至少有一名男生和全是女生
[解析] A是互斥事件．恰有一名男生的实质是选出的两名同学中有一名男生和一名女生，它与全是男生不可能同时发生；B不是互斥事件；C不是互斥事件；D是互斥事件．至少有一名男生与全是女生不可能同时发生．
3．从一批羽毛球中任取一个，如果其质量小于4.8
g的概率为0.3，质量不小于4.85
g的概率是0.32，那么质量在[4.8,4.85)内的概率是( B )
A．0.62
B．0.38
C．0.70
D．0.68
[解析] 利用对立事件的概率公式可得P＝1－(0.3＋0.32)＝0.38．
4．如果事件A，B互斥，记，分别为事件A，B的对立事件，那么( B )
A．A＋B是必然事件
B．∪是必然事件
C．与一定互斥
D．A与不可能互斥
[解析] 用图示法解决此类问题较为直观，如图所示，∪是必然事件，故选B．
5．抛掷一枚骰子，“向上的点数是1或2”为事件A，“向上的点数是2或3”为事件B，则( C )
A．A?B
B．A＝B
C．A＋B表示向上的点数是1或2或3
D．AB表示向上的点数是1或2或3
[解析] 设A＝{1,2}，B＝{2,3}，则A∩B＝{2}，A∪B＝{1,2,3}，所以A＋B表示向上的点数为1或2或3，故选C．
二、填空题
6．从4名男生和2名女生中任选3人去参加演讲比赛，若所选3人中至少有1名女生的概率为，那么所选3人中都是男生的概率为____．
[解析] 设A＝{3人中至少有1名女生}，B＝{3人都为男生}，则A，B为对立事件，所以P(B)＝1－P(A)＝．
7．如图所示，靶子由一个中心圆面Ⅰ和两个同心圆环Ⅱ、Ⅲ构成，射手命中Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ的概率分别为0.35、0.30、0.25，则不中靶的概率是__0.10__．
[解析] 设“射手命中圆面Ⅰ”为事件A，“命中圆环Ⅱ”为事件B，“命中圆环Ⅲ”为事件C，“不中靶”为事件D，则A，B，C彼此互斥，故射手中靶的概率为P(A＋B＋C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝0.35＋0.30＋0.25＝0.90.因为中靶和不中靶是对立事件，故不中靶的概率为P(D)＝1－P(A＋B＋C)＝1－0.90＝0.10．
8．在不透明的盒子中有大小、形状相同的一些黑球、白球和黄球，从中摸出一个球，摸出黑球的概率为0.42，摸出黄球的概率为0.18，则摸出的球是白球的概率为__0.4__，摸出的球不是黄球的概率为__0.82__，摸出的球是黄球或黑球的概率为__0.6__．
[解析] 摸出白球的概率为1－0.42－0.18＝0.4；摸出的球不是黄球的概率为1－0.18＝0.82；摸出的球是黄球或黑球的概率为1－0.4＝0.6．
三、解答题
9．盒子里有6个红球，4个白球，从中任取4个球，设事件A＝{4个球中有1个红球，3个白球}，事件B＝{4个球中有3个红球，1个白球}，事件C＝{4个球中2个红球，2个白球}，事件D＝{4个球中至少有1个红球}，事件E＝{4个球中既有红球又有白球}．
(1)事件E与事件A，B，C是什么样的运算关系？
(2)事件D与事件A的交事件是什么事件？
[解析] (1)对事件E，可能的结果为1个红球3个白球或3个红球1个白球或2个红球2个白球，故E＝A∪B∪C．
(2)对于事件D，可能的结果为1个红球3个白球或2个红球2个白球或3个红球1个白球或4个红球，故D∩A＝A．
10．某地区的年降水量在下列范围内的概率如表所示：
年降水量/mm
[100,150)
[150,200)
[200,250)
[250,300)
概率
0.12
0.25
0.16
0.14
(1)求年降水量在[100,200)(mm)范围内的概率；
(2)求年降水量在[150,300)(mm)范围内的概率．
[解析] 记这个地区的年降水量在[100,150)(mm)，[150,200)(mm)，[200,250)(mm)，[250,300)(mm)范围内分别为事件A，B，C，D，这四个事件是彼此互斥的．
(1)年降水量在[100,200)(mm)范围内的概率是
P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝0.12＋0.25＝0.37．
(2)年降水量在[150,300)(mm)范围内的概率是P(B∪C∪D)＝P(B)＋P(C)＋P(D)
＝0.25＋0.16＋0.14＝0.55．
B级 素养提升
一、选择题
1．(多选题)下列命题错误的是( BCD )
A．对立事件一定是互斥事件
B．若A，B为两个事件，则P(A＋B)＝P(A)＋P(B)
C．若事件A，B，C两两互斥，则P(A)＋P(B)＋P(C)＝1
D．若事件A，B满足P(A)＋P(B)＝1，则A，B互为对立事件
[解析] 由互斥事件与对立事件的定义可知A正确；只有当事件A，B为两个互斥事件时才有P(A∪B)＝P(A)＋P(B)，故B不正确；只有事件A，B，C两两互斥，且A∪B∪C＝Ω时，才有P(A)＋P(B)＋P(C)＝1，故C不正确；由对立事件的定义可知，只有事件A，B满足P(A)＋P(B)＝1且A∩B＝?时，A，B才互为对立事件，故D不正确．
2．掷一枚骰子的试验中，出现各点的概率为.事件A表示“小于5的偶数点出现”，事件B表示“小于5的点数出现”，则一次试验中，事件A＋(表示事件B的对立事件)发生的概率为( C )
A．
B．
C．
D．
[解析] 由题意知，表示“大于或等于5的点数出现”，事件A与事件互斥，由概率的加法计算公式可得P(A＋)＝P(A)＋P()＝＋＝＝．
3．已知事件M“3粒种子全部发芽”，事件N“3粒种子都不发芽”，那么事件M和N( C )
A．是互斥且对立事件
B．不是互斥事件
C．是互斥但不对立事件
D．是对立事件
[解析] 事件M与事件N在任何一次试验中不会同时发生，故事件M和事件N互斥，而事件M“3粒种子全部发芽”的对立事件为“3粒种子不都发芽”，有可能1个不发芽，也有可能2个不发芽，也有可能3个不发芽，故事件M和事件N不对立，故事件M和事件N互斥不对立．故选C．
4．抛掷一枚骰子，记事件A为“落地时向上的数是奇数”，事件B为“落地时向上的数为偶数”，事件C为“落地时向上的数是3的倍数”，事件D为“落地时向上的数是2或4”，则下列每对事件是互斥事件但不是对立事件的是( C )
A．A与B
B．B与C
C．A与D
D．C与A
[解析] 理由：事件A“落地时向上的数字是奇数”包含三个基本事件数(即结果数)1,3,5；事件B“落地时向上的数是偶数”包含三个基本事件数2,4,6；事件C“落地时向上的数是3的倍数”包含两个基本事件数3,6；事件D“落地时向上的数是2或4”．这样根据互斥与对立事件的定义知：A与B互斥且对立；B与C不互斥(如都有6)；C与A不互斥(如都有3)；A与D互斥不对立，故选C．本题考查互斥与对立事件的定义，易混淆．
二、填空题
5．若A，B为互斥事件，P(A)＝0.4，P(A∪B)＝0.7，则P(B)＝__0.3__．
[解析] 因为A，B为互斥事件，所以P(A∪B)＝P(A)＋P(B)，所以P(B)＝P(A∪B)－P(A)＝0.7－0.4＝0.3．
6．同时掷两枚骰子，既不出现5点也不出现6点的概率为，则5点或6点至少出现一个概率是____．
[解析] 记既不出现5点也不出现6点的事件为A，则P(A)＝，5点或6点至少有一个出现的事件为B．
因为A∩B＝?，A∪B为必然事件，所以A与B是对立事件，则P(B)＝1－P(A)＝1－＝．
故5点或6点至少有一个出现的概率为．
三、解答题
7．国家射击队的队员为在世界射击锦标赛上取得优异成绩在加紧备战，经过近期训练，某队员射击一次命中7～10环的概率如表所示：
命中环数
10
9
8
7
概率
0.32
0.28
0.18
0.12
求该射击队员在一次射击中：
(1)命中9环或10环的概率；
(2)至少命中8环的概率；
(3)命中不足8环的概率．
[解析] 记事件“射击一次，命中i环”为Ai(i∈N，i≤10)，则事件Ai之间彼此互斥．
(1)设“射击一次，命中9环或10环”为事件A，那么当A9，A10之一发生时，事件A发生，由互斥事件概率的加法公式得P(A)＝P(A9)＋P(A10)＝0.28＋0.32＝0.6．
(2)设“射击一次，至少命中8环”为事件B，那么当A8，A9，A10之一发生时，事件B发生，由互斥事件概率的加法公式得P(B)＝P(A8)＋P(A9)＋P(A10)＝0.18＋0.28＋0.32＝0.78．
(3)设“射击一次命中不足8环”为事件C，由于事件C与事件B互为对立事件，
故P(C)＝1－P(B)＝1－0.78＝0.22．
8．袋中有12个小球，分别为红球、黑球、黄球、绿球，从中任取一球，得到红球的概率是，得到黑球或黄球的概率是，得到黄球或绿球的概率是，试求得到黑球、黄球、绿球的概率各是多少？
[解析] 从袋中任取一球，记事件“摸到红球”“摸到黑球”“摸到黄球”“摸到绿球”分别为A，B，C，D，则有P(B∪C)＝P(B)＋P(C)＝；
P(C∪D)＝P(C)＋P(D)＝；
P(B∪C∪D)＝P(B)＋P(C)＋P(D)
＝1－P(A)＝1－＝．
解得P(B)＝，P(C)＝，P(D)＝．
所以得到黑球、黄球、绿球的概率各是，，．
