第五章 5.1 5.1.4
A级 基础巩固
一、选择题
1．在用样本频率估计总体分布的过程中，下列说法正确的是( )
A．总体容量越大，估计越精确
B．总体容量越小，估计越精确
C．样本容量越大，估计越精确
D．样本容量越小，估计越精确
2．某班的全体学生参加英语测试，成绩的频率分布直方图如图，数据的分组依次为：[20,40)、[40,60)、[60,80)、[80,100]．若低于60分的人数是15，则该班的学生人数是( )
A．45
B．50
C．55
D．60
3．下图是1,2两组各7名同学体重(单位：千克)数据的茎叶图．设1,2两组数据的平均数依次为1和2，标准差依次为s1和s2，那么( )
A．1＜2，s1＜s2
B．1＜2，s1＞s2
C．1＞2，s1＞s2
D．1＞2，s1＜s2
4．某同学10次测评成绩的数据如茎叶图所示，总体的中位数为12，若要使该总体的标准差最小，则4x＋2y的值是( )
0
2
2
3
4
1
x
y
9
9
2
0
1
A．12
B．14
C．16
D．18
5．(多选题)某班进行了一次数学测试，全班学生的成绩都落在区间[50,100]内，其成绩的频率分布直方图如图所示，则该班学生这次数学测试成绩的中位数和众数的估计值为( )
A．81.5
B．75
C．81.25
D．85
二、填空题
6．某校学生在一次数学考试中的成绩分布如下表：
分数段
[0,80)
[80,90)
[90,100)
[100,110)
人数
2
5
6
8
分数段
[110,120)
[120,130)
[130,140)
[140,150]
人数
12
6
4
2
那么分数在[100,110)内的频数为____，频率为____.(精确到0.01)
7．某中学为了解学生数学课程的学习情况，在3
000名学生中随机抽取200名，并统计这200名学生的某次数学考试成绩，得到了样本的频率分布直方图(如图)．根据频率分布直方图推测这3
000名学生在该次数学考试中成绩小于60分的学生数是____．
8．某学校想要调查全校同学是否知道迄今为止获得过诺贝尔物理学奖的6位华人的姓名，为此出了一份考卷．该卷共有六道单选题，每题答对得20分，答错、不答得0分，满分120分．阅卷完毕后，校方公布每题答对率如下：
题号
一
二
三
四
五
六
答对率
80%
70%
60%
50%
40%
30%
则此次调查全体同学的平均分数是____分．
三、解答题
9．对划船运动员甲、乙两人在相同的条件下进行了6次测试，测得他们最大速度(m/s)的数据如下：
甲：28,39,32,35,34,30；
乙：34,30,37,33,31,33．
根据以上数据，试判断他们谁更优秀．
10．某校从高二年级学生中随机抽取60名学生，将期中考试的政治成绩(均为整数)分成六段：[40,50)，[50,60)，[60,70)，…，[90,100]后得到如下频率分布直方图．
(1)根据频率分布直方图，分别求a，众数，中位数；
(2)估计该校高二年级学生期中考试政治成绩的平均分；
(3)用分层抽样的方法在各分数段的学生中抽取一个容量为20的样本，则在[70,90)分数段抽取的人数是多少？
B级 素养提升
一、选择题
1．(多选题)在某次高中学科竞赛中，4
000名考生的参赛成绩统计如图所示，60分以下视为不及格．若同一组中数据用该组区间中点作为代表，则下列说法中正确的是( )
A．成绩在[70,80)分的考生人数最多
B．不及格的考生人数为1
000
C．考生竞赛成绩的平均分约70.5分
D．考生竞赛成绩的中位数为75分
2．为了解我国13岁男孩的平均身高，从北方抽取了300个男孩，平均身高1.60
m；从南方抽取了200个男孩，平均身高1.5
m，由此可推断我国13岁的男孩平均身高为( )
A．1.54
m
B．1.55
m
C．1.56
m
D．1.57
m
3．某学习小组在一次数学测验中，得100分的有1人，得95分的有1人，得90分的有2人，得85分的有4人，得80分和75分的各1人，则该小组数学成绩的平均数、众数、中位数分别为( )
A．85,85,85
B．87,85,86
C．87,85,85
D．87,85,90
4．为比较甲、乙两地某月14时的气温状况，随机选取该月中的5天，将这5天中14时的气温数据(单位：℃)制成如图所示的茎叶图．考虑以下结论：
①甲地该月14时的平均气温低于乙地该月14时的平均气温；
②甲地该月14时的平均气温高于乙地该月14时的平均气温；
③甲地该月14时的气温的标准差小于乙地该月14时的气温的标准差；
④甲地该月14时的气温的标准差大于乙地该月14时的气温的标准差．
其中根据茎叶图能得到的统计结论的编号为( )
A．①③
B．①④
C．②③
D．②④
二、填空题
5．有一个容量为66的样本，数据的分组及各组的频数如下：
[11.5,15.5)，2；[15.5,19.5)，4；[19.5,23.5)，9；
[23.5,27.5)，18；[27.5,31.5)，11；[31.5,35.5)，12；
[35.5,39.5)，7；[39.5,43.5]，3．
根据样本的频率分布估计数据落在[31.5,43.5]的概率约是____．
6．为了调查某厂工人生产某种产品的能力，随机抽查了20位工人某天生产该产品的数量得到频率分布直方图如图，
则：(1)这20名工人中一天生产该产品数量在[55,75)的人数是____．
(2)这20名工人中一天生产该产品的数量的中位数为 ____．
(3)这20名工人中一天生产该产品的数量的平均数为____．
三、解答题
7．某体校为了备战明年四月份省划艇单人双桨比赛，对本校甲、乙两名划艇运动员在相同条件下进行了6次测试，测得他们划艇最大速度(单位：m/s)数据如下．
甲：27,38,30,37,35,31．
乙：33,29,38,34,28,36．
(1)试用茎叶图表示甲、乙两名运动员测试的成绩；
(2)根据测试的成绩，你认为派哪名运动员参加明年四月份的省划艇单人双桨比赛比较合适？并说明你的理由．
8．某校为指导学生合理选择文理科的学习，根据数理综合测评成绩，按6分为满分进行折算．若学生成绩低于m分则建议选择文科，不低于m分则建议选择理科(这部分学生称为候选理科生)．现从该校高一随机抽取500名学生的数理综合测评成绩作为样本，整理得到分数的频率分布直方图(如图所示)．
(1)求直方图中t的值；
(2)根据此次测评，为使80%以上的学生选择理科，整数m至多定为多少？
(3)若m＝4，试估计该校高一学生中候选理科生的平均成绩．(精确到0.01)
第五章 5.1 5.1.4
A级 基础巩固
一、选择题
1．在用样本频率估计总体分布的过程中，下列说法正确的是( C )
A．总体容量越大，估计越精确
B．总体容量越小，估计越精确
C．样本容量越大，估计越精确
D．样本容量越小，估计越精确
[解析] 因为用样本估计总体分布的过程中，估计是否准确与总体的数量大小无关，只与样本容量在整体中占的比例有关，所以，样本容量越大，估计越精确，综合所述，故选C．
2．某班的全体学生参加英语测试，成绩的频率分布直方图如图，数据的分组依次为：[20,40)、[40,60)、[60,80)、[80,100]．若低于60分的人数是15，则该班的学生人数是( B )
A．45
B．50
C．55
D．60
[解析] 根据频率分布直方图的特点可知，低于60分的频率是(0.005＋0.01)×20＝0.3，
∴该班的学生人数是＝50．
3．下图是1,2两组各7名同学体重(单位：千克)数据的茎叶图．设1,2两组数据的平均数依次为1和2，标准差依次为s1和s2，那么( A )
A．1＜2，s1＜s2
B．1＜2，s1＞s2
C．1＞2，s1＞s2
D．1＞2，s1＜s2
[解析] 依题意1＝＝61，
s1≈6.72，2＝＝62，s2≈6.99.故1＜2，s1＜s2，故选A．
4．某同学10次测评成绩的数据如茎叶图所示，总体的中位数为12，若要使该总体的标准差最小，则4x＋2y的值是( A )
0
2
2
3
4
1
x
y
9
9
2
0
1
A．12
B．14
C．16
D．18
[解析] 由题意知，因为中位数为12，所以＝2，即x＋y＝4．
数据的平均数为(2＋2＋3＋4＋x＋y＋20＋19＋19＋20＋21)＝11.4，
因为(10＋x－11.4)2＋(10＋y－11.4)2＝(x－1.4)2＋(y－1.4)2≥22＝0.72，
当且仅当x－1.4＝y－1.4，即x＝y＝2时，取等号，此时总体标准差最小，所以4x＋2y＝12，故选A．
5．(多选题)某班进行了一次数学测试，全班学生的成绩都落在区间[50,100]内，其成绩的频率分布直方图如图所示，则该班学生这次数学测试成绩的中位数和众数的估计值为( CD )
A．81.5
B．75
C．81.25
D．85
[解析] 因为(0.005＋0.015＋0.025)×10＝0.45＜0.5，(0.005＋0.015＋0.025＋0.040)×10＝0.85＞0.5，所以该班学生这次数学测试成绩的中位数落在[80,90)之间．设中位数为x，因为(0.005＋0.015＋0.025)×10＋0.04×(x－80)＝0.5，所以所求中位数为x＝81.25.众数在[80,90)之间，为85.故选CD．
二、填空题
6．某校学生在一次数学考试中的成绩分布如下表：
分数段
[0,80)
[80,90)
[90,100)
[100,110)
人数
2
5
6
8
分数段
[110,120)
[120,130)
[130,140)
[140,150]
人数
12
6
4
2
那么分数在[100,110)内的频数为__8__，频率为__0.18__.(精确到0.01)
[解析] 由题目可知分数在[100,110)内的频数为8，样本容量为2＋5＋6＋8＋12＋6＋4＋2＝45，故频率为≈0.18．
7．某中学为了解学生数学课程的学习情况，在3
000名学生中随机抽取200名，并统计这200名学生的某次数学考试成绩，得到了样本的频率分布直方图(如图)．根据频率分布直方图推测这3
000名学生在该次数学考试中成绩小于60分的学生数是__600__．
[解析] 本题考查了统计中的频率分布直方图等有关知识．
成绩小于60分的学生频率为：(0.002＋0.006＋0.012)×10＝0.2
故3
000名学生中小于60分的学生数为：3
000×0.2＝600．
8．某学校想要调查全校同学是否知道迄今为止获得过诺贝尔物理学奖的6位华人的姓名，为此出了一份考卷．该卷共有六道单选题，每题答对得20分，答错、不答得0分，满分120分．阅卷完毕后，校方公布每题答对率如下：
题号
一
二
三
四
五
六
答对率
80%
70%
60%
50%
40%
30%
则此次调查全体同学的平均分数是__66__分．
[解析] 假设全校一共有x人，则每道题答对人数及总分分别为：
题号
一
二
三
四
五
六
答对人数
0.8x
0.7x
0.6x
0.5x
0.4x
0.3x
每题得分
16x
14x
12x
10x
8x
6x
∴6道题的总分为66x，平均分为＝66．
三、解答题
9．对划船运动员甲、乙两人在相同的条件下进行了6次测试，测得他们最大速度(m/s)的数据如下：
甲：28,39,32,35,34,30；
乙：34,30,37,33,31,33．
根据以上数据，试判断他们谁更优秀．
[解析] 这显然是要计算两组数据的与s2，然后加以比较并作出判断．
甲＝(28＋39＋32＋35＋34＋30)＝33，
s＝[(28－33)2＋(39－33)2＋…＋(30－33)2]
＝；
乙＝(34＋30＋37＋33＋31＋33)＝33，
s＝[(34－33)2＋(30－33)2＋…＋(33－33)2]＝5．
∴甲＝乙，但s＞s.说明甲、乙二人的最大速度的平均值相同，但乙比甲更稳定，故乙比甲更优秀．
10．某校从高二年级学生中随机抽取60名学生，将期中考试的政治成绩(均为整数)分成六段：[40,50)，[50,60)，[60,70)，…，[90,100]后得到如下频率分布直方图．
(1)根据频率分布直方图，分别求a，众数，中位数；
(2)估计该校高二年级学生期中考试政治成绩的平均分；
(3)用分层抽样的方法在各分数段的学生中抽取一个容量为20的样本，则在[70,90)分数段抽取的人数是多少？
[解析] (1)由题意可得，(0.01＋0.015×2＋a＋0.025＋0.005)×10＝1，解得a＝0.03．
根据频率分布直方图可知[70,80)分数段的频率最高，因此众数为75．
又由频率分布直方图可知[40,70)分数段的频率为0.1＋0.15＋0.15＝0.4，因为[70,80)分数段的频率为0.3，
所以，中位数为70＋×10＝．
(2)估计该校高二年级学生政治成绩的平均分为(45×0.01＋55×0.015＋65×0.015＋75×0.03＋85×0.025＋95×0.005)×10＝71．
(3)因为总体共60名学生，样本容量为20，因此抽样比为＝．
又在[70,90)分数段共有60×(0.3＋0.25)＝33(人)，
因此，在[70,90)分数段抽取的人数是33×＝11．
B级 素养提升
一、选择题
1．(多选题)在某次高中学科竞赛中，4
000名考生的参赛成绩统计如图所示，60分以下视为不及格．若同一组中数据用该组区间中点作为代表，则下列说法中正确的是( ABC )
A．成绩在[70,80)分的考生人数最多
B．不及格的考生人数为1
000
C．考生竞赛成绩的平均分约70.5分
D．考生竞赛成绩的中位数为75分
[解析] A选项，由频率分布直方图可得，成绩在[70,80)的频率最高，因此考生人数最多；
B选项，由频率分布直方图可得，成绩在[40,60)的频率为0.25，因此，不及格的人数为4
000×0.25＝1
000；
C选项，由频率分布直方图可得，平均分等于45×0.1＋55×0.15＋65×0.2＋75×0.3＋85×0.15＋95×0.1＝70.5(分)；
D选项，因为成绩在[40,70)的频率为0.45，在[70,80)的频率为0.3，
所以中位数为70＋10×≈71.67(分)．
故选ABC．
2．为了解我国13岁男孩的平均身高，从北方抽取了300个男孩，平均身高1.60
m；从南方抽取了200个男孩，平均身高1.5
m，由此可推断我国13岁的男孩平均身高为( C )
A．1.54
m
B．1.55
m
C．1.56
m
D．1.57
m
[解析] ＝＝1.56.故选C．
3．某学习小组在一次数学测验中，得100分的有1人，得95分的有1人，得90分的有2人，得85分的有4人，得80分和75分的各1人，则该小组数学成绩的平均数、众数、中位数分别为( C )
A．85,85,85
B．87,85,86
C．87,85,85
D．87,85,90
[解析] 平均数＝＝87分，众数为85，中位数为85.故选C．
4．为比较甲、乙两地某月14时的气温状况，随机选取该月中的5天，将这5天中14时的气温数据(单位：℃)制成如图所示的茎叶图．考虑以下结论：
①甲地该月14时的平均气温低于乙地该月14时的平均气温；
②甲地该月14时的平均气温高于乙地该月14时的平均气温；
③甲地该月14时的气温的标准差小于乙地该月14时的气温的标准差；
④甲地该月14时的气温的标准差大于乙地该月14时的气温的标准差．
其中根据茎叶图能得到的统计结论的编号为( B )
A．①③
B．①④
C．②③
D．②④
[解析] 甲地数据为：26,28,29,31,31；乙地数据为：28,29,30,31,32；
所以，甲＝＝29，
乙＝＝30，
s＝[(26－29)2＋(28－29)2＋(29－29)2＋(31－29)2＋(31－29)2]＝3.6，
s＝[(28－30)2＋(29－30)2＋(30－30)2＋(31－30)2＋(32－30)2]＝2，即正确的有①④，故选B．
二、填空题
5．有一个容量为66的样本，数据的分组及各组的频数如下：
[11.5,15.5)，2；[15.5,19.5)，4；[19.5,23.5)，9；
[23.5,27.5)，18；[27.5,31.5)，11；[31.5,35.5)，12；
[35.5,39.5)，7；[39.5,43.5]，3．
根据样本的频率分布估计数据落在[31.5,43.5]的概率约是____．
[解析] 由已知，样本容量为66，而落在[31.5,43.5]内的样本数为12＋7＋3＝22，故所求的概率为＝．
6．为了调查某厂工人生产某种产品的能力，随机抽查了20位工人某天生产该产品的数量得到频率分布直方图如图，
则：(1)这20名工人中一天生产该产品数量在[55,75)的人数是__13__．
(2)这20名工人中一天生产该产品的数量的中位数为 __62.5__．
(3)这20名工人中一天生产该产品的数量的平均数为__64__．
[解析] (1)(0.04×10＋0.025×10)×20＝13(人)．
(2)设中位数为x，则0.2＋(x－55)×0.04＝0.5，x＝62.5．
(3)0.2×50＋0.4×60＋0.25×70＋0.1×80＋0.05×90＝64．
三、解答题
7．某体校为了备战明年四月份省划艇单人双桨比赛，对本校甲、乙两名划艇运动员在相同条件下进行了6次测试，测得他们划艇最大速度(单位：m/s)数据如下．
甲：27,38,30,37,35,31．
乙：33,29,38,34,28,36．
(1)试用茎叶图表示甲、乙两名运动员测试的成绩；
(2)根据测试的成绩，你认为派哪名运动员参加明年四月份的省划艇单人双桨比赛比较合适？并说明你的理由．
[解析] (1)用茎叶图表示甲、乙两名运动员测试的成绩如下.
甲
乙
7
2
8 9
8 7 5 1 0
3
3 4 6 8
(2)甲的平均数1＝(27＋30＋31＋35＋37＋38)＝33，
乙的平均数2＝(28＋29＋33＋34＋36＋38)＝33，
甲的方差s＝[(27－33)2＋(30－33)2＋(31－33)2＋(35－33)2＋(37－33)2＋(38－33)2]＝＝，
乙的方差s＝[(28－33)2＋(29－33)2＋(33－33)2＋(34－33)2＋(36－33)2＋(38－33)2]＝＝，
所以甲和乙的平均数相等，甲的方差大于乙的方差，
故乙的成绩较稳定，派乙运动员参加明年四月份的省划艇单人双桨比赛比较合适．
8．某校为指导学生合理选择文理科的学习，根据数理综合测评成绩，按6分为满分进行折算．若学生成绩低于m分则建议选择文科，不低于m分则建议选择理科(这部分学生称为候选理科生)．现从该校高一随机抽取500名学生的数理综合测评成绩作为样本，整理得到分数的频率分布直方图(如图所示)．
(1)求直方图中t的值；
(2)根据此次测评，为使80%以上的学生选择理科，整数m至多定为多少？
(3)若m＝4，试估计该校高一学生中候选理科生的平均成绩．(精确到0.01)
[解析] (1)0.15×1＋t×1＋0.30×1＋t×1＋0.15×1＝1，解得t＝0.2．
(2)根据频率分布直方图可知，分数落在[1,2]组的频率为0.15，所以为使80%以上的学生选择理科，整数m至多定为2．
(3)若m＝4，则估计该校高一学生中候选理科学生的平均成绩为≈4.93．第五章 5.1 5.1.4
1．下图所示茎叶图中数据的平均数为89，则x的值为( )
8
6
x
9
0
1
1
A．6
B．7
C．8
D．9
2．依据相关法律可知，车辆驾驶员血液中所含的酒精浓度在80
mg/100
mL(含80)以上时，属醉酒驾车．某地对涉嫌酒后驾车的28
800人进行血液检测，根据检测结果绘制的频率分布直方图如图所示，则这28
800人中属于醉酒驾车的人数约为( )
A．8
640
B．5
760
C．4
320
D．2
880
3．一个容量为80的样本的最大值是140，最小值是51，组距为10，则可以分成( )
A．10组
B．9组
C．8组
D．7组
4．下图是某学校一名篮球运动员在五场比赛中所得分数的茎叶图，则该运动员在这五场比赛中得分的方差为____.
0
8 9
1
0 3 5
(注：方差s2＝[(x1－)2＋(x2－)2＋…＋(xn－)2]，其中为x1，x2，…，xn的平均数)
5．有同一型号的汽车100辆，为了解这种汽车每耗油1
L所行路程的情况，现从中随机地抽出10辆，在同一条件下进行耗油1
L所行路程的试验，得到如下样本数据(单位：km)：13.7、12.7、14.4、13.8、13.3、12.5、13.5、13.6、13.1、13.4，并分组如下：
分组
频数
频率
[12.45,12.95)
[12.95,13.45)
[13.45,13.95)
[13.95,14.45]
合计
10
1.0
(1)完成上面的频率分布表；
(2)根据上表，在坐标系中画出频率分布直方图．
第五章 5.1 5.1.4
1．下图所示茎叶图中数据的平均数为89，则x的值为( B )
8
6
x
9
0
1
1
A．6
B．7
C．8
D．9
[解析] 茎叶图中的数据为86,80＋x,90,91,91，
由数据平均数为89得(86＋80＋x＋90＋91＋91)＝89，
解得x＝7.故选B．
2．依据相关法律可知，车辆驾驶员血液中所含的酒精浓度在80
mg/100
mL(含80)以上时，属醉酒驾车．某地对涉嫌酒后驾车的28
800人进行血液检测，根据检测结果绘制的频率分布直方图如图所示，则这28
800人中属于醉酒驾车的人数约为( C )
A．8
640
B．5
760
C．4
320
D．2
880
[解析] 由图可知，血液中酒精浓度在80
mg/100
mL(含80)以上的频率为0.15，
则人数为28
800×0.15＝4
320．
3．一个容量为80的样本的最大值是140，最小值是51，组距为10，则可以分成( B )
A．10组
B．9组
C．8组
D．7组
[解析] ∵＝＝8.9，∴可分成9组．
4．下图是某学校一名篮球运动员在五场比赛中所得分数的茎叶图，则该运动员在这五场比赛中得分的方差为__6.8__.
0
8 9
1
0 3 5
(注：方差s2＝[(x1－)2＋(x2－)2＋…＋(xn－)2]，其中为x1，x2，…，xn的平均数)
[解析] 本题考查茎叶图、方差的概念．
由茎叶图知＝＝11，
∴s2＝[(8－11)2＋(9－11)2＋(10－11)2＋(13－11)2＋(15－11)2]＝6.8．
5．有同一型号的汽车100辆，为了解这种汽车每耗油1
L所行路程的情况，现从中随机地抽出10辆，在同一条件下进行耗油1
L所行路程的试验，得到如下样本数据(单位：km)：13.7、12.7、14.4、13.8、13.3、12.5、13.5、13.6、13.1、13.4，并分组如下：
分组
频数
频率
[12.45,12.95)
[12.95,13.45)
[13.45,13.95)
[13.95,14.45]
合计
10
1.0
(1)完成上面的频率分布表；
(2)根据上表，在坐标系中画出频率分布直方图．
[解析] (1)频率分布表如下：
分组
频数
频率
[12.45,12.95)
2
0.2
[12.95,13.45)
3
0.3
[13.45,13.95)
4
0.4
[13.95,14.45]
1
0.1
合计
10
1.0
(2)频率分布直方图如图所示：
