模块综合测试-【新教材】人教B版（2019）高中数学必修第二册练习（Word含答案解析）
文档属性
| 名称 | 模块综合测试-【新教材】人教B版（2019）高中数学必修第二册练习（Word含答案解析） |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 461.2KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教B版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2021-08-29 15:48:44 | ||
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文档简介
模块综合测试
(时间：120分钟 满分150分)
一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．如图所示，向量a－b等于( )
A．－4e1－2e2
B．－2e1－4e2
C．e1－3e2
D．3e1－e2
2．某工厂生产甲、乙、丙三种型号的产品，产品数量之比为3∶5∶7，现用分层抽样的方法抽出容量为n的样本，其中甲种产品有18件，则样本容量n＝( )
A．54
B．90
C．45
D．126
3．函数y＝的定义域是( )
A．(1，＋∞)
B．(2，＋∞)
C．(－∞，2]
D．(1,2]
4．甲、乙两人在一次射击比赛中各射靶5次，两人成绩的条形统计图如图所示，则( )
A．甲的成绩的平均数小于乙的成绩的平均数
B．甲的成绩的中位数等于乙的成绩的中位数
C．甲的成绩的方差小于乙的成绩的方差
D．甲的成绩的极差小于乙的成绩的极差
5．设a＝log0.50.6，b＝log1.10.6，c＝1.10.6，则( C )
A．a＜b＜c
B．b＜c＜a
C．b＜a＜c
D．c＜a＜b
6．设a，b都是非零向量，下列四个条件中，使＝成立的充分条件是( )
A．|a|＝|b|且a∥b
B．a＝－b
C．a∥b
D．a＝2b
7．若某公司从五位大学毕业生甲、乙、丙、丁、戊中录用三人，这五人被录用的机会均等，则甲或乙被录用的概率为( )
A．
B．
C．
D．
8．函数y＝ax－2(a＞0且a≠1，－1≤x≤1)的值域是[－，1]，则实数a＝( )
A．3
B．
C．3或
D．或
二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的．全部选对的得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分)
9．设a0为单位向量，下列命题是假命题的为( )
A．若a为平面内的某个向量，则a＝|a|a0
B．若a与a0平行，则a＝|a|a0
C．若a与a0平行且|a|＝1，则a＝a0
D．若a为单位向量，则|a|＝|a0|
10．总体由编号为01,02，…，60的60个个体组成，利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法是从随机数表第1行的第8列和第9列数字开始由左至右选取两个数字，则选出的第1个个体和第5个个体的编号分别为( )
50 44 66 44 29 67 06 58 03 69
80 34 27 18 83 61 46 42 23 91
67 43 25 74 58 83 11 03 30 20
83 53 12 28 47 73 63 05 35 99
A．42
B．36
C．22
D．14
11．对于函数f(x)定义域中任意的x1，x2(x1≠x2)，有如下结论，当f(x)＝lg
x时，上述结论中正确结论的序号是( )
A．f(x1＋x2)＝f(x1)·f(x2)
B．f(x1·x2)＝f(x1)＋f(x2)
C．＞0
D．f()＜
12．下列命题为真命题的是( )
A．将一枚硬币抛两次，设事件M：“两次出现正面”，事件N：“只有一次出现反面”，则事件M与N互为对立事件
B．若事件A与B互为对立事件，则事件A与B为互斥事件
C．若事件A与B为互斥事件，则事件A与B互为对立事件
D．若事件A与B互为对立事件，则事件A∪B为必然事件
三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中的横线上)
13．从编号分别为1,2,3,4的四个大小完全相同的小球中，随机取出三个小球，则恰有两个小球编号相邻的概率为____．
14．线段AB的端点为A(x,5)，B(－2，y)，直线AB上的点C(1,1)，使||＝2||，则x＋y＝____．
15．已知f(x)是奇函数，且当x＜0时，f(x)＝－eax.若f(ln
2)＝8，则a＝____．
16．李明自主创业，在网上经营一家水果店，销售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃，价格依次为60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒．为增加销量，李明对这四种水果进行促销：一次购买水果的总价达到120元，顾客就少付x元．每笔订单顾客网上支付成功后，李明会得到支付款的80%．
(1)当x＝10时，顾客一次购买草莓和西瓜各1盒，需要支付____元；
(2)在促销活动中，为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折，则x的最大值为____．
四、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)已知A(1,1)，B(3，－1)，C(a，b)．
(1)若A，B，C三点共线，求a，b的关系式；
(2)若＝2，求点C的坐标．
18．(本小题满分12分)2019年入秋以来，某市多有雾霾天气，空气污染较为严重．市环保研究所对每天的空气污染情况进行调查研究后发现，每一天中空气污染指数f(x)与时刻x(时)的函数关系为：f(x)＝|log25(x＋1)－a|＋2a＋1，x∈[0,24]，其中a为空气治理调节参数，且a∈(0,1)．
(1)若a＝，求一天中哪个时刻该市的空气污染指数最低；
(2)若规定一天中f(x)的最大值作为当天的空气污染指数，要使该市每天的空气污染指数均不超过3，则调节参数a应控制在什么范围内？
19．(本小题满分12分)近年来，郑州经济快速发展，备受全国瞩目．无论是市内的井字形快速交通网，还是辐射全国的米字形高铁路网，郑州的交通优势在同级别的城市内无出其右．为了调查郑州市民对出行的满意程度，研究人员随机抽取了1
000名市民进行调查，并将满意程度以分数的形式统计成如下的频率分布直方图，其中a＝4B．
(1)求a，b的值；
(2)求被调查的市民的满意程度的平均数，众数，中位数；
(3)若按照分层抽样从[50,60)，[60,70)中随机抽取8人，再从这8人中随机抽取2人，求至少有1人的分数在[50,60)的概率．
20．(本小题满分12分)设直线l：mx＋y＋2＝0与线段AB有公共点P，其中A(－2,3)，B(3,2)，试用向量的方法求实数m的取值范围．
21．(本小题满分12分)甲、乙两人轮流投篮，每人每次投一球．约定甲先投且先投中者获胜，一直到有人获胜或每人都已投球3次时投篮结束．设甲每次投篮投中的概率为，乙每次投篮投中的概率为，且各次投篮互不影响．
(1)求乙获胜的概率；
(2)求投篮结束时乙只投了2个球的概率．
模块综合测试
(时间：120分钟 满分150分)
一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．如图所示，向量a－b等于( C )
A．－4e1－2e2
B．－2e1－4e2
C．e1－3e2
D．3e1－e2
[解析] 由题干图可得a－b＝＝e1－3e2．
2．某工厂生产甲、乙、丙三种型号的产品，产品数量之比为3∶5∶7，现用分层抽样的方法抽出容量为n的样本，其中甲种产品有18件，则样本容量n＝( B )
A．54
B．90
C．45
D．126
[解析] 依题意有×n＝18，由此解得n＝90，即样本容量为90．
3．函数y＝的定义域是( D )
A．(1，＋∞)
B．(2，＋∞)
C．(－∞，2]
D．(1,2]
[解析] 由log(x－1)≥0，
得0＜x－1≤1，
∴1＜x≤2．
4．甲、乙两人在一次射击比赛中各射靶5次，两人成绩的条形统计图如图所示，则( C )
A．甲的成绩的平均数小于乙的成绩的平均数
B．甲的成绩的中位数等于乙的成绩的中位数
C．甲的成绩的方差小于乙的成绩的方差
D．甲的成绩的极差小于乙的成绩的极差
[解析] 由条形统计图知：
甲射靶5次的成绩分别为：4,5,6,7,8；
乙射靶5次的成绩分别为：5,5,5,6,9；
所以甲＝＝6；
乙＝＝6．
所以甲＝乙．故A不正确．甲的成绩的中位数为6，乙的成绩的中位数为5，故B不正确．
s＝[(4－6)2＋(5－6)2＋(6－6)2＋(7－6)2＋(8－6)2]＝×10＝2，s＝[(5－6)2＋(5－6)2＋(5－6)2＋(6－6)2＋(9－6)2]＝×12＝，因为2＜，所以s＜s.故C正确．
甲的成绩的极差为：8－4＝4，
乙的成绩的极差为：9－5＝4，
故D不正确．故选C．
5．设a＝log0.50.6，b＝log1.10.6，c＝1.10.6，则( C )
A．a＜b＜c
B．b＜c＜a
C．b＜a＜c
D．c＜a＜b
[解析] ∵log0.51＜log0.50.6＜log0.50.5，∴0＜a＜1，
log1.10.6＜log1.11＝0，即b＜0,1.10.6＞1.10＝1，即c＞1，
∴b＜a＜C．
6．设a，b都是非零向量，下列四个条件中，使＝成立的充分条件是( D )
A．|a|＝|b|且a∥b
B．a＝－b
C．a∥b
D．a＝2b
[解析] ∵表示与a同向的单位向量，∴a与b必须方向相同才能满足＝．
7．若某公司从五位大学毕业生甲、乙、丙、丁、戊中录用三人，这五人被录用的机会均等，则甲或乙被录用的概率为( D )
A．
B．
C．
D．
[解析] 记事件A：甲或乙被录用．从五人中录用三人，基本事件有(甲，乙，丙)，(甲，乙，丁)，(甲，乙，戊)，(甲，丙，丁)，(甲，丙，戊)，(甲，丁，戊)，(乙，丙，丁)，(乙，丙，戊)，(乙，丁，戊)，(丙，丁，戊)，共10种可能，而A的对立事件仅有(丙，丁，戊)一种可能，∴A的对立事件的概率为
P()＝，∴P(A)＝1－P()＝．
8．函数y＝ax－2(a＞0且a≠1，－1≤x≤1)的值域是[－，1]，则实数a＝( C )
A．3
B．
C．3或
D．或
[解析] 当a＞1时，y＝ax－2在[－1,1]上为增函数，
∴解得a＝3；
当0＜a＜1时，y＝ax－2在[－1,1]上为减函数，
∴解得a＝．
综上可知a＝3或．
二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的．全部选对的得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分)
9．设a0为单位向量，下列命题是假命题的为( ABC )
A．若a为平面内的某个向量，则a＝|a|a0
B．若a与a0平行，则a＝|a|a0
C．若a与a0平行且|a|＝1，则a＝a0
D．若a为单位向量，则|a|＝|a0|
[解析] 向量是既有大小又有方向的量，a与|a|a0的模相同，但方向不一定相同，故A是假命题；若a与a0平行，则a与a0的方向有两种情况：一是同向，二是反向，反向时a＝－|a|a0，当|a|＝1时，a＝－a0，故B，C也是假命题；D为真命题．
10．总体由编号为01,02，…，60的60个个体组成，利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法是从随机数表第1行的第8列和第9列数字开始由左至右选取两个数字，则选出的第1个个体和第5个个体的编号分别为( AC )
50 44 66 44 29 67 06 58 03 69
80 34 27 18 83 61 46 42 23 91
67 43 25 74 58 83 11 03 30 20
83 53 12 28 47 73 63 05 35 99
A．42
B．36
C．22
D．14
[解析] 由随机数表可得：从随机数表第1行的第8列和第9列数字开始由左至右选取两个数字，选出的5个个体的编号为42,36,03,14,22，即选出的第1个个体和第5个个体的编号分别为42,22．
11．对于函数f(x)定义域中任意的x1，x2(x1≠x2)，有如下结论，当f(x)＝lg
x时，上述结论中正确结论的序号是( BC )
A．f(x1＋x2)＝f(x1)·f(x2)
B．f(x1·x2)＝f(x1)＋f(x2)
C．＞0
D．f()＜
[解析] 因为f(x)＝lg
x，且x1≠x2，
所以f(x1＋x2)＝lg
(x1＋x2)≠lg
x1·lg
x2．
所以A不正确．
f(x1·x2)＝lg
(x1·x2)＝lg
x1＋lg
x2＝f(x1)＋f(x2)．
因此B正确．
因为f(x)＝lg
x是增函数，
所以f(x1)－f(x2)与x1－x2同号．
所以＞0.因此C正确．
因为f()＞，
因此D是不正确的，综上，选BC．
12．下列命题为真命题的是( BD )
A．将一枚硬币抛两次，设事件M：“两次出现正面”，事件N：“只有一次出现反面”，则事件M与N互为对立事件
B．若事件A与B互为对立事件，则事件A与B为互斥事件
C．若事件A与B为互斥事件，则事件A与B互为对立事件
D．若事件A与B互为对立事件，则事件A∪B为必然事件
[解析] 对A，一枚硬币抛两次，共出现{正，正}，{正，反}，{反，正}，{反，反}四种结果，则事件M与N是互斥事件，但不是对立事件，故A错；对B，对立事件首先是互斥事件，故B正确；对C，互斥事件不一定是对立事件，如A中两个事件，故C错；对D，事件A，B为对立事件，则一次试验中A，B一定有一个要发生，故D正确．
三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中的横线上)
13．从编号分别为1,2,3,4的四个大小完全相同的小球中，随机取出三个小球，则恰有两个小球编号相邻的概率为____．
[解析] 从编号为1,2,3,4的四个大小完全相同的小球中，随机取出三个小球，共有4种不同的取法，恰好有两个小球编号相邻的有：(1,2,4)，(1,3,4)，共有2种，所以概率为．
14．线段AB的端点为A(x,5)，B(－2，y)，直线AB上的点C(1,1)，使||＝2||，则x＋y＝__－2或6__．
[解析] 由已知得＝(1－x，－4)，2＝2(3,1－y)．
由||＝2||，可得＝±2，
则当＝2时，有
解得此时x＋y＝－2；
当＝－2时，有
解得此时x＋y＝6．
综上可知，x＋y＝－2或6．
15．已知f(x)是奇函数，且当x＜0时，f(x)＝－eax.若f(ln
2)＝8，则a＝__－3__．
[解析] 由题意知f(x)是奇函数，且当x＜0时，f(x)＝－eax，又因为ln
2∈(0,1),
f(ln
2)＝8，所以－e－aln
2＝－8，两边取以e为底数的对数，得－aln
2＝3ln
2，所以－a＝3，即a＝－3．
16．李明自主创业，在网上经营一家水果店，销售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃，价格依次为60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒．为增加销量，李明对这四种水果进行促销：一次购买水果的总价达到120元，顾客就少付x元．每笔订单顾客网上支付成功后，李明会得到支付款的80%．
(1)当x＝10时，顾客一次购买草莓和西瓜各1盒，需要支付__130__元；
(2)在促销活动中，为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折，则x的最大值为__15__．
[解析] (1)价格为60＋80＝140元，达到120元，少付10元，所以需支付130元．
(2)设促销前总价为a元，a≥120，李明得到金额l(x)＝(a－x)×80%≥0.7a,0≤x≤120，即x≤恒成立，又最小值为＝15，所以x的最大值为15．
四、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)已知A(1,1)，B(3，－1)，C(a，b)．
(1)若A，B，C三点共线，求a，b的关系式；
(2)若＝2，求点C的坐标．
[解析] (1)由已知得＝(2，－2)，＝(a－1，b－1)，因为A，B，C三点共线，所以∥．
所以2(b－1)＋2(a－1)＝0，即a＋b＝2．
(2)因为＝2，
所以(a－1，b－1)＝2(2，－2)．
所以解得
所以点C的坐标为(5，－3)．
18．(本小题满分12分)2019年入秋以来，某市多有雾霾天气，空气污染较为严重．市环保研究所对每天的空气污染情况进行调查研究后发现，每一天中空气污染指数f(x)与时刻x(时)的函数关系为：f(x)＝|log25(x＋1)－a|＋2a＋1，x∈[0,24]，其中a为空气治理调节参数，且a∈(0,1)．
(1)若a＝，求一天中哪个时刻该市的空气污染指数最低；
(2)若规定一天中f(x)的最大值作为当天的空气污染指数，要使该市每天的空气污染指数均不超过3，则调节参数a应控制在什么范围内？
[解析] (1)若a＝，则f(x)＝|log25(x＋1)－|＋2≥2．
当f(x)＝2时，log25(x＋1)－＝0，得x＋1＝25，
即x＝4．
所以一天中凌晨4点该市的空气污染指数最低．
(2)设t＝log25(x＋1)，则当0≤x≤24时，0≤t≤1．
设g(t)＝|t－a|＋2a＋1，t∈[0,1]，
则g(t)＝
显然g(t)在[0，a]上是减函数，在(a,1]上是增函数，
则f(x)max＝max{g(0)，g(1)}．
因为g(0)＝3a＋1，g(1)＝a＋2，由g(0)－g(1)＝2a－1＞0，得a＞，
所以f(x)max＝
当0＜a≤时，2＜a＋2≤＜3，符合要求；
当＜a＜1时，由3a＋1≤3，得＜a≤．
故调节参数a应控制在(0，]内．
19．(本小题满分12分)近年来，郑州经济快速发展，备受全国瞩目．无论是市内的井字形快速交通网，还是辐射全国的米字形高铁路网，郑州的交通优势在同级别的城市内无出其右．为了调查郑州市民对出行的满意程度，研究人员随机抽取了1
000名市民进行调查，并将满意程度以分数的形式统计成如下的频率分布直方图，其中a＝4B．
(1)求a，b的值；
(2)求被调查的市民的满意程度的平均数，众数，中位数；
(3)若按照分层抽样从[50,60)，[60,70)中随机抽取8人，再从这8人中随机抽取2人，求至少有1人的分数在[50,60)的概率．
[解析] (1)依题意得(a＋b＋0.008＋0.027＋0.035)×10＝1，所以a＋b＝0.03，
又a＝4b，所以a＝0.024，b＝0.006．
(2)平均数为55×0.08＋65×0.24＋75×0.35＋85×0.27＋95×0.06＝74.9，
中位数为70＋≈75.14，
众数为＝75．
(3)依题意，知从分数在[50,60)的市民中抽取了2人，记为a，b，从分数在[60,70)的市民中抽取了6人，记为1,2,3,4,5,6，所以从这8人中随机抽取2人的所有的情况为(a，b)，(a,1)，(a,2)，(a,3)，(a,4)，(a,5)，(a,6)，(b,1)，(b,2)，(b,3)，(b,4)，(b,5)，(b,6)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(4,5)，(4,6)，(5,6)共28种．
其中满足条件的为(a，b)，(a,1)，(a,2)，(a,3)，(a,4)，(a,5)，(a,6)，(b,1)，(b,2)，(b,3)，(b,4)，(b,5)，(b,6)，共13种．
设“至少有1人的分数在[50,60)”为事件A，则P(A)＝．
20．(本小题满分12分)设直线l：mx＋y＋2＝0与线段AB有公共点P，其中A(－2,3)，B(3,2)，试用向量的方法求实数m的取值范围．
[解析] (1)P与A重合时，m×(－2)＋3＋2＝0，所以m＝.P与B重合时，3m＋2＋2＝0，所以m＝－．
(2)P与A，B不重合时，设＝λ，则λ＞0．
设P(x，y)，则＝(x＋2，y－3)，
＝(3－x,2－y)．
所以所以
把x，y代入mx＋y＋2＝0可解得λ＝，
又因为λ＞0，所以＞0．
所以m＜－或m＞．
由(1)(2)知，所求实数m的取值范围是(－∞，－]∪[，＋∞)．
21．(本小题满分12分)甲、乙两人轮流投篮，每人每次投一球．约定甲先投且先投中者获胜，一直到有人获胜或每人都已投球3次时投篮结束．设甲每次投篮投中的概率为，乙每次投篮投中的概率为，且各次投篮互不影响．
(1)求乙获胜的概率；
(2)求投篮结束时乙只投了2个球的概率．
[解析] 设Ak，Bk分别表示甲、乙在第k次投篮时投中，则P(Ak)＝，P(Bk)＝(k＝1,2,3)．
(1)记“乙获胜”为事件C，则P(C)＝P(1B1)＋P(112B2)＋P(11223B3)
＝P(1)P(B1)＋P(1)P(1)P(2)P(B2)＋P(1)P(1)P(2)P(2)P(3)P(B3)＝×＋()2×()2＋()3×()3＝．
(2)记“投篮结束时乙只投了2个球”为事件D，则
P(D)＝P(112B2)＋P(1122A3)
＝P(1)P(1)P(2)P(B2)＋P(1)P(1)P(2)P(2)P(A3)
＝()2×()2＋()2×()2×＝．
22．(本小题满分12分)已知指数函数y＝g(x)满足g(2)＝4，定义域为R的函数f(x)＝是奇函数．
(1)确定y＝g(x)的解析式；
(2)求m，n的值；
(3)若对任意的t∈R，不等式f(t2－2t)＋f(2t2－k)＜0恒成立，求实数k的取值范围．
[解析] (1)g(x)＝2x．
(2)由(1)知f(x)＝．
∵f(x)在R上是奇函数，
∴f(0)＝0，即＝0，∴n＝1.∴f(x)＝．
又由f(1)＝－f(－1)知＝－，解得m＝2．
(3)由(2)知f(x)＝＝－＋，
易知f(x)在(－∞，＋∞)上为减函数．
又f(x)是奇函数，从而不等式f(t2－2t)＋f(2t2－k)＜0等价于f(t2－2t)＜－f(2t2－k)＝f(k－2t2)，∴t2－2t＞k－2t2，即3t2－2t－k＞0．
由判别式Δ＝4＋12k＜0可得k＜－．
(时间：120分钟 满分150分)
一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．如图所示，向量a－b等于( )
A．－4e1－2e2
B．－2e1－4e2
C．e1－3e2
D．3e1－e2
2．某工厂生产甲、乙、丙三种型号的产品，产品数量之比为3∶5∶7，现用分层抽样的方法抽出容量为n的样本，其中甲种产品有18件，则样本容量n＝( )
A．54
B．90
C．45
D．126
3．函数y＝的定义域是( )
A．(1，＋∞)
B．(2，＋∞)
C．(－∞，2]
D．(1,2]
4．甲、乙两人在一次射击比赛中各射靶5次，两人成绩的条形统计图如图所示，则( )
A．甲的成绩的平均数小于乙的成绩的平均数
B．甲的成绩的中位数等于乙的成绩的中位数
C．甲的成绩的方差小于乙的成绩的方差
D．甲的成绩的极差小于乙的成绩的极差
5．设a＝log0.50.6，b＝log1.10.6，c＝1.10.6，则( C )
A．a＜b＜c
B．b＜c＜a
C．b＜a＜c
D．c＜a＜b
6．设a，b都是非零向量，下列四个条件中，使＝成立的充分条件是( )
A．|a|＝|b|且a∥b
B．a＝－b
C．a∥b
D．a＝2b
7．若某公司从五位大学毕业生甲、乙、丙、丁、戊中录用三人，这五人被录用的机会均等，则甲或乙被录用的概率为( )
A．
B．
C．
D．
8．函数y＝ax－2(a＞0且a≠1，－1≤x≤1)的值域是[－，1]，则实数a＝( )
A．3
B．
C．3或
D．或
二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的．全部选对的得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分)
9．设a0为单位向量，下列命题是假命题的为( )
A．若a为平面内的某个向量，则a＝|a|a0
B．若a与a0平行，则a＝|a|a0
C．若a与a0平行且|a|＝1，则a＝a0
D．若a为单位向量，则|a|＝|a0|
10．总体由编号为01,02，…，60的60个个体组成，利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法是从随机数表第1行的第8列和第9列数字开始由左至右选取两个数字，则选出的第1个个体和第5个个体的编号分别为( )
50 44 66 44 29 67 06 58 03 69
80 34 27 18 83 61 46 42 23 91
67 43 25 74 58 83 11 03 30 20
83 53 12 28 47 73 63 05 35 99
A．42
B．36
C．22
D．14
11．对于函数f(x)定义域中任意的x1，x2(x1≠x2)，有如下结论，当f(x)＝lg
x时，上述结论中正确结论的序号是( )
A．f(x1＋x2)＝f(x1)·f(x2)
B．f(x1·x2)＝f(x1)＋f(x2)
C．＞0
D．f()＜
12．下列命题为真命题的是( )
A．将一枚硬币抛两次，设事件M：“两次出现正面”，事件N：“只有一次出现反面”，则事件M与N互为对立事件
B．若事件A与B互为对立事件，则事件A与B为互斥事件
C．若事件A与B为互斥事件，则事件A与B互为对立事件
D．若事件A与B互为对立事件，则事件A∪B为必然事件
三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中的横线上)
13．从编号分别为1,2,3,4的四个大小完全相同的小球中，随机取出三个小球，则恰有两个小球编号相邻的概率为____．
14．线段AB的端点为A(x,5)，B(－2，y)，直线AB上的点C(1,1)，使||＝2||，则x＋y＝____．
15．已知f(x)是奇函数，且当x＜0时，f(x)＝－eax.若f(ln
2)＝8，则a＝____．
16．李明自主创业，在网上经营一家水果店，销售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃，价格依次为60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒．为增加销量，李明对这四种水果进行促销：一次购买水果的总价达到120元，顾客就少付x元．每笔订单顾客网上支付成功后，李明会得到支付款的80%．
(1)当x＝10时，顾客一次购买草莓和西瓜各1盒，需要支付____元；
(2)在促销活动中，为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折，则x的最大值为____．
四、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)已知A(1,1)，B(3，－1)，C(a，b)．
(1)若A，B，C三点共线，求a，b的关系式；
(2)若＝2，求点C的坐标．
18．(本小题满分12分)2019年入秋以来，某市多有雾霾天气，空气污染较为严重．市环保研究所对每天的空气污染情况进行调查研究后发现，每一天中空气污染指数f(x)与时刻x(时)的函数关系为：f(x)＝|log25(x＋1)－a|＋2a＋1，x∈[0,24]，其中a为空气治理调节参数，且a∈(0,1)．
(1)若a＝，求一天中哪个时刻该市的空气污染指数最低；
(2)若规定一天中f(x)的最大值作为当天的空气污染指数，要使该市每天的空气污染指数均不超过3，则调节参数a应控制在什么范围内？
19．(本小题满分12分)近年来，郑州经济快速发展，备受全国瞩目．无论是市内的井字形快速交通网，还是辐射全国的米字形高铁路网，郑州的交通优势在同级别的城市内无出其右．为了调查郑州市民对出行的满意程度，研究人员随机抽取了1
000名市民进行调查，并将满意程度以分数的形式统计成如下的频率分布直方图，其中a＝4B．
(1)求a，b的值；
(2)求被调查的市民的满意程度的平均数，众数，中位数；
(3)若按照分层抽样从[50,60)，[60,70)中随机抽取8人，再从这8人中随机抽取2人，求至少有1人的分数在[50,60)的概率．
20．(本小题满分12分)设直线l：mx＋y＋2＝0与线段AB有公共点P，其中A(－2,3)，B(3,2)，试用向量的方法求实数m的取值范围．
21．(本小题满分12分)甲、乙两人轮流投篮，每人每次投一球．约定甲先投且先投中者获胜，一直到有人获胜或每人都已投球3次时投篮结束．设甲每次投篮投中的概率为，乙每次投篮投中的概率为，且各次投篮互不影响．
(1)求乙获胜的概率；
(2)求投篮结束时乙只投了2个球的概率．
模块综合测试
(时间：120分钟 满分150分)
一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．如图所示，向量a－b等于( C )
A．－4e1－2e2
B．－2e1－4e2
C．e1－3e2
D．3e1－e2
[解析] 由题干图可得a－b＝＝e1－3e2．
2．某工厂生产甲、乙、丙三种型号的产品，产品数量之比为3∶5∶7，现用分层抽样的方法抽出容量为n的样本，其中甲种产品有18件，则样本容量n＝( B )
A．54
B．90
C．45
D．126
[解析] 依题意有×n＝18，由此解得n＝90，即样本容量为90．
3．函数y＝的定义域是( D )
A．(1，＋∞)
B．(2，＋∞)
C．(－∞，2]
D．(1,2]
[解析] 由log(x－1)≥0，
得0＜x－1≤1，
∴1＜x≤2．
4．甲、乙两人在一次射击比赛中各射靶5次，两人成绩的条形统计图如图所示，则( C )
A．甲的成绩的平均数小于乙的成绩的平均数
B．甲的成绩的中位数等于乙的成绩的中位数
C．甲的成绩的方差小于乙的成绩的方差
D．甲的成绩的极差小于乙的成绩的极差
[解析] 由条形统计图知：
甲射靶5次的成绩分别为：4,5,6,7,8；
乙射靶5次的成绩分别为：5,5,5,6,9；
所以甲＝＝6；
乙＝＝6．
所以甲＝乙．故A不正确．甲的成绩的中位数为6，乙的成绩的中位数为5，故B不正确．
s＝[(4－6)2＋(5－6)2＋(6－6)2＋(7－6)2＋(8－6)2]＝×10＝2，s＝[(5－6)2＋(5－6)2＋(5－6)2＋(6－6)2＋(9－6)2]＝×12＝，因为2＜，所以s＜s.故C正确．
甲的成绩的极差为：8－4＝4，
乙的成绩的极差为：9－5＝4，
故D不正确．故选C．
5．设a＝log0.50.6，b＝log1.10.6，c＝1.10.6，则( C )
A．a＜b＜c
B．b＜c＜a
C．b＜a＜c
D．c＜a＜b
[解析] ∵log0.51＜log0.50.6＜log0.50.5，∴0＜a＜1，
log1.10.6＜log1.11＝0，即b＜0,1.10.6＞1.10＝1，即c＞1，
∴b＜a＜C．
6．设a，b都是非零向量，下列四个条件中，使＝成立的充分条件是( D )
A．|a|＝|b|且a∥b
B．a＝－b
C．a∥b
D．a＝2b
[解析] ∵表示与a同向的单位向量，∴a与b必须方向相同才能满足＝．
7．若某公司从五位大学毕业生甲、乙、丙、丁、戊中录用三人，这五人被录用的机会均等，则甲或乙被录用的概率为( D )
A．
B．
C．
D．
[解析] 记事件A：甲或乙被录用．从五人中录用三人，基本事件有(甲，乙，丙)，(甲，乙，丁)，(甲，乙，戊)，(甲，丙，丁)，(甲，丙，戊)，(甲，丁，戊)，(乙，丙，丁)，(乙，丙，戊)，(乙，丁，戊)，(丙，丁，戊)，共10种可能，而A的对立事件仅有(丙，丁，戊)一种可能，∴A的对立事件的概率为
P()＝，∴P(A)＝1－P()＝．
8．函数y＝ax－2(a＞0且a≠1，－1≤x≤1)的值域是[－，1]，则实数a＝( C )
A．3
B．
C．3或
D．或
[解析] 当a＞1时，y＝ax－2在[－1,1]上为增函数，
∴解得a＝3；
当0＜a＜1时，y＝ax－2在[－1,1]上为减函数，
∴解得a＝．
综上可知a＝3或．
二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的．全部选对的得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分)
9．设a0为单位向量，下列命题是假命题的为( ABC )
A．若a为平面内的某个向量，则a＝|a|a0
B．若a与a0平行，则a＝|a|a0
C．若a与a0平行且|a|＝1，则a＝a0
D．若a为单位向量，则|a|＝|a0|
[解析] 向量是既有大小又有方向的量，a与|a|a0的模相同，但方向不一定相同，故A是假命题；若a与a0平行，则a与a0的方向有两种情况：一是同向，二是反向，反向时a＝－|a|a0，当|a|＝1时，a＝－a0，故B，C也是假命题；D为真命题．
10．总体由编号为01,02，…，60的60个个体组成，利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法是从随机数表第1行的第8列和第9列数字开始由左至右选取两个数字，则选出的第1个个体和第5个个体的编号分别为( AC )
50 44 66 44 29 67 06 58 03 69
80 34 27 18 83 61 46 42 23 91
67 43 25 74 58 83 11 03 30 20
83 53 12 28 47 73 63 05 35 99
A．42
B．36
C．22
D．14
[解析] 由随机数表可得：从随机数表第1行的第8列和第9列数字开始由左至右选取两个数字，选出的5个个体的编号为42,36,03,14,22，即选出的第1个个体和第5个个体的编号分别为42,22．
11．对于函数f(x)定义域中任意的x1，x2(x1≠x2)，有如下结论，当f(x)＝lg
x时，上述结论中正确结论的序号是( BC )
A．f(x1＋x2)＝f(x1)·f(x2)
B．f(x1·x2)＝f(x1)＋f(x2)
C．＞0
D．f()＜
[解析] 因为f(x)＝lg
x，且x1≠x2，
所以f(x1＋x2)＝lg
(x1＋x2)≠lg
x1·lg
x2．
所以A不正确．
f(x1·x2)＝lg
(x1·x2)＝lg
x1＋lg
x2＝f(x1)＋f(x2)．
因此B正确．
因为f(x)＝lg
x是增函数，
所以f(x1)－f(x2)与x1－x2同号．
所以＞0.因此C正确．
因为f()＞，
因此D是不正确的，综上，选BC．
12．下列命题为真命题的是( BD )
A．将一枚硬币抛两次，设事件M：“两次出现正面”，事件N：“只有一次出现反面”，则事件M与N互为对立事件
B．若事件A与B互为对立事件，则事件A与B为互斥事件
C．若事件A与B为互斥事件，则事件A与B互为对立事件
D．若事件A与B互为对立事件，则事件A∪B为必然事件
[解析] 对A，一枚硬币抛两次，共出现{正，正}，{正，反}，{反，正}，{反，反}四种结果，则事件M与N是互斥事件，但不是对立事件，故A错；对B，对立事件首先是互斥事件，故B正确；对C，互斥事件不一定是对立事件，如A中两个事件，故C错；对D，事件A，B为对立事件，则一次试验中A，B一定有一个要发生，故D正确．
三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中的横线上)
13．从编号分别为1,2,3,4的四个大小完全相同的小球中，随机取出三个小球，则恰有两个小球编号相邻的概率为____．
[解析] 从编号为1,2,3,4的四个大小完全相同的小球中，随机取出三个小球，共有4种不同的取法，恰好有两个小球编号相邻的有：(1,2,4)，(1,3,4)，共有2种，所以概率为．
14．线段AB的端点为A(x,5)，B(－2，y)，直线AB上的点C(1,1)，使||＝2||，则x＋y＝__－2或6__．
[解析] 由已知得＝(1－x，－4)，2＝2(3,1－y)．
由||＝2||，可得＝±2，
则当＝2时，有
解得此时x＋y＝－2；
当＝－2时，有
解得此时x＋y＝6．
综上可知，x＋y＝－2或6．
15．已知f(x)是奇函数，且当x＜0时，f(x)＝－eax.若f(ln
2)＝8，则a＝__－3__．
[解析] 由题意知f(x)是奇函数，且当x＜0时，f(x)＝－eax，又因为ln
2∈(0,1),
f(ln
2)＝8，所以－e－aln
2＝－8，两边取以e为底数的对数，得－aln
2＝3ln
2，所以－a＝3，即a＝－3．
16．李明自主创业，在网上经营一家水果店，销售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃，价格依次为60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒．为增加销量，李明对这四种水果进行促销：一次购买水果的总价达到120元，顾客就少付x元．每笔订单顾客网上支付成功后，李明会得到支付款的80%．
(1)当x＝10时，顾客一次购买草莓和西瓜各1盒，需要支付__130__元；
(2)在促销活动中，为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折，则x的最大值为__15__．
[解析] (1)价格为60＋80＝140元，达到120元，少付10元，所以需支付130元．
(2)设促销前总价为a元，a≥120，李明得到金额l(x)＝(a－x)×80%≥0.7a,0≤x≤120，即x≤恒成立，又最小值为＝15，所以x的最大值为15．
四、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)已知A(1,1)，B(3，－1)，C(a，b)．
(1)若A，B，C三点共线，求a，b的关系式；
(2)若＝2，求点C的坐标．
[解析] (1)由已知得＝(2，－2)，＝(a－1，b－1)，因为A，B，C三点共线，所以∥．
所以2(b－1)＋2(a－1)＝0，即a＋b＝2．
(2)因为＝2，
所以(a－1，b－1)＝2(2，－2)．
所以解得
所以点C的坐标为(5，－3)．
18．(本小题满分12分)2019年入秋以来，某市多有雾霾天气，空气污染较为严重．市环保研究所对每天的空气污染情况进行调查研究后发现，每一天中空气污染指数f(x)与时刻x(时)的函数关系为：f(x)＝|log25(x＋1)－a|＋2a＋1，x∈[0,24]，其中a为空气治理调节参数，且a∈(0,1)．
(1)若a＝，求一天中哪个时刻该市的空气污染指数最低；
(2)若规定一天中f(x)的最大值作为当天的空气污染指数，要使该市每天的空气污染指数均不超过3，则调节参数a应控制在什么范围内？
[解析] (1)若a＝，则f(x)＝|log25(x＋1)－|＋2≥2．
当f(x)＝2时，log25(x＋1)－＝0，得x＋1＝25，
即x＝4．
所以一天中凌晨4点该市的空气污染指数最低．
(2)设t＝log25(x＋1)，则当0≤x≤24时，0≤t≤1．
设g(t)＝|t－a|＋2a＋1，t∈[0,1]，
则g(t)＝
显然g(t)在[0，a]上是减函数，在(a,1]上是增函数，
则f(x)max＝max{g(0)，g(1)}．
因为g(0)＝3a＋1，g(1)＝a＋2，由g(0)－g(1)＝2a－1＞0，得a＞，
所以f(x)max＝
当0＜a≤时，2＜a＋2≤＜3，符合要求；
当＜a＜1时，由3a＋1≤3，得＜a≤．
故调节参数a应控制在(0，]内．
19．(本小题满分12分)近年来，郑州经济快速发展，备受全国瞩目．无论是市内的井字形快速交通网，还是辐射全国的米字形高铁路网，郑州的交通优势在同级别的城市内无出其右．为了调查郑州市民对出行的满意程度，研究人员随机抽取了1
000名市民进行调查，并将满意程度以分数的形式统计成如下的频率分布直方图，其中a＝4B．
(1)求a，b的值；
(2)求被调查的市民的满意程度的平均数，众数，中位数；
(3)若按照分层抽样从[50,60)，[60,70)中随机抽取8人，再从这8人中随机抽取2人，求至少有1人的分数在[50,60)的概率．
[解析] (1)依题意得(a＋b＋0.008＋0.027＋0.035)×10＝1，所以a＋b＝0.03，
又a＝4b，所以a＝0.024，b＝0.006．
(2)平均数为55×0.08＋65×0.24＋75×0.35＋85×0.27＋95×0.06＝74.9，
中位数为70＋≈75.14，
众数为＝75．
(3)依题意，知从分数在[50,60)的市民中抽取了2人，记为a，b，从分数在[60,70)的市民中抽取了6人，记为1,2,3,4,5,6，所以从这8人中随机抽取2人的所有的情况为(a，b)，(a,1)，(a,2)，(a,3)，(a,4)，(a,5)，(a,6)，(b,1)，(b,2)，(b,3)，(b,4)，(b,5)，(b,6)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(4,5)，(4,6)，(5,6)共28种．
其中满足条件的为(a，b)，(a,1)，(a,2)，(a,3)，(a,4)，(a,5)，(a,6)，(b,1)，(b,2)，(b,3)，(b,4)，(b,5)，(b,6)，共13种．
设“至少有1人的分数在[50,60)”为事件A，则P(A)＝．
20．(本小题满分12分)设直线l：mx＋y＋2＝0与线段AB有公共点P，其中A(－2,3)，B(3,2)，试用向量的方法求实数m的取值范围．
[解析] (1)P与A重合时，m×(－2)＋3＋2＝0，所以m＝.P与B重合时，3m＋2＋2＝0，所以m＝－．
(2)P与A，B不重合时，设＝λ，则λ＞0．
设P(x，y)，则＝(x＋2，y－3)，
＝(3－x,2－y)．
所以所以
把x，y代入mx＋y＋2＝0可解得λ＝，
又因为λ＞0，所以＞0．
所以m＜－或m＞．
由(1)(2)知，所求实数m的取值范围是(－∞，－]∪[，＋∞)．
21．(本小题满分12分)甲、乙两人轮流投篮，每人每次投一球．约定甲先投且先投中者获胜，一直到有人获胜或每人都已投球3次时投篮结束．设甲每次投篮投中的概率为，乙每次投篮投中的概率为，且各次投篮互不影响．
(1)求乙获胜的概率；
(2)求投篮结束时乙只投了2个球的概率．
[解析] 设Ak，Bk分别表示甲、乙在第k次投篮时投中，则P(Ak)＝，P(Bk)＝(k＝1,2,3)．
(1)记“乙获胜”为事件C，则P(C)＝P(1B1)＋P(112B2)＋P(11223B3)
＝P(1)P(B1)＋P(1)P(1)P(2)P(B2)＋P(1)P(1)P(2)P(2)P(3)P(B3)＝×＋()2×()2＋()3×()3＝．
(2)记“投篮结束时乙只投了2个球”为事件D，则
P(D)＝P(112B2)＋P(1122A3)
＝P(1)P(1)P(2)P(B2)＋P(1)P(1)P(2)P(2)P(A3)
＝()2×()2＋()2×()2×＝．
22．(本小题满分12分)已知指数函数y＝g(x)满足g(2)＝4，定义域为R的函数f(x)＝是奇函数．
(1)确定y＝g(x)的解析式；
(2)求m，n的值；
(3)若对任意的t∈R，不等式f(t2－2t)＋f(2t2－k)＜0恒成立，求实数k的取值范围．
[解析] (1)g(x)＝2x．
(2)由(1)知f(x)＝．
∵f(x)在R上是奇函数，
∴f(0)＝0，即＝0，∴n＝1.∴f(x)＝．
又由f(1)＝－f(－1)知＝－，解得m＝2．
(3)由(2)知f(x)＝＝－＋，
易知f(x)在(－∞，＋∞)上为减函数．
又f(x)是奇函数，从而不等式f(t2－2t)＋f(2t2－k)＜0等价于f(t2－2t)＜－f(2t2－k)＝f(k－2t2)，∴t2－2t＞k－2t2，即3t2－2t－k＞0．
由判别式Δ＝4＋12k＜0可得k＜－．