第五章 5.3 5.3.5
A级 基础巩固
一、选择题
1．设两个独立事件A和B都不发生的概率为，A发生B不发生的概率为，A发生B不发生的概率与B发生A不发生的概率相同，则事件A发生的概率P(A)是( )
A．
B．
C．
D．
2．投掷一枚均匀硬币和一枚均匀骰子各一次，记“硬币正面向上”为事件A，“骰子向上的点数是3”为事件B，则事件A、B中至少有一件发生的概率是( )
A．
B．
C．
D．
3．甲、乙两人独立地解决同一个问题，甲能解决这个问题的概率是P1，乙能解决这个问题的概率是P2，那么至少有一人能解决这个问题的概率是( )
A．P1＋P2
B．P1P2
C．1－P1P2
D．1－(1－P1)(1－P2)
4．两个实习生每人加工一个零件，加工为一等品的概率分别为和，两个零件是否加工为一等品相互独立，则这两个零件中恰有一个一等品的概率为( )
A．
B．
C．
D．
5．三个元件T1，T2，T3正常工作的概率分别为，，，且是互相独立的．将它们中某两个元件并联后再和第三个元件串联接入电路，在如图的电路中，电路不发生故障的概率是( )
A．
B．
C．
D．
二、填空题
6．一道数学竞赛试题，甲生解出它的概率为，乙生解出它的概率为，丙生解出它的概率为.
由甲、乙、丙三人独立解答此题只有一人解出的概率为____．
7．本着健康、低碳的生活理念，租自行车骑游的人越来越多．某自行车租车点的收费标准是每车每次租车时间不超过两小时免费，超过两小时的部分每小时收费标准为2元(不足1小时的部分按1小时计算)，有甲、乙两人相互独立来该租车点租车骑游(各租一车一次)．设甲、乙不超过两小时还车的概率分别为，，两小时以上且不超过三小时还车的概率分别为，；两人租车时间都不会超过四小时．求甲、乙两人所付的租车费用相同的概率为___
．
8．某次知识竞赛规则如下：在主办方预设的5个问题中，选手若能连续正确回答出两个问题，即停止答题，晋级下一轮．假设某选手正确回答每个问题的概率都是0.8，且每个问题的回答结果相互独立，则该选手恰好回答了4个问题就晋级下一轮的概率等于____．
三、解答题
9．某田径队有三名短跑运动员，根据平时训练情况统计甲、乙、丙三人100米跑(互不影响)的成绩在13s内(称为合格)的概率分别为，，.若对这三名短跑运动员的100米跑的成绩进行一次测试，求：
(1)三人都合格的概率；
(2)三人都不合格的概率；
(3)出现几人合格的概率最大．
10．一名学生骑自行车上学，从他家到学校的途中有5个交通岗，假设他在各个交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，并且概率都是.求：
(1)这名学生在途中遇到4次红灯的概率；
(2)这名学生在首次停车前经过了3个路口的概率；
(3)这名学生至少遇到一次红灯的概率．
B级 素养提升
一、选择题
1．荷花池中，有一只青蛙在成品字形的三片荷叶上跳来跳去(每次跳跃时，均从一片荷叶跳到另一个荷叶)，而且逆时针方向跳的概率是顺时针方向跳的概率的两倍，如图所示．假设现在青蛙在A荷叶上，则跳三次之后停在A荷叶上的概率是( )
A．
B．
C．
D．
2．从甲袋内摸出1个白球的概率为，从乙袋内摸出1个白球的概率是，从两个袋内各摸1个球，那么概率为的事件是( )
A．2个球都是白球
B．2个球都不是白球
C．2个球不都是白球
D．2个球中恰好有1个白球
3．(多选题)掷一枚硬币两次，记事件A＝“第一次出现正面”，B＝“第二次出现反面”，下列结论错误的为( )
A．A与B相互独立
B．P(A∪B)＝P(A)＋P(B)
C．A与B互斥
D．P(AB)＝
4．体育课上定点投篮项目测试规则：每位同学有3次投篮机会，一旦投中，则停止投篮，视为合格，否则一直投3次为止．每次投中与否相互独立，某同学一次投篮投中的概率为p，若该同学本次测试合格的概率为0.784，则p＝( )
A．0.4
B．0.6
C．0.1
D．0.2
二、填空题
5．甲袋中有8个白球，4个红球；乙袋中有6个白球，6个红球，从每袋中任取一个球，则取得同色球的概率为____．
6．甲、乙、丙三人将参加某项测试，他们能达标的概率分别是0.8,0.6,0.5，则三人都达标的概率是__0.24__，三人中至少有一人达标的概率是____．
三、解答题
7．计算机考试分理论考试和上机操作考试两部分，每部分考试成绩只记“合格”与“不合格”，两部分考试都“合格”则计算机考试合格并颁布合格证书．甲、乙、丙三人在理论考试中合格的概率分别为，，；在上机操作考试中合格的概率分别为，，，所有考试是否合格相互之间没有影响．
(1)甲、乙、丙三人在同一计算机考试中谁获得合格证书的可能性最大？
(2)求这三人计算机考试都获得合格证书的概率．
8．甲、乙、丙三台机床各自独立地加工同一种零件，已知甲机床加工的零件是一等品而乙机床加工的零件不是一等品的概率为，乙机床加工的零件是一等品而丙机床加工的零件不是一等品的概率为.甲、丙两台机床加工的零件都是一等品的概率为．
(1)分别求甲、乙、丙三台机床各自加工的零件是一等品的概率；
(2)从甲、乙、丙加工的零件中各取一个检验，求至少有一个一等品的概率．
第五章 5.3 5.3.5
A级 基础巩固
一、选择题
1．设两个独立事件A和B都不发生的概率为，A发生B不发生的概率为，A发生B不发生的概率与B发生A不发生的概率相同，则事件A发生的概率P(A)是( D )
A．
B．
C．
D．
[解析] 由P(A∩)＝P(B∩)得P(A)P()＝P(B)·P()，即P(A)[1－P(B)]＝P(B)[1－P(A)]，
∴P(A)＝P(B)．又P(∩)＝，
∴P()＝P()＝．
∴P(A)＝．
故选D．
2．投掷一枚均匀硬币和一枚均匀骰子各一次，记“硬币正面向上”为事件A，“骰子向上的点数是3”为事件B，则事件A、B中至少有一件发生的概率是( C )
A．
B．
C．
D．
[解析] 由题意P(A)＝，P(B)＝，事件A、B中至少有一个发生的概率P＝1－×＝．
3．甲、乙两人独立地解决同一个问题，甲能解决这个问题的概率是P1，乙能解决这个问题的概率是P2，那么至少有一人能解决这个问题的概率是( D )
A．P1＋P2
B．P1P2
C．1－P1P2
D．1－(1－P1)(1－P2)
[解析] 甲能解决这个问题的概率是P1，乙能解决这个问题的概率是P2，
则甲不能解决这个问题的概率是1－P1，乙不能解决这个问题的概率是1－P2，
则甲、乙都不能解决这个问题的概率是(1－P1)(1－P2)，则至少有一人能解决这个问题的概率是1－(1－P1)(1－P2)，故选D．
4．两个实习生每人加工一个零件，加工为一等品的概率分别为和，两个零件是否加工为一等品相互独立，则这两个零件中恰有一个一等品的概率为( B )
A．
B．
C．
D．
[解析] 所求概率为×＋×＝或P＝1－×－×＝．
5．三个元件T1，T2，T3正常工作的概率分别为，，，且是互相独立的．将它们中某两个元件并联后再和第三个元件串联接入电路，在如图的电路中，电路不发生故障的概率是( A )
A．
B．
C．
D．
[解析] 记“三个元件T1，T2，T3正常工作”分别为事件A1，A2，A3，则P(A1)＝，P(A2)＝，P(A3)＝．
不发生故障的事件为(A2∪A3)∩A1，
∴不发生故障的概率为
P＝P[(A2∪A3)∩A1]
＝[1－P()·P()]·P(A1)
＝(1－×)×＝．
故选A．
二、填空题
6．一道数学竞赛试题，甲生解出它的概率为，乙生解出它的概率为，丙生解出它的概率为.
由甲、乙、丙三人独立解答此题只有一人解出的概率为____．
[解析] 甲生解出，而乙、丙不能解出为事件A1，则P(A1)＝××＝，
乙生解出，而甲、丙不能解出为事件A2，则P(A2)＝××＝，
丙生解出，而甲、乙不能解出为事件A3，则P(A3)＝××＝．
甲、乙、丙三人独立解答此题只有一人解出的概率为P(A1)＋P(A2)＋P(A3)＝＋＋＝．
7．本着健康、低碳的生活理念，租自行车骑游的人越来越多．某自行车租车点的收费标准是每车每次租车时间不超过两小时免费，超过两小时的部分每小时收费标准为2元(不足1小时的部分按1小时计算)，有甲、乙两人相互独立来该租车点租车骑游(各租一车一次)．设甲、乙不超过两小时还车的概率分别为，，两小时以上且不超过三小时还车的概率分别为，；两人租车时间都不会超过四小时．求甲、乙两人所付的租车费用相同的概率为____
．
[解析] 由题意得，甲、乙在三小时以上且不超过四小时还车的概率分别为，．
设甲，乙两人所付的租车费用相同为事件A，
则P(A)＝×＋×＋×＝，
即甲、乙两人所付的租车费用相同的概率为．
8．某次知识竞赛规则如下：在主办方预设的5个问题中，选手若能连续正确回答出两个问题，即停止答题，晋级下一轮．假设某选手正确回答每个问题的概率都是0.8，且每个问题的回答结果相互独立，则该选手恰好回答了4个问题就晋级下一轮的概率等于__0.128__．
[解析] 此选手恰好回答4个问题就晋级下一轮，说明此选手第2个问题回答错误，第3、第4个问题均回答正确，第1个问题答对答错都可以．因为每个问题的回答结果相互独立，故所求的概率为1×0.2×0.82＝0.128．
三、解答题
9．某田径队有三名短跑运动员，根据平时训练情况统计甲、乙、丙三人100米跑(互不影响)的成绩在13s内(称为合格)的概率分别为，，.若对这三名短跑运动员的100米跑的成绩进行一次测试，求：
(1)三人都合格的概率；
(2)三人都不合格的概率；
(3)出现几人合格的概率最大．
[解析] 记甲、乙、丙三人100米跑成绩合格分别为事件A，B，C，显然事件A，B，C相互独立，P(A)＝，P(B)＝，P(C)＝．
设恰有k人合格的概率为Pk(k＝0,1,2,3)．
(1)三人都合格的概率
P3＝P(ABC)＝P(A)P(B)P(C)＝××＝．
(2)三人都不合格的概率P0＝P()＝P()·P()·P()＝××＝．
(3)恰有两人合格的概率P2＝P(AB)＋P(AC)＋P(BC)＝××＋××＋××＝．
恰有一人合格的概率P1＝1－P0－P2－P3＝1－－－＝＝．
综合(1)(2)可知P1最大．
所以出现恰有一人合格的概率最大．
10．一名学生骑自行车上学，从他家到学校的途中有5个交通岗，假设他在各个交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，并且概率都是.求：
(1)这名学生在途中遇到4次红灯的概率；
(2)这名学生在首次停车前经过了3个路口的概率；
(3)这名学生至少遇到一次红灯的概率．
[解析] (1)设事件A为在途中遇到4次红灯，P(A)＝4××5＝．
(2)设首次停车前经过3个路口为事件B，
则P(B)＝3×＝．
(3)设至少遇到一次红灯为事件C，
则其对立事件为全遇到绿灯，
所以P(C)＝1－5＝．
B级 素养提升
一、选择题
1．荷花池中，有一只青蛙在成品字形的三片荷叶上跳来跳去(每次跳跃时，均从一片荷叶跳到另一个荷叶)，而且逆时针方向跳的概率是顺时针方向跳的概率的两倍，如图所示．假设现在青蛙在A荷叶上，则跳三次之后停在A荷叶上的概率是( A )
A．
B．
C．
D．
[解析] 由已知逆时针跳一次的概率为，顺时针跳一次的概率为.则逆时针跳三次停在A上的概率为P1＝××＝，顺时针跳三次停在A上的概率为P2＝××＝.所以跳三次之后停在A上的概率为P＝P1＋P2＝＋＝．
2．从甲袋内摸出1个白球的概率为，从乙袋内摸出1个白球的概率是，从两个袋内各摸1个球，那么概率为的事件是( C )
A．2个球都是白球
B．2个球都不是白球
C．2个球不都是白球
D．2个球中恰好有1个白球
[解析] 从甲袋内摸出白球与从乙袋内摸出白球两事件相互独立，故两个球都是白球的概率为P1＝×＝，
∴两个球不都是白球的概率为P＝1－P1＝．
3．(多选题)掷一枚硬币两次，记事件A＝“第一次出现正面”，B＝“第二次出现反面”，下列结论错误的为( BCD )
A．A与B相互独立
B．P(A∪B)＝P(A)＋P(B)
C．A与B互斥
D．P(AB)＝
[解析] 对于选项A，由题意得事件A的发生与否对事件B发生的概率没有影响，
所以A与B相互独立，所以A中结论正确．
对于选项B，C，由于事件A与B可以同时发生，所以事件A与B不互斥，
故选项B，C中结论不正确．
对于选项D，由于A与B相互独立，
因此P(AB)＝P(A)P(B)＝，
所以D中结论不正确．
4．体育课上定点投篮项目测试规则：每位同学有3次投篮机会，一旦投中，则停止投篮，视为合格，否则一直投3次为止．每次投中与否相互独立，某同学一次投篮投中的概率为p，若该同学本次测试合格的概率为0.784，则p＝( A )
A．0.4
B．0.6
C．0.1
D．0.2
[解析] 由题意可得p＋p(1－p)＋p(1－p)2＝0.784，
整理可得p(2－p＋1－2p＋p2)＝p(p2－3p＋3)＝0.784，将各选项中的数分别代入方程可知A项正确．
二、填空题
5．甲袋中有8个白球，4个红球；乙袋中有6个白球，6个红球，从每袋中任取一个球，则取得同色球的概率为____．
[解析] 设“从甲袋中取白球”为事件A，则P(A)＝＝.设“从乙袋中取白球”为事件B，则P(B)＝＝.取得同色球为AB＋．
P(AB＋)＝P(AB)＋P()
＝P(A)·P(B)＋P()·P()
＝×＋×＝．
6．甲、乙、丙三人将参加某项测试，他们能达标的概率分别是0.8,0.6,0.5，则三人都达标的概率是__0.24__，三人中至少有一人达标的概率是__0.96__．
[解析] 三人都达标的概率为0.8×0.6×0.5＝0.24．
三人都不达标的概率为(1－0.8)×(1－0.6)×(1－0.5)＝0.2×0.4×0.5＝0.04，三人中至少有一人达标的概率为1－0.04＝0.96．
三、解答题
7．计算机考试分理论考试和上机操作考试两部分，每部分考试成绩只记“合格”与“不合格”，两部分考试都“合格”则计算机考试合格并颁布合格证书．甲、乙、丙三人在理论考试中合格的概率分别为，，；在上机操作考试中合格的概率分别为，，，所有考试是否合格相互之间没有影响．
(1)甲、乙、丙三人在同一计算机考试中谁获得合格证书的可能性最大？
(2)求这三人计算机考试都获得合格证书的概率．
[解析] 记“甲理论考试合格”为事件A1，“乙理论考试合格”为事件A2，“丙理论考试合格”为事件A3；记“甲上机考试合格”为事件B1，“乙上机考试合格”为事件B2，“丙上机考试合格”为事件B3．
(1)记“甲计算机考试获得合格证书”为事件A，“乙计算机考试获得合格证书”为事件B，“丙计算机考试获得合格证书”为事件C，则P(A)＝P(A1)P(B1)＝×＝，P(B)＝P(A2)·P(B2)＝×＝，
P(C)＝P(A3)P(B3)＝×＝，
因为P(B)＞P(C)＞P(A)，故乙获得合格证书的可能性最大．
(2)记“三人计算机考试都获得合格证书”为事件D．
P(D)＝P(A)P(B)P(C)＝××＝．
所以，三人计算机考试都获得合格证书的概率是．
8．甲、乙、丙三台机床各自独立地加工同一种零件，已知甲机床加工的零件是一等品而乙机床加工的零件不是一等品的概率为，乙机床加工的零件是一等品而丙机床加工的零件不是一等品的概率为.甲、丙两台机床加工的零件都是一等品的概率为．
(1)分别求甲、乙、丙三台机床各自加工的零件是一等品的概率；
(2)从甲、乙、丙加工的零件中各取一个检验，求至少有一个一等品的概率．
[解析] (1)设A、B、C分别为甲、乙、丙三台机床各自加工的零件是一等品的事件．
由题设条件有
即
由①、③得P(B)＝1－P(C)，代入②得
27[P(C)]2－51P(C)＋22＝0．
解得P(C)＝或
(舍去)．
将P(C)＝分别代入③、②可得P(A)＝、
P(B)＝，
即甲、乙、丙三台机床各自加工的零件是一等品的概率分别是、、．
(2)记D为从甲、乙、丙加工的零件中各取一个检验，至少有一个一等品的事件，则
P(D)＝1－P()＝1－[1－P(A)][1－P(B)][1－P(C)]＝1－××＝．
故从甲、乙、丙加工的零件中各取一个检验，至少有一个一等品的概率为．第五章 5.3 5.3.5
1．如图所示，在两个圆盘中，指针落在本圆盘每个数所在区域的机会均等，那么两个指针同时落在奇数所在区域的概率是( )
A．
B．
C．
D．
2．甲、乙两班各有36名同学，甲班有9名三好学生，乙班有6名三好学生，两班各派1名同学参加演讲比赛，派出的恰好都是三好学生的概率是( )
A．
B．
C．
D．
3．某天上午，李明要参加“青年文明号”活动．为了准时起床，他用甲、乙两个闹钟叫醒自己．假设甲闹钟准时响的概率是0.80，乙闹钟准时响的概率是0.90，则两个闹钟至少有一个准时响的概率是____．
4．甲、乙两人进行乒乓球比赛
，比赛规则为“3局2胜”，即以先赢2局者为胜，根据经验，每局比赛中甲获胜的概率为0.6，则本次比赛中甲获胜的概率是____．
5．一个家庭中有若干个小孩，假定生男孩和生女孩是等可能的，令A＝{一个家庭中既有男孩又有女孩}，B＝{一个家庭中最多有一个女孩}．对下述两种情形，讨论事件A与B的相互独立性：
(1)家庭中有两个小孩；
(2)家庭中有三个小孩．
第五章 5.3 5.3.5
1．如图所示，在两个圆盘中，指针落在本圆盘每个数所在区域的机会均等，那么两个指针同时落在奇数所在区域的概率是( A )
A．
B．
C．
D．
[解析] 设A表示“第一个圆盘的指针落在奇数所在的区域”，则P(A)＝，B表示“第二个圆盘的指针落在奇数所在的区域”，则P(B)＝.故P(AB)＝P(A)·P(B)＝×＝．
2．甲、乙两班各有36名同学，甲班有9名三好学生，乙班有6名三好学生，两班各派1名同学参加演讲比赛，派出的恰好都是三好学生的概率是( C )
A．
B．
C．
D．
[解析] 两班各自派出代表是相互独立事件，设事件A，B分别为甲班、乙班派出的三好学生，则事件AB为两班派出的都是三好学生，则P(AB)＝P(A)·P(B)＝×＝．
3．某天上午，李明要参加“青年文明号”活动．为了准时起床，他用甲、乙两个闹钟叫醒自己．假设甲闹钟准时响的概率是0.80，乙闹钟准时响的概率是0.90，则两个闹钟至少有一个准时响的概率是__0.98__．
[解析] 至少有一个准时响的概率为1－(1－0.90)×(1－0.80)＝1－0.10×0.20＝0.98．
4．甲、乙两人进行乒乓球比赛
，比赛规则为“3局2胜”，即以先赢2局者为胜，根据经验，每局比赛中甲获胜的概率为0.6，则本次比赛中甲获胜的概率是__0.648__．
[解析] “每局比赛中甲获胜”记为事件A，则P(A)＝0.6，P()＝0.4，“本次比赛中甲获胜”为事件AA＋AA＋AA，所以“本次比赛中甲获胜”的概率为0.6×0.6＋0.6×0.6×0.4×2＝0.648．
5．一个家庭中有若干个小孩，假定生男孩和生女孩是等可能的，令A＝{一个家庭中既有男孩又有女孩}，B＝{一个家庭中最多有一个女孩}．对下述两种情形，讨论事件A与B的相互独立性：
(1)家庭中有两个小孩；
(2)家庭中有三个小孩．
[解析] (1)家庭中有两个小孩，小孩为男孩、女孩的可能情形为{(男，男)，(男，女)，(女，男)，(女，女)}，
它有4个基本事件，由等可能性知概率各为．
此时A＝{(男，女)，(女，男)}，
B＝{(男，男)，(男，女)，(女，男)}，
AB＝{(男，女)，(女，男)}．
于是P(A)＝，P(B)＝，P(AB)＝，
由此知P(AB)≠P(A)P(B)，
故事件A，B不相互独立．
(2)家庭中有三个小孩，小孩为男孩、女孩的可能情形为{(男，男，男)，(男，男，女)，(男，女，男)，(女，男，男)，(男，女，女)，(女，男，女)，(女，女，男)，(女，女，女)}，
它有8个基本事件，由等可能性知这8个基本事件的概率均为．
此时A中含有6个基本事件，B中含有4个基本事件，AB中含有3个基本事件，于是P(A)＝＝，P(B)＝＝，P(AB)＝.则P(AB)＝P(A)·P(B)成立，故事件A，B相互独立．
