第六章 6.1 6.1.1
1．下列物理量：①质量；②速度；③力；④加速度；⑤路程；⑥密度；⑦功．其中不是向量的有( )
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
2．如图在⊙O中，向量、、是( )
A．有相同起点的向量
B．共线向量
C．模相等的向量
D．相等的向量
3．零向量与单位向量的关系是____(填“共线”“相等”“无关”)．
4．等腰梯形ABCD两腰上的向量与的关系是____．
5．如图，以1×2方格纸中的格点(各线段的交点)为起点和终点的向量中，
(1)写出与、相等的向量；
(2)写出与模相等的向量．
第六章 6.1 6.1.1
1．下列物理量：①质量；②速度；③力；④加速度；⑤路程；⑥密度；⑦功．其中不是向量的有( D )
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
[解析] ②、③、④是既有大小，又有方向的量，∴它们是向量；而①、⑤、⑥、⑦只有大小而没有方向，∴它们不是向量，故选D．
2．如图在⊙O中，向量、、是( C )
A．有相同起点的向量
B．共线向量
C．模相等的向量
D．相等的向量
[解析] 由题意可知，向量、、的模相等，都等于圆的半径R，故选C．
3．零向量与单位向量的关系是__共线__(填“共线”“相等”“无关”)．
4．等腰梯形ABCD两腰上的向量与的关系是__||＝||__．
5．如图，以1×2方格纸中的格点(各线段的交点)为起点和终点的向量中，
(1)写出与、相等的向量；
(2)写出与模相等的向量．
[解析] (1)与相等的向量为、，与相等的向量为．
(2)，，．第六章 6.1 6.1.1
A级 基础巩固
一、选择题
1．(多选题)下列说法中，正确的个数是( )
A．时间、摩擦力、重力都是向量；
B．向量的模是一个正实数；
C．相等向量一定是平行向量；
D．向量a与b不共线，则a与b都是非零向量．
2．下列说法正确的是( )
A．若|a|＞|b|，则a＞b
B．若|a|＝|b|，则a＝b
C．若a＝b，则a∥b
D．若a≠b，则a与b不是共线向量
3．若a为任一非零向量，b为单位向量，则下列各式：
①|a|＞|b|；②a∥b；③|a|＞0；④|b|＝±1；⑤＝B．
其中正确的是( )
A．①④⑤
B．③
C．①②③⑤
D．②③⑤
4．如图，在正方形ABCD中，AC与BD交于点O，则图中与相等的向量是( )
A．
B．
C．
D．
5．某人向正东方向行进100米后，再向正南方向行进100米，则此人位移的方向是( )
A．南偏东60°
B．南偏东45°
C．南偏东30°
D．南偏东15°
二、填空题
6．已知a、b为两个向量，给出以下4个条件：
①|a|＝|b|；②a与b的方向相反；③|a|＝0或|b|＝0；
④a与b都是单位向量．
由条件____一定可以得到a与b平行．
7．在平面上将所有模长相等的向量的起点放在同一点，则它们的终点组成____．
8．如图所示，如果小正方形的边长为1，则||＝____，||＝____，||＝____．
三、解答题
9．如图所示，△ABC中，三边长均不相等，E、F、D分别是AC，AB，BC的中点．
(1)写出与共线的向量；
(2)写出与长度相等的向量；
(3)写出与相等的向量．
10．如图所示，4×3的矩形(每个小方格都是单位正方形)，在起点和终点都在小方格的顶点处的向量中，试问：
(1)与相等的向量共有几个；
(2)与平行且模为的向量共有几个？
(3)与方向相同且模为3的向量共有几个？
B级 素养提升
一、选择题
1．(多选题)设点O是正方形ABCD的中心，则下列结论正确的是( )
A．＝
B．∥
C．与共线
D．＝
2．下列命题中，正确的是( )
A．若a与b共线，b与c共线，则a与c也共线
B．任意两个相等的非零向量的始点与终点总是一平行四边形的四个顶点
C．向量a与b不共线，则a与b都是非零向量
D．有相同起点的两个非零向量不平行
3．下列说法中错误的是( )
A．有向线段可以表示向量但不是向量，且向量也不是有向线段
B．若向量a与b不共线，则a与b都是非零向量
C．长度相等但方向相反的两个向量不一定共线
D．方向相反的两个非零向量必不相等
4．如图所示，在菱形ABCD中，∠BAD＝120°，则下列说法中错误的是( )
A．图中所标出的向量中与相等的向量只有1个(不含本身)
B．图中所标出的向量中与的模相等的向量有4个(不含本身)
C．的长度恰为长度的倍
D．与不共线
二、填空题
5．如图，O是正三角形ABC的中心．四边形AOCD和AOBE均为平行四边形，则与向量相等的向量有____；与向量共线的向量有____；与向量的模相等的向量有____.(填图中所画出的向量)
6．如图所示，四边形ABCD和ABDE都是平行四边形．
(1)图中与相等的向量有____；
(2)若||＝2，则向量的模等于____．
三、解答题
7．一辆汽车从A点出发向西行驶了100
km到达B点，然后又改变方向向西偏北50°走了200
km到达C点，最后又改变方向，向东行驶了100
km到达D点．
(1)作出向量、、；
(2)求||．
8．在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，对角线AC与BD相交于点O，EF是过点O且平行于AB的线段，在所标的向量中：
(1)写出与共线的向量；
(2)写出与方向相同的向量；
(3)写出与，的模相等的向量；
(4)写出与相等的向量．
第六章 6.1 6.1.1
请同学们认真完成
[练案23]
A级 基础巩固
一、选择题
1．(多选题)下列说法中，正确的个数是( CD )
A．时间、摩擦力、重力都是向量；
B．向量的模是一个正实数；
C．相等向量一定是平行向量；
D．向量a与b不共线，则a与b都是非零向量．
[解析] 对于A，时间没有方向，不是向量，摩擦力、重力都是向量，故A错误；对于B，零向量的模为0，故B错误；C正确，相等向量的方向相同，因此一定是平行向量；D显然正确．
2．下列说法正确的是( C )
A．若|a|＞|b|，则a＞b
B．若|a|＝|b|，则a＝b
C．若a＝b，则a∥b
D．若a≠b，则a与b不是共线向量
[解析] A中向量不能比较大小，B中向量模相等，可能方向不同，D中不相等的向量可能方向相同或相反，可以是共线向量，于是A、B、D都是错误的，C显然正确．
3．若a为任一非零向量，b为单位向量，则下列各式：
①|a|＞|b|；②a∥b；③|a|＞0；④|b|＝±1；⑤＝B．
其中正确的是( B )
A．①④⑤
B．③
C．①②③⑤
D．②③⑤
[解析] |a|不一定大于1，|b|＝1，∴①④不正确；a与b不一定平行，故②不正确.是a方向上的单位向量，不一定平行于b，故⑤不正确．
4．如图，在正方形ABCD中，AC与BD交于点O，则图中与相等的向量是( D )
A．
B．
C．
D．
[解析] 与方向相同且长度相等，则＝．
5．某人向正东方向行进100米后，再向正南方向行进100米，则此人位移的方向是( C )
A．南偏东60°
B．南偏东45°
C．南偏东30°
D．南偏东15°
[解析] 如图所示，此人从点A出发，经由点B，到达点C，则tan∠BAC＝＝，
∴∠BAC＝60°，即位移的方向是东偏南60°，即南偏东30°，应选C．
二、填空题
6．已知a、b为两个向量，给出以下4个条件：
①|a|＝|b|；②a与b的方向相反；③|a|＝0或|b|＝0；
④a与b都是单位向量．
由条件__②③__一定可以得到a与b平行．
[解析] 长度相等或都是单位向量不能得到a∥b，但方向相反或其中一个为零向量可以说明a∥B．故填②③．
7．在平面上将所有模长相等的向量的起点放在同一点，则它们的终点组成__一个圆__．
[解析] 模长相等的向量放在同一起点上，则各终点到该起点的距离相等，所以各终点应在同一个圆上．
8．如图所示，如果小正方形的边长为1，则||＝__3__，||＝____，||＝__2__．
[解析] ||＝＝3，
||＝＝，
||＝＝2．
三、解答题
9．如图所示，△ABC中，三边长均不相等，E、F、D分别是AC，AB，BC的中点．
(1)写出与共线的向量；
(2)写出与长度相等的向量；
(3)写出与相等的向量．
[解析] (1)∵E，F分别是AC，AB的中点，∴EF∥BC，
∴与共线的向量为，，，，，，．
(2)∵E，F，D分别是AC，AB，BC的中点，∴EF＝BC，BD＝DC＝BC，∴EF＝BD＝DC．
∵AB，BC，AC均不相等，∴与长度相等的向量为，，，，．
(3)与相等的向量为，．
10．如图所示，4×3的矩形(每个小方格都是单位正方形)，在起点和终点都在小方格的顶点处的向量中，试问：
(1)与相等的向量共有几个；
(2)与平行且模为的向量共有几个？
(3)与方向相同且模为3的向量共有几个？
[解析] (1)与向量相等的向量共有5个(不包括本身)．
(2)与向量平行且模为的向量共有24个．
(3)与向量方向相同且模为3的向量共有2个．
B级 素养提升
一、选择题
1．(多选题)设点O是正方形ABCD的中心，则下列结论正确的是( ABC )
A．＝
B．∥
C．与共线
D．＝
[解析] 如图，∵与方向相同，长度相等，∴A中结论正确；
∵B，O，D三点在一条直线上，∴∥，B中结论正确；
∵AB∥CD，∴与共线，C中结论正确；
∵与方向不同，∴≠，D中结论错误．
故选ABC．
2．下列命题中，正确的是( C )
A．若a与b共线，b与c共线，则a与c也共线
B．任意两个相等的非零向量的始点与终点总是一平行四边形的四个顶点
C．向量a与b不共线，则a与b都是非零向量
D．有相同起点的两个非零向量不平行
[解析] A错，当b＝0时，由a与b共线，b与c共线推不出a与c也共线；B错，任意两个相等的非零向量的始点与终点也可以在一条直线上；C对；D错，有相同起点的两个非零向量也可以平行，也称为共线．
3．下列说法中错误的是( C )
A．有向线段可以表示向量但不是向量，且向量也不是有向线段
B．若向量a与b不共线，则a与b都是非零向量
C．长度相等但方向相反的两个向量不一定共线
D．方向相反的两个非零向量必不相等
[解析] 长度相等方向相反的两个向量为相反向量，一定为共线向量，故C错误．
4．如图所示，在菱形ABCD中，∠BAD＝120°，则下列说法中错误的是( D )
A．图中所标出的向量中与相等的向量只有1个(不含本身)
B．图中所标出的向量中与的模相等的向量有4个(不含本身)
C．的长度恰为长度的倍
D．与不共线
[解析] 易知△ABC和△ACD均为正三角形．
对于A，向量＝；
对于B，||＝||＝||＝||＝||；
对于C，△BAD是顶角为120°的等腰三角形，
则||＝||；
对于D，∥成立，故D是错误的．
二、填空题
5．如图，O是正三角形ABC的中心．四边形AOCD和AOBE均为平行四边形，则与向量相等的向量有____；与向量共线的向量有__，__；与向量的模相等的向量有__，，，，__.(填图中所画出的向量)
[解析] ∵O是正三角形ABC的中心，∴OA＝OB＝OC，∴结合相等向量及共线向量的定义可知，与相等的向量有，与共线的向量有，，与的模相等的向量有，，，，．
6．如图所示，四边形ABCD和ABDE都是平行四边形．
(1)图中与相等的向量有__，__；
(2)若||＝2，则向量的模等于__4__．
[解析] (1)因为四边形ABCD和ABDE都是平行四边形，根据平行四边形性质及向量相等的定义，可知＝＝．
(2)根据已知条件，＝.所以E，D，C三点在同一条直线上．所以||＝||＋||＝2||＝4．
三、解答题
7．一辆汽车从A点出发向西行驶了100
km到达B点，然后又改变方向向西偏北50°走了200
km到达C点，最后又改变方向，向东行驶了100
km到达D点．
(1)作出向量、、；
(2)求||．
[解析] (1)向量、、，如图所示．
(2)由题意，易知与方向相反，故与共线，
又||＝||，
∴在四边形ABCD中，
AB綊CD．
∴四边形ABCD为平行四边形．
∴＝.||＝||＝200
km．
8．在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，对角线AC与BD相交于点O，EF是过点O且平行于AB的线段，在所标的向量中：
(1)写出与共线的向量；
(2)写出与方向相同的向量；
(3)写出与，的模相等的向量；
(4)写出与相等的向量．
[解析] 等腰梯形ABCD中，AB∥CD∥EF，AD＝BC．
(1)题图中与共线的向量有，，，．
(2)题图中与方向相同的向量有，，，．
(3)题图中与的模相等的向量为，与的模相等的向量为．
(4)题图中与相等的向量为．
