第六章 6.1 6.1.5
A级 基础巩固
一、选择题
1．下列式子中，正确的有( )
①a－2b＋(2a＋2b)＝3a；
②a＋b－(a＋b)＝0；
③若a＝m＋n，b＝4m＋4n，则a与b方向相同
A．0个
B．1个
C．2个
D．3个
2．已知＝，＝，则等于( )
A．
B．－
C．－
D．
3．如图，已知＝a，＝b，＝3，用a，b表示，则＝( )
A．a＋b
B．a＋b
C．a＋b
D．a＋b
4．已知四边形ABCD是菱形，点P在对角线AC上(不包括端点A，C)，则＝( )
A．λ(＋)，λ∈(0,1)
B．λ(＋)，λ∈(0，)
C．λ(－)，λ∈(0,1)
D．λ(－)，λ∈(0，)
5．(多选题)下列说法错误的是( )
A．实数λ与向量a，则λ＋a与λ－a的和是向量
B．对于非零向量a，向量－3a与向量a方向相反
C．λ(a－b)＝λa－λb
D．λa＋μa与(λ＋μ)a的方向都与a的方向相同
二、填空题
6．已知实数x、y，向量a、b不共线，若(x＋y－1)a＋(x－y)b＝0，则x＝___，y＝____．
7．已知向量a，b，x，且(x－a)－(b－x)＝x－(a＋b)，则x＝___．
8．已知△ABC和点M满足＋＋＝0.若存在实数m使得＋＝m成立，则m的值为____．
三、解答题
9．化简下列各式：
(1)3(2a－b)－2(4a－3b)；
(2)(4a＋3b)－(3a－b)－b；
(3)2(3a－4b＋c)－3(2a＋b－3c)．
10．如图所示，四边形OADB是以向量＝a，＝b为邻边的平行四边形．又BM＝BC，CN＝CD，试用a、b表示、、．
B级 素养提升
一、选择题
1．在△ABC中，已知D为AB边上一点，若＝2，＝＋λ，则λ＝( )
A．
B．
C．－
D．－
2．在平行四边形ABCD中，AC与BD交于点O，E是OB的中点，若＝a，＝b，则等于( )
A．－a＋b
B．a－b
C．a＋b
D．－a－b
3．若O是平行四边形ABCD的中心，＝4e1，＝6e2，则3e2－2e1等于( )
A．
B．
C．
D．
4．(多选题)如图所示，向量，，的终点A，B，C在一条直线上，且＝－3.设＝p，＝q，＝r，则以下等式中不成立的是( )
A．r＝－p＋q
B．r＝－p＋2q
C．r＝p－q
D．r＝－q＋2p
二、填空题
5．在正方形ABCD中，E为线段AD的中点，若＝λ＋μ，则λ＋μ＝____，若E在线段AD上，异于A，D两点，则λ＋μ的取值范围为____．
6．已知点M是△ABC所在平面内的一点，若满足6－－2＝0，且S△ABC＝λS△ABM，则实数λ的值是___．
三、解答题
7．设x、y是未知向量，解下列方程或方程组．
(1)5(x＋a)＋3(x－2b)＝0；
(2)．
8．已知G是△ABC内的一点，若＋＋＝0.求证：G是△ABC的重心．
第六章 6.1 6.1.5
A级 基础巩固
一、选择题
1．下列式子中，正确的有( C )
①a－2b＋(2a＋2b)＝3a；
②a＋b－(a＋b)＝0；
③若a＝m＋n，b＝4m＋4n，则a与b方向相同
A．0个
B．1个
C．2个
D．3个
[解析] ∵a－2b＋(2a＋2b)＝3a，故①正确；a＋b－(a＋b)＝0，故②不正确；若a＝m＋n，b＝4m＋4n＝4(m＋n)＝4a，∴a与b方向相同，故③正确，故选C．
2．已知＝，＝，则等于( C )
A．
B．－
C．－
D．
[解析] ＝－＝－＝
＝－．
3．如图，已知＝a，＝b，＝3，用a，b表示，则＝( D )
A．a＋b
B．a＋b
C．a＋b
D．a＋b
[解析] ∵＝3，∴＝＝(b－a)，
∴＝＋＝a＋(b－a)＝a＋B．
4．已知四边形ABCD是菱形，点P在对角线AC上(不包括端点A，C)，则＝( A )
A．λ(＋)，λ∈(0,1)
B．λ(＋)，λ∈(0，)
C．λ(－)，λ∈(0,1)
D．λ(－)，λ∈(0，)
[解析] 设P是对角线AC上的一点(不含A，C)，过点P分别作BC，AB的平行线，设＝λ，则λ∈(0,1)，于是＝λ(＋)，λ∈(0,1)．
5．(多选题)下列说法错误的是( AD )
A．实数λ与向量a，则λ＋a与λ－a的和是向量
B．对于非零向量a，向量－3a与向量a方向相反
C．λ(a－b)＝λa－λb
D．λa＋μa与(λ＋μ)a的方向都与a的方向相同
[解析] λ＋a与λ－a均无意义，故A错误．因为－3＜0，所以B正确．C显然正确，只有当λ＋μ是正数时，λa＋μa与(λ＋μ)a的方向才都与a的方向相同．故D错误．
二、填空题
6．已知实数x、y，向量a、b不共线，若(x＋y－1)a＋(x－y)b＝0，则x＝____，y＝____．
[解析] 由已知得，∴．
7．已知向量a，b，x，且(x－a)－(b－x)＝x－(a＋b)，则x＝__0__．
[解析] 因为(x－a)－(b－x)＝2x－(a＋b)，所以2x－a－b＝x－a－b，即x＝0．
8．已知△ABC和点M满足＋＋＝0.若存在实数m使得＋＝m成立，则m的值为__3__．
[解析] ∵＋＋＝0，
∴点M是△ABC的重心．
∴＋＝3，∴m＝3．
三、解答题
9．化简下列各式：
(1)3(2a－b)－2(4a－3b)；
(2)(4a＋3b)－(3a－b)－b；
(3)2(3a－4b＋c)－3(2a＋b－3c)．
[解析] (1)原式＝6a－3b－8a＋6b
＝－2a＋3B．
(2)原式＝a＋b－a＋b－b＝－A．
(3)原式＝6a－8b＋2c－6a－3b＋9c
＝－11b＋11C．
10．如图所示，四边形OADB是以向量＝a，＝b为邻边的平行四边形．又BM＝BC，CN＝CD，试用a、b表示、、．
[解析] ＝＝＝(－)＝(a－b)，
∴＝＋＝b＋(a－b)＝a＋b，
＝＝，
∴＝＋＝＋＝
＝(＋)＝(a＋b)，
＝－＝(a＋b)－＝a－B．
B级 素养提升
一、选择题
1．在△ABC中，已知D为AB边上一点，若＝2，＝＋λ，则λ＝( A )
A．
B．
C．－
D．－
[解析] 解法一：∵A、D、B三点共线，
∴＋λ＝1，∴λ＝．
解法二：∵＝2，∴＝，
∴＝＋＝＋＝＋(－)
＝＋＝＋λ，
∴λ＝，故选A．
2．在平行四边形ABCD中，AC与BD交于点O，E是OB的中点，若＝a，＝b，则等于( D )
A．－a＋b
B．a－b
C．a＋b
D．－a－b
[解析] 如图
∵E是OB的中点，∴＝＝－＝－b，
∴＝＋＝－＋＝－a－B．
3．若O是平行四边形ABCD的中心，＝4e1，＝6e2，则3e2－2e1等于( B )
A．
B．
C．
D．
[解析] ∵＝4e1，＝6e2，
∴3e2－2e1＝－
＝(＋)＝＝，
故选B．
4．(多选题)如图所示，向量，，的终点A，B，C在一条直线上，且＝－3.设＝p，＝q，＝r，则以下等式中不成立的是( BCD )
A．r＝－p＋q
B．r＝－p＋2q
C．r＝p－q
D．r＝－q＋2p
[解析] 因为＝＋，＝－3＝3，所以＝，所以＝＋＝＋(－)．
所以r＝q＋(r－p)，所以r＝－p＋q．
二、填空题
5．在正方形ABCD中，E为线段AD的中点，若＝λ＋μ，则λ＋μ＝____，若E在线段AD上，异于A，D两点，则λ＋μ的取值范围为__(1,2)__．
[解析] (1)因为＝＋＝＋，
所以λ＋μ＝＋1＝．
(2)＝＋＝λ＋，λ∈(0,1)，所以λ＋μ∈(1,2)．
6．已知点M是△ABC所在平面内的一点，若满足6－－2＝0，且S△ABC＝λS△ABM，则实数λ的值是__3__．
[解析] 记2＝，∵－＋2－2＝0，
∴＝2，S△ABC＝S△ABN，
又∵S△ABM＝S△ABN，∴S△ABC＝3S△ABM，从而有λ＝3．
三、解答题
7．设x、y是未知向量，解下列方程或方程组．
(1)5(x＋a)＋3(x－2b)＝0；
(2)．
[解析] (1)原方程可化为5x＋5a＋3x－6b＝0，即
8x＝－5a＋6b，解得x＝－a＋B．
(2)将第一个方程的－2倍与第二个方程相加，得
y＝－2a＋b，从而
y＝－a＋B．①
式①代入原方程组的第二个方程，得
x－(－a＋b)＝B．
移项并化简得x＝－a＋B．
8．已知G是△ABC内的一点，若＋＋＝0.求证：G是△ABC的重心．
[解析] 如图，∵＋＋＝0，
∴＝－(＋)
以、为邻边作平行四边形BGCD，则
＝＋，∴＝－，
又∵在□BGCD中，BC交GD于E，∴＝，＝，
∴AE是△ABC的边BC的中线，且||＝2||，
∴G为△ABC的重心．第六章 6.1 6.1.5
1．下列计算正确的个数是( )
①(－3)·2a＝－6a；②2(a＋b)－(2b－a)＝3A．③(a＋2b)－(2b＋a)＝0．
A．0
B．1
C．2
D．3
2．化简[(2a＋8b)－(4a－2b)]的结果是( )
A．2a－b
B．2b－a
C．b－a
D．a－b
3．已知m、n为非零实数，a、b为非零向量，则下列各项中正确的个数为( )
①m(a－b)＝ma－mb;
②(m－n)a＝ma－na；
③若ma＝mb，则a＝b;
④若ma＝na，则m＝n．
A．4
B．3
C．2
D．1
4．已知向量a、b不共线，实数x、y满足向量等式5xa＋(8－y)b＝4xb＋3(y＋9)a，则x＝____，y＝____．
5．如图所示，在△ABO中，＝，＝，AD与BC相交于点M，设＝a，＝B．试用a和b表示向量．
第六章 6.1 6.1.5
1．下列计算正确的个数是( C )
①(－3)·2a＝－6a；②2(a＋b)－(2b－a)＝3A．③(a＋2b)－(2b＋a)＝0．
A．0
B．1
C．2
D．3
[解析] ①②都正确．对于③(a＋2b)－(2b＋a)＝0，而不是数值0．
2．化简[(2a＋8b)－(4a－2b)]的结果是( B )
A．2a－b
B．2b－a
C．b－a
D．a－b
[解析] 原式＝(a＋4b－4a＋2b)＝2b－A．
3．已知m、n为非零实数，a、b为非零向量，则下列各项中正确的个数为( A )
①m(a－b)＝ma－mb;
②(m－n)a＝ma－na；
③若ma＝mb，则a＝b;
④若ma＝na，则m＝n．
A．4
B．3
C．2
D．1
[解析] ①②由数乘的运算法则可知正确．
ma－mb＝m(a－b)＝0，
∵m≠0，∴a－b＝0即a＝b，∴③正确．
ma－na＝(m－n)a＝0，
∵a≠0，∴m－n＝0，∴m＝n，∴④正确．
4．已知向量a、b不共线，实数x、y满足向量等式5xa＋(8－y)b＝4xb＋3(y＋9)a，则x＝__3__，y＝__－4__．
[解析] 因为a与b不共线，根据向量相等得
，解得．
5．如图所示，在△ABO中，＝，＝，AD与BC相交于点M，设＝a，＝B．试用a和b表示向量．
[解析] ∵＝，＝．
∴＝4，＝2，
设＝λ＋μ，
则＝4λ＋μ＝λ＋2μ．
∵AD，BC交于点M，
∴，解得∴＝a＋B．
