第六章 6.1 6.1.4
1．点C在直线AB上，且＝3，则等于( )
A．－2
B．
C．－
D．2
2．下列各式中不表示向量的是( )
A．0·a
B．a＋3b
C．|3a|
D．e(x，y∈R，且x≠y)
3．已知|a|＝1，|b|＝3，若两向量方向相反，则向量a与向量b的关系为b＝____A．
4．向量－与的长度之比为____．
5．已知a＝e，b＝－5e，判断a与b是否平行，并求的值．
第六章 6.1 6.1.4
1．点C在直线AB上，且＝3，则等于( D )
A．－2
B．
C．－
D．2
[解析] 如图，＝3，所以＝2．
ABC
2．下列各式中不表示向量的是( C )
A．0·a
B．a＋3b
C．|3a|
D．e(x，y∈R，且x≠y)
[解析] 向量的数乘运算结果仍为向量，显然只有|3a|不是向量．
3．已知|a|＝1，|b|＝3，若两向量方向相反，则向量a与向量b的关系为b＝__－3__A．
[解析] 由于|a|＝1，|b|＝3，则|b|＝3|a|，又两向量反向，故b＝－3A．
4．向量－与的长度之比为__2∶3__．
[解析] 因为－＝，所以|－|∶||＝2∶3．
5．已知a＝e，b＝－5e，判断a与b是否平行，并求的值．
[解析] 由a＝e得e＝3a，代入b＝－5e，得b＝－5×(3a)＝－15a，∴a∥b，且|b|＝15|a|，即＝15．第六章 6.1 6.1.4
A级 基础巩固
一、选择题
1．6×(－a)( )
A．化简结果为2a
B．与向量a同向
C．与向量a反向
D．其长度为2
2．点M在AB上，且＝，则等于( )
A．－3
B．
C．－
D．3
3．(多选题)向量a＝2e，b＝－6e
，则下列说法正确的是( )
A．a∥b
B．向量a，b方向相反
C．|a|＝3|b|
D．b＝－3a
4．点C在线段AB的反向延长线上，且＝－，＝λ，则λ为( )
A．－
B．
C．－
D．
5．若5＝－3，且||＝||，则四边形ABCD是( )
A．平行四边形
B．菱形
C．矩形
D．等腰梯形
二、填空题
6．化简：(－4)×a＝____．
7．已知|a|＝4，|b|＝8，若两向量同向，则向量a与向量b的关系为b＝____A．
8．已知＝，若＝λ，则λ等于____．
三、解答题
9．已知A，B，C三点共线，且C为线段AB的靠近A的四等分点，写出向量，的关系．
10．已知点C在线段AB的延长线上(在B点右侧)，且AB∶AC＝2∶3．
(1)用表示；(2)用表示．
B级 素养提升
一、选择题
1．下列算式中不正确的是( )
A．＋＋＝0
B．－＝
C．0·＝0
D．λ(μa)＝(λμ)a
2．(多选题)下列结论不成立的是( )
A．λa与a的方向相同
B．λa与a的方向相反的充要条件是λ＜0
C．与a方向相同的单位向量可表示为
D．若平行四边形ABCD的对角线的交点为O，则＝(－)
3．已知A，B，C三点共线，且C为线段AB的靠近B的五等分点，则下列结论正确的个数为( )
①＝5；②||∶|BC＝4∶1；
③＝－．
A．0
B．1
C．2
D．3
4．下列计算正确的个数是( )
①(－5)·3a＝－15a；②3(a＋b)＝3a＋b；③(－4＋1)(a＋2a)＝－9A．
A．0
B．1
C．2
D．3
二、填空题
5．已知|a|＝6，b与a的方向相反，且|b|＝3，a＝mb，则实数m＝____．
6．已知平面上不共线的四点O，A，B，C，若－3＋2＝0，则＝__2__，＝____．
三、解答题
7．点E，F分别为四边形ABCD的对角线AC，BD的中点，设＝a，＝b，试用a，b表示．
8．已知a，b是两个非零向量，判断下列各命题的真假，并说明理由．
(1)a的方向与a的方向相同，且a的模是a的模的倍；
(2)－3a的方向与6a的方向相反，且－3a的模是6a的模的；
(3)－4a与4a是一对相反向量；
(4)a－b与－(b－a)是一对相反向量；
(5)若a，b不共线，则0·a与b不共线．
第六章 6.1 6.1.4
A级 基础巩固
一、选择题
1．6×(－a)( C )
A．化简结果为2a
B．与向量a同向
C．与向量a反向
D．其长度为2
[解析] 6×(－a)＝－2a，与向量a反向，其长度为2|a|．
2．点M在AB上，且＝，则等于( B )
A．－3
B．
C．－
D．3
[解析] 如图＝，所以＝．
3．(多选题)向量a＝2e，b＝－6e
，则下列说法正确的是( ABD )
A．a∥b
B．向量a，b方向相反
C．|a|＝3|b|
D．b＝－3a
[解析] 因为b＝－6e＝－3(2e)
＝－3a，所以a∥b，a，b
方向相反，且3|a|＝|b|．
4．点C在线段AB的反向延长线上，且＝－，＝λ，则λ为( D )
A．－
B．
C．－
D．
[解析] 由题意知＝，＝＝－，所以＝－×(－)＝，故λ＝．
5．若5＝－3，且||＝||，则四边形ABCD是( D )
A．平行四边形
B．菱形
C．矩形
D．等腰梯形
[解析] 由5＝－3知，∥且||≠||，故此四边形为梯形，又因为||＝||，所以梯形ABCD为等腰梯形．
二、填空题
6．化简：(－4)×a＝__－2a__．
[解析] (－4)×a＝(－4×)a＝－2A．
7．已知|a|＝4，|b|＝8，若两向量同向，则向量a与向量b的关系为b＝__2__A．
[解析] 由于|a|＝4，|b|＝8，则|b|＝2|a|，又两向量同向，故b＝2A．
8．已知＝，若＝λ，则λ等于__－__．
[解析] 因为＝，
所以－＝(＋)，即＝－＝λ，所以λ＝－．
三、解答题
9．已知A，B，C三点共线，且C为线段AB的靠近A的四等分点，写出向量，的关系．
[解析] 根据题意画出图形，
因为BC＝AB，所以＝－．
10．已知点C在线段AB的延长线上(在B点右侧)，且AB∶AC＝2∶3．
(1)用表示；(2)用表示．
[解析] 如图a，因为点C在线段AB的延长线上，且AB∶AC＝2∶3，所以AB＝2BC，AC＝3BC．
(1)如图b，向量与方向相同，所以＝2．
(2)如图c，向量与方向相反，
所以＝－3．
B级 素养提升
一、选择题
1．下列算式中不正确的是( B )
A．＋＋＝0
B．－＝
C．0·＝0
D．λ(μa)＝(λμ)a
[解析] －＝，而不是，故B错误．
2．(多选题)下列结论不成立的是( ABD )
A．λa与a的方向相同
B．λa与a的方向相反的充要条件是λ＜0
C．与a方向相同的单位向量可表示为
D．若平行四边形ABCD的对角线的交点为O，则＝(－)
[解析] 当λ＜0且a≠0时，λa与a的方向相反，故A，B不正确；若平行四边形ABCD的对角线的交点为O，则＝(＋)，D不正确；C正确．
3．已知A，B，C三点共线，且C为线段AB的靠近B的五等分点，则下列结论正确的个数为( C )
①＝5；②||∶|BC＝4∶1；
③＝－．
A．0
B．1
C．2
D．3
[解析] 由题意知，＝－5，＝－，||∶||＝4∶1，所以②③正确．
4．下列计算正确的个数是( C )
①(－5)·3a＝－15a；②3(a＋b)＝3a＋b；③(－4＋1)(a＋2a)＝－9A．
A．0
B．1
C．2
D．3
[解析] 因为(－5)·3a＝－15a，故①正确；3(a＋b)＝3a＋3b，故②错误；(－4＋1)(a＋2a)＝－3×3a＝－9a,
故③正确．
二、填空题
5．已知|a|＝6，b与a的方向相反，且|b|＝3，a＝mb，则实数m＝__－2__．
[解析] ＝＝2，所以|a|＝2|b|，又a与b的方向相反，所以a＝－2b，所以m＝－2．
6．已知平面上不共线的四点O，A，B，C，若－3＋2＝0，则＝__2__，＝__2__．
[解析] 因为－3＋2＝0，
所以－＝2(－)，所以＝2，所以＝2．
三、解答题
7．点E，F分别为四边形ABCD的对角线AC，BD的中点，设＝a，＝b，试用a，b表示．
[解析] 如图，取AB的中点P，
连接EP，FP，在△ABC中，因为EP是△ABC的中位线，所以＝＝a，
在△ABD中，因为FP是△ABD的中位线，所以＝＝－b，
在△EFP中，＝＋＝－a－b＝－(a＋b)．
8．已知a，b是两个非零向量，判断下列各命题的真假，并说明理由．
(1)a的方向与a的方向相同，且a的模是a的模的倍；
(2)－3a的方向与6a的方向相反，且－3a的模是6a的模的；
(3)－4a与4a是一对相反向量；
(4)a－b与－(b－a)是一对相反向量；
(5)若a，b不共线，则0·a与b不共线．
[解析] (1)真命题．因为＞0，所以a与a同向．
因为|a|＝|a|，所以a的模是a的模的倍．
(2)真命题．因为－3＜0，
所以－3a与a方向相反且|－3a|＝3|a|．
又因为6＞0，所以6a与a方向相同且|6a|＝6|a|，
所以－3a与6a方向相反且模是6a的模的．
(3)真命题．由数乘定义和相反向量定义可知．
(4)假命题．因为a－b与b－a是相反向量，所以a－b与－(b－a)是相等向量．
(5)假命题.0·a＝0，所以0·a与b共线．
