第六章 6.1 6.1.2
1．若O、E、F是不共线的任意三点，则以下各式成立的是( )
A．＝＋
B．＋＝
C．＝＋
D．＝＋
2．在△ABC中，＝a，＝b，则a＋b等于( )
A．
B．
C．
D．
3．在平行四边形ABCD中，下列结论中错误的是( )
A．＝
B．＋＝
C．＝＋
D．＋＝0
4．化简＋＋＝____．
5．化简下列各式：
(1)＋＋＋；
(2)＋＋．
第六章 6.1 6.1.2
1．若O、E、F是不共线的任意三点，则以下各式成立的是( B )
A．＝＋
B．＋＝
C．＝＋
D．＝＋
[解析] 可以画出图形，用三角形法则找出正确答案．
2．在△ABC中，＝a，＝b，则a＋b等于( D )
A．
B．
C．
D．
[解析] ＋＝．
3．在平行四边形ABCD中，下列结论中错误的是( C )
A．＝
B．＋＝
C．＝＋
D．＋＝0
[解析] 因为＝＋≠＋，
所以，C错误．
4．化简＋＋＝__0__．
[解析] ＋＋＝(＋)＋＝＋＝0．
5．化简下列各式：
(1)＋＋＋；
(2)＋＋．
[解析] (1)＋＋＋＝＋＋＝＋＝．
(2)＋＋＝＋＋＝＋＝0．第六章 6.1 6.1.2
A级 基础巩固
一、选择题
1．向量(＋)＋(＋)＋等于( )
A．
B．
C．
D．
2．下列等式中不正确的是( )
A．a＋0＝a
B．a＋b＝b＋a
C．|a＋b|＝|a|＋|b|
D．＝＋＋
3．若a、b为非零向量，则下列说法中不正确的是( )
A．若向量a与b方向相反，且|a|＞|b|，则向量a＋b与a的方向相同
B．若向量a与b方向相反，且|a|＜|b|，则向量a＋b与a的方向相同
C．若向量a与b方向相同，则向量a＋b与a的方向相同
D．若向量a与b方向相同，则向量a＋b与b的方向相同
4．a、b、a＋b为非零向量，且a＋b平分a与b的夹角，则( )
A．a＝b
B．a⊥b
C．|a|＝|b|
D．以上都不对
5．(多选题)如图，D、E、F分别是△ABC的边AB、BC、CA的中点，则( )
A．＋＋＝0
B．＋＋＝0
C．＋＋＝0
D．＋＋＝0
二、填空题
6．如图所示，已知梯形ABCD，AD∥BC，则＋＋＝____．
7．根据下图填空：
b＋c＝___;
a＋d＝____；
b＋c＋d＝____;
f＋e＝____；
e＋g＝____．
8．已知|a|＝3，|b|＝5，则向量a＋b模长的最大值是____．
三、解答题
9．如图所示，求：
(1)a＋d；
(2)c＋b；
(3)e＋c＋b；
(4)c＋f＋B．
10．如图，在△ABC中，O为重心，D，E，F分别是BC，AC，AB的中点，化简下列三式：
(1)＋＋；
(2)＋＋；
(3)＋＋．
B级 素养提升
一、选择题
1．a、b为非零向量，且|a＋b|＝|a|＋|b|，则( )
A．a∥b，且a与b方向相同
B．a、b是共线向量
C．a＝－b
D．a、b无论什么关系均可
2．如图，正六边ABCDEF中，＋＋＝( )
A．0
B．
C．
D．
3．在四边形ABCD中，＝＋，则四边形ABCD一定是( )
A．矩形
B．菱形
C．正方形
D．平行四边形
4．(多选题)设a＝(＋)＋(＋)，b是任一非零向量，则在下列结论中，正确的为( )
A．a∥b
B．a＋b＝a
C．a＋b＝b
D．|a＋b|＜|a|＋|b|
二、填空题
5．如图所示，已知在矩形ABCD中，||＝4，设＝a，＝b，＝C．则|a＋b＋c|＝____．
6．在静水中划船的速度是20
m/min，水流速度是10
m/min，如果船从岸边出发，径直沿垂直于水流的方向到达对岸，则船行进的方向与对岸水平线夹角的正切值为____．
三、解答题
7．如图所示，P，Q是△ABC的边BC上两点，且BP＝QC．
求证：＋＝＋．
8．在四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O且||＝||＝1，＋＝＋＝0，cos∠DAB＝.求|＋|与|＋|．
第六章 6.1 6.1.2
A级 基础巩固
一、选择题
1．向量(＋)＋(＋)＋等于( C )
A．
B．
C．
D．
[解析] 原式＝＋＋＋＋＝＋0＝．
2．下列等式中不正确的是( C )
A．a＋0＝a
B．a＋b＝b＋a
C．|a＋b|＝|a|＋|b|
D．＝＋＋
[解析] 当a与b方向不同时，|a＋b|≠|a|＋|b|．
3．若a、b为非零向量，则下列说法中不正确的是( B )
A．若向量a与b方向相反，且|a|＞|b|，则向量a＋b与a的方向相同
B．若向量a与b方向相反，且|a|＜|b|，则向量a＋b与a的方向相同
C．若向量a与b方向相同，则向量a＋b与a的方向相同
D．若向量a与b方向相同，则向量a＋b与b的方向相同
[解析] ∵a与b方向相反，且|a|＜|b|时，a＋b与a的方向相反，a＋b与b的方向相同，故B不正确．
4．a、b、a＋b为非零向量，且a＋b平分a与b的夹角，则( C )
A．a＝b
B．a⊥b
C．|a|＝|b|
D．以上都不对
[解析] 由向量加法的平行四边形法则知，若a＋b平分a与b的夹角，则四边形是菱形，因此|a|＝|b|．
5．(多选题)如图，D、E、F分别是△ABC的边AB、BC、CA的中点，则( AC )
A．＋＋＝0
B．＋＋＝0
C．＋＋＝0
D．＋＋＝0
[解析] ∵D、E、F分别是△ABC的边AB、BC、CA的中点，∴DE∥AC，DF∥BC．
∴四边形DECF是平行四边形．
∴＝．
又＋＋＝＋＋＝＋＝＋＝0，故选A正确；
同理对于选项B，＋＋＝＋＋＝＋(＋)＝2，故选B错误；
对于选项C，＋＋＝＋＋＝(＋)＋＝＋＝0，故C正确；
对于选项D，＋＋＝＋＋＝(＋)＋＝＋＝2．
故D错误．
二、填空题
6．如图所示，已知梯形ABCD，AD∥BC，则＋＋＝____．
[解析] ＋＋＝＋＝．
7．根据下图填空：
b＋c＝__a__;
a＋d＝__f__；
b＋c＋d＝__f__;
f＋e＝__b__；
e＋g＝__δ__．
[解析] 由向量加法的多边形法则可知．
8．已知|a|＝3，|b|＝5，则向量a＋b模长的最大值是__8__．
[解析] ∵|a＋b|≤|a|＋|b|＝3＋5＝8，
∴|a＋b|的最大值为8．
三、解答题
9．如图所示，求：
(1)a＋d；
(2)c＋b；
(3)e＋c＋b；
(4)c＋f＋B．
[解析] (1)a＋d＝d＋a＝＋＝．
(2)c＋b＝＋＝．
(3)e＋c＋b＝e＋(c＋b)＝e＋＝＋＝．
(4)c＋f＋b＝＋＋＝．
10．如图，在△ABC中，O为重心，D，E，F分别是BC，AC，AB的中点，化简下列三式：
(1)＋＋；
(2)＋＋；
(3)＋＋．
[解析] (1)＋＋＝＋＝．
(2)＋＋＝(＋)＋＝＋＝．
(3)＋＋＝＋＋＝＋＝．
B级 素养提升
一、选择题
1．a、b为非零向量，且|a＋b|＝|a|＋|b|，则( A )
A．a∥b，且a与b方向相同
B．a、b是共线向量
C．a＝－b
D．a、b无论什么关系均可
[解析] 当两个非零向量a与b不共线时，a＋b的方向与a、b的方向都不相同，且|a＋b|＜|a|＋|b|；向量a与b同向时，a＋b的方向与a、b的方向都相同，且|a＋b|＝|a|＋|b|；向量a与b反向且|a|＜|b|时，a＋b的方向与b的方向相同(与a方向相反)，且|a＋b|＝|b|－|a|．
2．如图，正六边ABCDEF中，＋＋＝( B )
A．0
B．
C．
D．
[解析] 连接CF，取CF中点O，连接OE，CE．
则＋＋＝(＋)＋＝．
3．在四边形ABCD中，＝＋，则四边形ABCD一定是( D )
A．矩形
B．菱形
C．正方形
D．平行四边形
[解析] 在四边形ABCD中，＝＋，
又＝＋，∴＝，
∴四边形ABCD是平行四边形．
4．(多选题)设a＝(＋)＋(＋)，b是任一非零向量，则在下列结论中，正确的为( AC )
A．a∥b
B．a＋b＝a
C．a＋b＝b
D．|a＋b|＜|a|＋|b|
[解析] 因为a＝(＋)＋(＋)＝＋＋＋＝＋＝0.所以AC正确．
二、填空题
5．如图所示，已知在矩形ABCD中，||＝4，设＝a，＝b，＝C．则|a＋b＋c|＝__8__．
[解析] a＋b＋c＝＋＋＝＋．
延长BC至E，使CE＝BC，连接DE，
由于＝＝，CE綊AD，
∴四边形ACED是平行四边形，∴＝，
∴＋＝＋＝，
∴|a＋b＋c|＝||＝2||＝2||＝8，故答案为8．
6．在静水中划船的速度是20
m/min，水流速度是10
m/min，如果船从岸边出发，径直沿垂直于水流的方向到达对岸，则船行进的方向与对岸水平线夹角的正切值为____．
[解析] 如图，设为水流的速度，为划船的速度，则＝＋，其中为船垂直到达对岸的速度，即为船速与水速的和速度，在Rt△ABC中，||＝10，||＝20，
∴tan∠ABC＝＝＝＝，
∴tan∠ADC＝tan∠ABC＝．
三、解答题
7．如图所示，P，Q是△ABC的边BC上两点，且BP＝QC．
求证：＋＝＋．
[解析] ＝＋，＝＋，
所以＋＝＋＋＋．
因为和大小相等、方向相反，所以＋＝0，
故＋＝＋＋0＝＋．
8．在四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O且||＝||＝1，＋＝＋＝0，cos∠DAB＝.求|＋|与|＋|．
[解析] ∵＋＝＋＝0，
∴＝，＝．
∴四边形ABCD是平行四边形，
又||＝||＝1，知四边形ABCD为菱形，
又cos∠DAB＝，∠DAB∈(0，π)，
∴∠DAB＝60°，∴△ABD为正三角形．
∴|＋|＝|＋|＝||＝2||＝，|＋|＝||＝||＝1．
