第六章 6.2 6.2.1
A级 基础巩固
一、选择题
1．(多选题)已知向量a，b是两个非零向量，在下列四个条件中，一定能使a，b共线的是( )
A．2a－3b＝4e且a＋2b＝－2e
B．存在相异实数λ，μ，使λa－μb＝0
C．xa＋yb＝0(其中实数x，y满足x＋y＝0)
D．已知梯形ABCD，其中＝a，＝b
2．如图，设点O是□ABCD两对角线的交点，下列向量组：①与；②与；③与；④与.可作为该平面内所有向量的一组基底的是( )
A．①②
B．①③
C．①④
D．③④
3．如图，平面内的两条相交直线OP1和OP2将该平面分割成四个部分Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ(不包括边界)．若＝a＋b，且点P落在第Ⅲ部分，则实数a，b满足( )
A．a＞0，b＞0
B．a＞0，b＜0
C．a＜0，b＞0
D．a＜0，b＜0
4．如图，在△ABC中，M，N，P是AB的四等分点，＝e1，＝e2，则下列正确的是( )
A．＝e1＋e2，＝e1＋e2
B．＝e1＋e2，＝e1＋e2
C．＝e1－e2，＝(e1＋e2)
D．＝(e1－e2)，＝e1＋e2
5．设a与b是两个不共线的向量，且向量a＋λb与－(b－2a)共线，则实数λ的值等于( )
A．－
B．
C．－2
D．2
二、填空题
6．已知向量a，b是两个不共线的向量，且向量ma－3b与a＋(2－m)b共线，则实数m的值为____．
7．
如图，在□ABCD中，＝a，＝b，＝3，M为BC的中点，若选择基底{a，b}，则在此基底下的分解式为____．
8．向量a在基底{e1，e2}下可以表示为a＝2e1＋3e2，若a在基底{e1＋e2，e1－e2}下可表示为a＝λ(e1＋e2)＋μ(e1－e2)，则λ＝___,
μ＝____．
三、解答题
9．设e1，e2是两个不共线的非零向量．
(1)若a＝λe1＋4e2与b＝e1＋λe2共线，求实数λ的值；
(2)若＝2e1＋ke2，＝e1＋3e2，＝2e1－e2，则当k为何值时，A，B，D三点共线．
10．已知△ABC中，D为BC的中点，E、F为BC的三等分点，若＝a，＝b，用a、b表示、、．
B级 素养提升
一、选择题
1．点C在线段AB上，且＝，＝λ，则λ为( )
A．
B．
C．－
D．－
2．已知a，b是不共线的向量，＝λa＋2b，＝a＋(λ－1)b，且A，B，C三点共线，则λ＝( )
A．－1
B．－2
C．－2或1
D．－1或2
3．在△ABC中，E为AB边的中点，F为AC边的中点，BF交CE于点G.若＝x＋y，则xy等于( )
A．
B．
C．
D．
4．(多选题)下列叙述正确的是( )
A．若a，b共线，则存在唯一的实数λ，使a＝λb
B．b＝3a(a为非零向量)，则a，b共线
C．若m＝3a＋4b，n＝a＋2b，则m∥n
D．若a＋b＋c＝0，则a＋b＝－c
二、填空题
5．已知e1，e2不共线，a＝e1＋2e2，b＝2e1＋λe2，要使a，b能作为平面内的一组基底，则实数λ的取值范围为____．
6．D，E，F分别为△ABC的边BC，CA，AB上的中点，且＝a，＝b，给出下列结论：
①＝－a－b；②＝a＋b；③＝－a＋b；④＝A．
其中正确的结论的序号为____．
三、解答题
7．设e1，e2是不共线的非零向量，且a＝e1－2e2，b＝e1＋3e2．
(1)证明：a，b可以作为一组基底；
(2)以a，b为基底，求向量c＝3e1－e2的分解式；
(3)若4e1－3e2＝λa＋μb，求λ，μ的值．
过△ABC的重心G任作一条直线分别交AB，AC于点D，E，若＝x，＝y，且xy≠0，试求＋的值．
第六章 6.2 6.2.1
A级 基础巩固
一、选择题
1．(多选题)已知向量a，b是两个非零向量，在下列四个条件中，一定能使a，b共线的是( AB )
A．2a－3b＝4e且a＋2b＝－2e
B．存在相异实数λ，μ，使λa－μb＝0
C．xa＋yb＝0(其中实数x，y满足x＋y＝0)
D．已知梯形ABCD，其中＝a，＝b
[解析] 由A得a＝e，
b＝－e，∵a，b非零向量，∴a∥b，
∴A正确；
由共线定理知B正确；
当
x，y都是0时不成立，故C错误；
梯形不一定AB∥CD可能另两边平行，故选D错误．
故选AB．
2．如图，设点O是□ABCD两对角线的交点，下列向量组：①与；②与；③与；④与.可作为该平面内所有向量的一组基底的是( B )
A．①②
B．①③
C．①④
D．③④
[解析] ①与不共线；②∵＝－，∴∥，
∴与共线；③与不共线；④∵＝－，
∴∥，∴与共线．由平面向量基底的概念知①③可构成平面内所有向量的一组基底．
3．如图，平面内的两条相交直线OP1和OP2将该平面分割成四个部分Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ(不包括边界)．若＝a＋b，且点P落在第Ⅲ部分，则实数a，b满足( B )
A．a＞0，b＞0
B．a＞0，b＜0
C．a＜0，b＞0
D．a＜0，b＜0
[解析] ∵＝a＋b，由于点P落在第Ⅲ部分，则根据实数与向量的积的定义及平行四边形法则知a与方向相同，b与方向相反，∴a＞0，b＜0.故选B．
4．如图，在△ABC中，M，N，P是AB的四等分点，＝e1，＝e2，则下列正确的是( A )
A．＝e1＋e2，＝e1＋e2
B．＝e1＋e2，＝e1＋e2
C．＝e1－e2，＝(e1＋e2)
D．＝(e1－e2)，＝e1＋e2
[解析] ∵N为AB的中点，
∴＝(＋)＝(e1＋e2)．
又∵M是AN的中点，
∴＝(＋)＝
＝e1＋e2.∴选项A正确．
选项B中应是＝e1＋e2；选项C中＝(e1－e2)；选项D中＝e1－e2．
5．设a与b是两个不共线的向量，且向量a＋λb与－(b－2a)共线，则实数λ的值等于( A )
A．－
B．
C．－2
D．2
[解析] ∵向量a＋λb与－(b－2a)共线，∴存在实数k，使得a＋λb＝－k(b－2a)＝－kb＋2ka，
∴，∴．
二、填空题
6．已知向量a，b是两个不共线的向量，且向量ma－3b与a＋(2－m)b共线，则实数m的值为__－1或3__．
[解析] 由题意知ma－3a＝λ[a＋(2－m)b]
∴解得m＝－1或m＝3．
7．
如图，在□ABCD中，＝a，＝b，＝3，M为BC的中点，若选择基底{a，b}，则在此基底下的分解式为__＝b－a__．
[解析] ＝＋＝b－＝b－(a＋b)
＝b－A．
8．向量a在基底{e1，e2}下可以表示为a＝2e1＋3e2，若a在基底{e1＋e2，e1－e2}下可表示为a＝λ(e1＋e2)＋μ(e1－e2)，则λ＝____,
μ＝__－__．
[解析] 由条件可知解得
三、解答题
9．设e1，e2是两个不共线的非零向量．
(1)若a＝λe1＋4e2与b＝e1＋λe2共线，求实数λ的值；
(2)若＝2e1＋ke2，＝e1＋3e2，＝2e1－e2，则当k为何值时，A，B，D三点共线．
[解析] (1)∵a，b共线，∴存在实数k，使得a＝kB．
即λe1＋4e2＝k(e1＋λe2)，
∴λe1＋4e2＝ke1＋kλe2．
∵e1，e2是不共线的非零向量，
∴解得λ＝±2．
(2)∵＝e1＋3e2，＝2e1－e2，
∴＝－＝(2e1－e2)－(e1＋3e2)＝e1－4e2．
若A，B，D三点共线，则一定存在唯一实数λ，使＝λ．
即2e1＋ke2＝λ(e1－4e2)，
∴(λ－2)e1＝(k＋4λ)e2．
∵e1，e2是不共线的非零向量，
∴λ－2＝k＋4λ＝0，解得λ＝2，k＝－4λ＝－8．
∴当k＝－8时，A，B，D三点共线．
10．已知△ABC中，D为BC的中点，E、F为BC的三等分点，若＝a，＝b，用a、b表示、、．
[解析] 如图，
A＝＋
＝＋
＝a＋(b－a)
＝a＋b；
＝＋＝＋
＝a＋(b－a)＝a＋b；
＝＋＝＋＝a＋(b－a)＝a＋B．
B级 素养提升
一、选择题
1．点C在线段AB上，且＝，＝λ，则λ为( C )
A．
B．
C．－
D．－
[解析] 由题意，点C在线段AB上，且＝，
因为＝λ，所以＝λ＝λ(－)＝λ(－)＝－λ，
∴－λ＝，∴λ＝－，故选C．
2．已知a，b是不共线的向量，＝λa＋2b，＝a＋(λ－1)b，且A，B，C三点共线，则λ＝( D )
A．－1
B．－2
C．－2或1
D．－1或2
[解析] ∵A，B，C三点共线，
∴存在实数k使得＝k，
∴λa＋2b＝k[a＋(λ－1)b]，
解得λ＝－1或2.故选D．
3．在△ABC中，E为AB边的中点，F为AC边的中点，BF交CE于点G.若＝x＋y，则xy等于( C )
A．
B．
C．
D．
[解析] 由题意知：G是△ABC的重心，延长AG与边BC交于点D．∴＝＝＋，
又因为点E为AB边的中点，点F为AC边的中点，故＝2，＝2，
则＝＋，即x＝y＝，
∴xy＝.故选C．
4．(多选题)下列叙述正确的是( BCD )
A．若a，b共线，则存在唯一的实数λ，使a＝λb
B．b＝3a(a为非零向量)，则a，b共线
C．若m＝3a＋4b，n＝a＋2b，则m∥n
D．若a＋b＋c＝0，则a＋b＝－c
[解析] 判断非零向量a与b共线的方法是：存在实数λ，使a＝λb，在选项A中，若a＝b＝0时成立，故选项A不正确，选项B正确；在选项C中，m＝2n，所以m∥n，所以C选项正确，D选项也正确．
二、填空题
5．已知e1，e2不共线，a＝e1＋2e2，b＝2e1＋λe2，要使a，b能作为平面内的一组基底，则实数λ的取值范围为__(－∞，4)∪(4，＋∞)__．
[解析] 若能作为平面内的一组基底，则a与b不共线．a＝e1＋2e2，b＝2e1＋λe2，由a≠kb即得λ≠4．
6．D，E，F分别为△ABC的边BC，CA，AB上的中点，且＝a，＝b，给出下列结论：
①＝－a－b；②＝a＋b；③＝－a＋b；④＝A．
其中正确的结论的序号为__①②③__．
[解析] 如图，＝＋＝－b＋＝－b－a，①正确；
＝＋＝a＋b，②正确；
＝＋＝－b－a，＝＋＝b＋(－b－a)＝b－a，③正确；
④＝＝－a，④不正确．
三、解答题
7．设e1，e2是不共线的非零向量，且a＝e1－2e2，b＝e1＋3e2．
(1)证明：a，b可以作为一组基底；
(2)以a，b为基底，求向量c＝3e1－e2的分解式；
(3)若4e1－3e2＝λa＋μb，求λ，μ的值．
[解析] (1)若a，b共线，则存在v∈R，使a＝vb，
则e1－2e2＝v(e1＋3e2)．
由e1，e2不共线，
得?
所以v不存在，故a与b不共线，可以作为一组基底．
(2)设c＝ma＋nb(m，n∈R)，则
3e1－e2＝m(e1－2e2)＋n(e1＋3e2)
＝(m＋n)e1＋(－2m＋3n)e2．
所以?
所以c＝2a＋B．
(3)由4e1－3e2＝λa＋μb，得
4e1－3e2＝λ(e1－2e2)＋μ(e1＋3e2)
＝(λ＋μ)e1＋(－2λ＋3μ)e2．
所以?
故所求λ，μ的值分别为3和1．
8．过△ABC的重心G任作一条直线分别交AB，AC于点D，E，若＝x，＝y，且xy≠0，试求＋的值．
[解析] 如图，设＝a，＝b，
则＝＝
＝(a＋b)．
所以＝－＝a－b，＝－＝xa－yB．
因为与共线，所以＝λ，
即a－b＝λxa－λyb，
所以消去λ得＝，即＋＝3．第六章 6.2 6.2.1
1．已知AD是△ABC的BC边上的中线，若＝a，＝b，则＝( )
A．(a－b)
B．－(a－b)
C．－(a＋b)
D．(a＋b)
2．已知＝a＋4b，＝2b－a，＝2(a＋b)，则( )
A．A、B、C三点共线
B．A、B、D三点共线
C．A、C、D三点共线
D．B、C、D三点共线
3．已知向量a＝e1＋λe2，b＝2e1，λ∈R，且λ≠0，若a∥b，则( )
A．λ＝0
B．e2＝0
C．e1∥e2
D．e1∥e2或e1＝0
4．如图，已知E、F分别是矩形ABCD的边BC、CD的中点，EF与AC交于点G，若＝a，＝b，用a、b表示＝____．
5．已知e1，e2是平面内两个不共线的向量，a＝3e1－2e2，b＝－2e1＋e2，c＝7e1－4e2，试用向量a和b表示C．
第六章 6.2 6.2.1
1．已知AD是△ABC的BC边上的中线，若＝a，＝b，则＝( D )
A．(a－b)
B．－(a－b)
C．－(a＋b)
D．(a＋b)
[解析] ＝＋①
＝＋②
①＋②得2＝＋＋＋，
又＋＝0．
故＝(＋)＝(a＋b)．
2．已知＝a＋4b，＝2b－a，＝2(a＋b)，则( B )
A．A、B、C三点共线
B．A、B、D三点共线
C．A、C、D三点共线
D．B、C、D三点共线
[解析] ∵＋＝a＋4b，即＋＝，
∴＝，即存在λ＝1使＝λ．
∴、共线．
又∵两向量有公共点B，
∴A、B、D三点共线．
3．已知向量a＝e1＋λe2，b＝2e1，λ∈R，且λ≠0，若a∥b，则( D )
A．λ＝0
B．e2＝0
C．e1∥e2
D．e1∥e2或e1＝0
[解析] 当e1＝0时，显然有a∥b；
当e1≠0时，b＝2e1≠0，又a∥b，
∴存在实数μ，使a＝μb，即e1＋λe2＝2μe1，
∴λe2＝(2μ－1)e1，又λ≠0，
∴e1∥e2．
4．如图，已知E、F分别是矩形ABCD的边BC、CD的中点，EF与AC交于点G，若＝a，＝b，用a、b表示＝__a＋b__．
[解析] ＝＋＝＋－
＝a＋b－＝a＋b－·
＝a＋b－(a－b)＝a＋B．
5．已知e1，e2是平面内两个不共线的向量，a＝3e1－2e2，b＝－2e1＋e2，c＝7e1－4e2，试用向量a和b表示C．
[解析] 因为a，b不共线，所以可设c＝xa＋yb，
则xa＋yb＝x(3e1－2e2)＋y(－2e1＋e2)＝(3x－2y)e1＋(－2x＋y)e2＝7e1－4e2．
又因为e1，e2不共线，所以
解得所以c＝a－2B．
