第六章 6.2 6.2.3
A级 基础巩固
一、选择题
1．已知点A(0,1)、B(3,2)，向量＝(－4，－3)，则向量＝( )
A．(－7，－4)
B．(7,4)
C．(－1,4)
D．(1,4)
2．若向量a＝(1,1)、b＝(1，－1)、c＝(－1,2)，则向量c等于( )
A．－a＋b
B．a－b
C．a－b
D．－a＋b
3．若向量a＝(x＋3，x2－3x－4)与相等，已知A(1,2)、B(3，2)，则x的值为( )
A．－1
B．－1或4
C．4
D．1或4
4．(多选题)若向量a＝(，1)、b＝(0，－2)，则与a＋2b共线的向量可以是( )
A．(，－1)
B．(－1，－)
C．(1，－)
D．(－1，)
5．已知向量a＝(1,3)，b＝(2,1)，若a＋2b与3a＋λb平行，则λ的值等于( )
A．－6
B．6
C．2
D．－2
二、填空题
6．设i、j分别为x、y轴正方向的单位向量，已知＝2i，＝4i＋2j，＝－2，则点C的坐标为___．
7．已知向量a＝(m,4)，b＝(3，－2)，且a∥b，则m＝____．
8．已知平行四边形ABCD的顶点A(4,3)，B(1，－1)，C(2,1)，D点的坐标为___．
三、解答题
9．如图，已知在边长为1的正方形ABCD中，AB与x轴正半轴成30°角．求点B和点D的坐标和与的坐标．
10．如图，已知点A(4,0)、B(4,4)、C(2,6)，求AC、OB交点P的坐标．
B级 素养提升
一、选择题
1．已知＝(5，－3)、C(－1,3)、＝2，则点D的坐标是( )
A．(11,9)
B．(4,0)
C．(9,3)
D．(9，－3)
2．已知两点A(4,1)、B(7，－3)，则与向量同向的单位向量是( )
A．
B．－
C．
D．－
3．已知向量a＝(，sinα)，b＝(sinα，)，若a∥b，则锐角α为( )
A．30°
B．60°
C．45°
D．75°
4．(多选题)已知向量i＝(1,0)，j＝(0,1)，对于该坐标平面内的任一向量a，给出下列四个结论，其中错误的是( )
A．存在唯一的一对实数x，y，使得a＝(x，y)
B．若x1，x2，y1，y2∈R，a＝(x1，y1)≠(x2，y2)，则x1≠x2，且y1≠y2
C．若x，y∈R，a＝(x，y)，且a≠0，则a的始点是原点O
D．若x，y∈R，a≠0，且a的终点坐标是(x，y)，则a＝(x，y)
二、填空题
5．已知向量a＝(2,1)、b＝(1，－2)．若ma＋nb＝(9，－8)(m、n∈R)，则m－n的值为____．
6．若点O(0,0)、A(1,2)、B(－1,3)，且＝2，＝3，则点A′的坐标为____.点B′的坐标为___，向量的坐标为____．
三、解答题
7．已知直线上三点P1、P、P2满足||＝||，且P1(2，－1)、P2(－1,3)，求点P的坐标．
8．如图，已知直角梯形ABCD，AD⊥AB，AB＝2AD＝2CD，过点C作CE⊥AB于E，M为CE的中点，用向量的方法证明：
(1)DE∥BC；
(2)D、M、B三点共线．
第六章 6.2 6.2.3
A级 基础巩固
一、选择题
1．已知点A(0,1)、B(3,2)，向量＝(－4，－3)，则向量＝( A )
A．(－7，－4)
B．(7,4)
C．(－1,4)
D．(1,4)
[解析] 本题主要考查平面向量的线性运算．
＝＋＝(－3，－1)＋(－4，－3)
＝(－7，－4)．故选A．
2．若向量a＝(1,1)、b＝(1，－1)、c＝(－1,2)，则向量c等于( C )
A．－a＋b
B．a－b
C．a－b
D．－a＋b
[解析] a－b＝(－，＋)＝(－1,2)，故选C．
3．若向量a＝(x＋3，x2－3x－4)与相等，已知A(1,2)、B(3，2)，则x的值为( A )
A．－1
B．－1或4
C．4
D．1或4
[解析] ∵A(1,2)、B(3,2)，
∴＝(2,0)，又∵＝a，∴，
∴x＝－1．
4．(多选题)若向量a＝(，1)、b＝(0，－2)，则与a＋2b共线的向量可以是( CD )
A．(，－1)
B．(－1，－)
C．(1，－)
D．(－1，)
[解析] ∵a＋2b＝(，1)＋2(0，－2)＝(，－3)，
因为×－(－1)×(－3)＝0，
所以向量(－1，)与a＋2b是共线向量．
又因为1×(－3)－(－)×＝0，
所以向量(1，－)与a＋2b也是共线向量．
5．已知向量a＝(1,3)，b＝(2,1)，若a＋2b与3a＋λb平行，则λ的值等于( B )
A．－6
B．6
C．2
D．－2
[解析] a＋2b＝(5,5)，3a＋λb＝(3＋2λ，9＋λ)，
由条件知，5×(9＋λ)－5×(3＋2λ)＝0，
∴λ＝6．
二、填空题
6．设i、j分别为x、y轴正方向的单位向量，已知＝2i，＝4i＋2j，＝－2，则点C的坐标为__(1，－1)__．
[解析] 由已知＝(2,0)、＝(4,2)，
∴＝(2,2)，设C点坐标为(x，y)，则＝(x－2，y)，
∵＝－2，∴(2,2)＝－2(x－2，y)，
∴，解得．
∴点C的坐标为(1，－1)．
7．已知向量a＝(m,4)，b＝(3，－2)，且a∥b，则m＝__－6__．
[解析] 由题意得，－2m－12＝0，所以m＝－6．
8．已知平行四边形ABCD的顶点A(4,3)，B(1，－1)，C(2,1)，D点的坐标为__(5,5)__．
[解析] ∵ABCD为平行四边形，∴＝．
设D(x，y)，则(x－4，y－3)＝(1,2)，
∴x＝5，y＝5，
∴D(5,5)．
三、解答题
9．如图，已知在边长为1的正方形ABCD中，AB与x轴正半轴成30°角．求点B和点D的坐标和与的坐标．
[解析] 设点B的坐标为(x，y)，则x＝cos30°＝，y＝sin30°＝．
∴B(，)，＝(，)．
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BAD＝90°，∴∠xOD＝120°．
设点D的坐标为(x′，y′)，
则x′＝cos120°＝－，y′＝sin120°＝，
∴D＝(－，)，＝(－，)．
10．如图，已知点A(4,0)、B(4,4)、C(2,6)，求AC、OB交点P的坐标．
[解析] 解法一：设＝λ＝(4λ，4λ)．
＝(4λ－4,4λ)，＝(－2,6)．
因为A、P、C三点共线，所以6×(4λ－4)－(－2)×4λ＝0，解得λ＝．
所以＝(3,3)，即P点坐标为(3,3)．
解法二：设P(x，y)，＝(x，y)，＝(4,4)，
因为O、P、B三点共线，所以4x－4y＝0①
又因为＝(x－4，y)，＝(－2,6)，且A、P、C三点共线，所以6×(x－4)－(－2)×y＝0，即3x＋y＝12②
由①、②得：x＝3，y＝3，所以P(3,3)．
B级 素养提升
一、选择题
1．已知＝(5，－3)、C(－1,3)、＝2，则点D的坐标是( D )
A．(11,9)
B．(4,0)
C．(9,3)
D．(9，－3)
[解析] ∵＝(5，－3)，∴＝2＝(10，－6)，
设D(x，y)，又C(－1,3)，
∴＝(x＋1，y－3)，
∴，∴．
2．已知两点A(4,1)、B(7，－3)，则与向量同向的单位向量是( A )
A．
B．－
C．
D．－
[解析] ＝(3，－4)，∴||＝＝5，故与向量同向的单位向量是＝．
3．已知向量a＝(，sinα)，b＝(sinα，)，若a∥b，则锐角α为( A )
A．30°
B．60°
C．45°
D．75°
[解析] ∵a∥b，∴sin2α＝×＝，∴sinα＝±．
∵α为锐角，∴α＝30°．
4．(多选题)已知向量i＝(1,0)，j＝(0,1)，对于该坐标平面内的任一向量a，给出下列四个结论，其中错误的是( BCD )
A．存在唯一的一对实数x，y，使得a＝(x，y)
B．若x1，x2，y1，y2∈R，a＝(x1，y1)≠(x2，y2)，则x1≠x2，且y1≠y2
C．若x，y∈R，a＝(x，y)，且a≠0，则a的始点是原点O
D．若x，y∈R，a≠0，且a的终点坐标是(x，y)，则a＝(x，y)
[解析] 由平面向量基本定理，知A正确；举反例，a＝(1,0)≠(1,3)，但1＝1，故B错误；向量可以平移，a＝(x，y)与a的始点是不是原点无关，故C错误；当a的终点坐标是(x，y)时，a＝(x，y)是以a的始点是原点为前提的，故D错误．
二、填空题
5．已知向量a＝(2,1)、b＝(1，－2)．若ma＋nb＝(9，－8)(m、n∈R)，则m－n的值为__－3__．
[解析] 由题意得，2m＋n＝9，m－2n＝－8?m＝2，n＝5，m－n＝－3．
6．若点O(0,0)、A(1,2)、B(－1,3)，且＝2，＝3，则点A′的坐标为__(2,4)__.点B′的坐标为__(－3,9)__，向量的坐标为__(－5,5)__．
[解析] ∵O(0,0)，A(1,2)，B(－1,3)，
∴＝(1,2)，＝(－1,3)，
＝2×(1,2)＝(2,4)，＝3×(－1,3)＝(－3,9)．
∴A′(2,4)，B′(－3,9)，＝(－3－2,9－4)＝(－5,5)．
三、解答题
7．已知直线上三点P1、P、P2满足||＝||，且P1(2，－1)、P2(－1,3)，求点P的坐标．
[解析] ∵||＝||，
∴＝或＝－，
设P(x，y)，则(x－2，y＋1)＝±(－1－x,3－y)，
即，或．
解得，或．
故点P的坐标为(，)或(8，－9)．
8．如图，已知直角梯形ABCD，AD⊥AB，AB＝2AD＝2CD，过点C作CE⊥AB于E，M为CE的中点，用向量的方法证明：
(1)DE∥BC；
(2)D、M、B三点共线．
[解析] 如图，以E为原点，AB所在直线为x轴，EC所在直线为y轴建立直角坐标系，令||＝1，则||＝1，||＝2．
∵CE⊥AB，而AD＝DC，∴四边形AECD为正方形．
∴可求得各点坐标分别为：E(0,0)，B(1,0)，C(0,1)，D(－1,1)，A(－1,0)．
(1)∵＝(－1,1)－(0,0)＝(－1,1)，＝(0,1)－(1,0)＝(－1,1)，
∴＝，∴∥，即DE∥BC．
(2)∵M为EC的中点，∴M(0，)，
∴＝(－1,1)－(0，)＝(－1，)，
＝(1,0)－(0，)＝(1，－)．
∴＝－，∴∥．
又
MD与MB共点于M，
∴D，M，B三点共线．第六章 6.2 6.2.3
1．如图所示，向量的坐标是( )
A．(1,1)
B．(－1，－2)
C．(2,3)
D．(－2，－3)
2．已知平面向量a＝(0,1)，b＝(－1,2)，则向量2a－b等于( )
A．(－，)
B．(，－)
C．(－，－)
D．(，)
3．设向量a＝(2,4)与向量b＝(x,6)共线，则实数x＝( )
A．2
B．3
C．4
D．6
4．若向量a＝(x,1)、b＝(4，x)，则当x＝____时，a、b共线且方向相同．
5．已知点A(－1,2)、B(2,8)及＝，＝－，求点C、D和的坐标．
第六章 6.2 6.2.3
1．如图所示，向量的坐标是( D )
A．(1,1)
B．(－1，－2)
C．(2,3)
D．(－2，－3)
[解析] 由图知，M(1,1)，N(－1，－2)，
则＝(－1－1，－2－1)＝(－2，－3)．
2．已知平面向量a＝(0,1)，b＝(－1,2)，则向量2a－b等于( D )
A．(－，)
B．(，－)
C．(－，－)
D．(，)
[解析] 2a－b＝2(0,1)－(－1,2)＝(0,2)－(－，)＝(，)．
3．设向量a＝(2,4)与向量b＝(x,6)共线，则实数x＝( B )
A．2
B．3
C．4
D．6
[解析] ∵a与b共线，∴2×6－4x＝0，解得x＝3，选B．
4．若向量a＝(x,1)、b＝(4，x)，则当x＝__2__时，a、b共线且方向相同．
[解析] ∵a＝(x,1)、b＝(4，x)，a∥b，
∴x·x－1×4＝0，即x2＝4，∴x＝±2．
当x＝－2时，a与b方向相反，
当x＝2时，a与b共线且方向相同．
5．已知点A(－1,2)、B(2,8)及＝，＝－，求点C、D和的坐标．
[解析] 设C、D的坐标分别为(x1，y1)、(x2，y2)，由题意可得＝(x1＋1，y1－2)，＝(3,6)，＝(－1－x2,2－y2)，＝(－3，－6)，
∵＝，＝－，
∴(x1＋1，y1－2)＝(3,6)，
(－1－x2,2－y2)＝－(－3，－6)，
即(x1＋1，y1－2)＝(1,2)，
(－1－x2,2－y2)＝(1,2)．
∴，和，
∴，和．
∴C、D的坐标分别为(0,4)和(－2,0)．
因此＝(－2，－4)．
