第六章 6.3
1．已知作用在点A(1,1)的三个力F1＝(3,4)，F2＝(2，－5)，F3＝(3,1)，则合力F＝F1＋F2＋F3的终点坐标是( )
A．(8,0)
B．(9,1)
C．(－1,9)
D．(3,1)
2．已知△ABC的重心是G，CA的中点为M，且A、M、G三点的坐标分别是(6,6)，(7,4)，(，)，则|BC|为( )
A．4
B．
C．
D．2
3．初速度为v0，发射角为θ，若要使炮弹在水平方向的速度为v0，则发射角θ应为( )
A．15°
B．30°
C．45°
D．60°
4．一艘船以4
km/h的速度沿着与水流方向成120°的方向航行，已知河水流速为2
km/h，则经过
h，该船实际航程为____
km．
5．如图，两人分别从A村出发，其中一人沿北偏东60°方向行走了1
km到达B村，另一人沿北偏西30°方向行走了
km到达C村．问：B，C两村相距多远，B村在C村的什么方向上？
第六章 6.3
1．已知作用在点A(1,1)的三个力F1＝(3,4)，F2＝(2，－5)，F3＝(3,1)，则合力F＝F1＋F2＋F3的终点坐标是( B )
A．(8,0)
B．(9,1)
C．(－1,9)
D．(3,1)
[解析] ∵F＝(8,0)，∴终点坐标为(8,0)＋(1,1)＝(9,1)，故选B．
2．已知△ABC的重心是G，CA的中点为M，且A、M、G三点的坐标分别是(6,6)，(7,4)，(，)，则|BC|为( D )
A．4
B．
C．
D．2
[解析] 设B(x1，y1)，C(x2，y2)，
由条件可知，即，∴C(8,2)，
即，∴B(2,0)，
∴|BC|＝＝＝2．
3．初速度为v0，发射角为θ，若要使炮弹在水平方向的速度为v0，则发射角θ应为( D )
A．15°
B．30°
C．45°
D．60°
[解析] 炮弹的水平速度v＝v0cosθ＝v0，
∴cosθ＝.∴θ＝60°．
4．一艘船以4
km/h的速度沿着与水流方向成120°的方向航行，已知河水流速为2
km/h，则经过
h，该船实际航程为__6__
km．
[解析] 根据题意，画出示意图，如图所示，表示水流速度，表示船在静水中的速度，则表示船的实际速度，又||＝2，||＝4，∠AOB＝120°，则∠CBO＝60°，
所以||＝2，∠AOC＝∠BCO＝90°．
所以实际速度为2
km/h，则实际航程为2×＝6
km．
5．如图，两人分别从A村出发，其中一人沿北偏东60°方向行走了1
km到达B村，另一人沿北偏西30°方向行走了
km到达C村．问：B，C两村相距多远，B村在C村的什么方向上？
[解析] 画出平面向量，，则有||＝1，||＝，∠CAB＝90°，则||＝2．
又tan∠ACB＝＝，
∴∠ACB＝30°.故B，C两村间的距离为2km，B村在C村的南偏东60°的方向上．第六章 6.3
A级 基础巩固
一、选择题
1．若||＝||且＝，则四边形ABCD的形状为( )
A．平行四边形
B．矩形
C．菱形
D．等腰梯形
2．一条渔船距对岸4
km，以2
km/h的速度向垂直于对岸的方向划去，到达对岸时，船的实际航程为8
km，则河水的流速为( )
A．2
km/h
B．2
km/h
C．
km/h
D．3
km/h
3．在矩形ABCD中，||＝4，||＝2，则|＋＋|＝( )
A．2
B．4
C．4
D．2
4．如图，在△ABO中，P为线段AB上的一点，＝x＋y，且＝2，则( )
A．x＝，y＝
B．x＝，y＝
C．x＝，y＝
D．x＝，y＝
5．(多选题)△ABC是边长为2的等边三角形，已知向量a，b满足＝2a，＝2a＋b，则下列结论正确的是( )
A．|b|＝1
B．|a|＝1
C．a∥b
D．(4a＋b)⊥
二、填空题
6．已知三个力F1＝(3,4)，F2＝(2，－5)，F3＝(x，y)和合力F1＋F2＋F3＝0，则F3的坐标为____．
7．河水从东向西流，流速为2
km/h，一艘船以2
km/h垂直于水流方向向北横渡，则船实际航行的速度的大小是____km/h．
8．△ABC所在平面上一点P满足＋＝m(m＞0，m为常数)，若△ABP的面积为6，则△ABC的面积为____．
三、解答题
9．如图，用两根绳子把重10
N的物体W吊在水平杆AB上，∠ACW＝150°，∠BCW＝120°.求A和B处所受力的大小．(忽略绳子重量)
10．如图，点O是平行四边形ABCD的中心，E，F分别在边CD，AB上，且＝＝．
求证：点E，O，F在同一直线上．
B级 素养提升
一、选择题
1．已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A(3,4)，B(5,2)，C(－1，－4)，则该三角形为( )
A．锐角三角形
B．直角三角形
C．钝角三角形
D．等腰直角三角形
2．在△ABC中，D为BC边的中点，已知＝a，＝b，则下列向量中与同方向的是( )
A．
B．＋
C．
D．－
3．两个大小相等的共点力F1，F2，当它们的夹角为90°时，合力的大小为20
N，则当它们的夹角为120°时，合力的大小为( )
A．40
N
B．10
N
C．20
N
D．
N
4．已知点A(2,0)，B(－4,4)，C(1，－1)，D是线段AB的中点，延长CD到点E使||＝2||，则点E的坐标为( )
A．(－2，)
B．(2，)
C．(2，－)
D．(－2，－)
二、填空题
5．已知△ABC的三个顶点A(0，－4)，B(4,0)，C(－6,2)，点D，E，F分别为边BC，CA，AB的中点．则直线DE的方程为____，直线EF的方程为____
．
6．设O是△ABC内部一点，且＋＝－2，则△AOB与△AOC的面积之比为____．
三、解答题
7．如图，已知河水自西向东流速为|v0|＝1
m/s，设某人在静水中游泳的速度为v1，在流水中实际速度为v2．
(1)若此人朝正南方向游去，且|v1|＝
m/s，求他实际前进方向与水流方向的夹角α和v2的大小；
(2)若此人实际前进方向与水流垂直，且|v2|＝
m/s，求他游泳的方向与水流方向的夹角β和v1的大小．
8．如图，在△ABC中，M是BC的中点，点N在AC上，且AN＝2NC，AM与BN相交于点P，求AP∶PM与BP∶PN．
第六章 6.3
A级 基础巩固
一、选择题
1．若||＝||且＝，则四边形ABCD的形状为( C )
A．平行四边形
B．矩形
C．菱形
D．等腰梯形
[解析] 由＝可知，四边形ABCD为平行四边形，又因为||＝||，所以四边形ABCD为菱形．
2．一条渔船距对岸4
km，以2
km/h的速度向垂直于对岸的方向划去，到达对岸时，船的实际航程为8
km，则河水的流速为( A )
A．2
km/h
B．2
km/h
C．
km/h
D．3
km/h
[解析] 如图，船在A处，AB＝4，实际航程为AC＝8，则∠BCA＝30°，|vAB|＝2，|vAC|＝4，所以|vBC|＝2，故选A．
3．在矩形ABCD中，||＝4，||＝2，则|＋＋|＝( C )
A．2
B．4
C．4
D．2
[解析] 由平行四边形法则可知＋＝，原式即为2||，而BD为矩形对角线，所以||＝＝2.原式＝2||＝2×2＝4.故选C．
4．如图，在△ABO中，P为线段AB上的一点，＝x＋y，且＝2，则( A )
A．x＝，y＝
B．x＝，y＝
C．x＝，y＝
D．x＝，y＝
[解析] 由题可知＝＋，又＝2，所以＝＋＝＋(－)＝＋，所以x＝，y＝，故选A．
5．(多选题)△ABC是边长为2的等边三角形，已知向量a，b满足＝2a，＝2a＋b，则下列结论正确的是( BD )
A．|b|＝1
B．|a|＝1
C．a∥b
D．(4a＋b)⊥
[解析] 如图，由题意，＝－＝(2a＋b)－2a＝b，则|b|＝2，故A错误；|2a|＝2|a|＝2，所以|a|＝1，故B正确；因为＝2a，＝b，故a，b不平行，故C错误；设B，C中点为D，则＋＝2，且⊥，而2＝2a＋(2a＋b)＝4a＋b，所以(4a＋b)⊥，故D正确．
二、填空题
6．已知三个力F1＝(3,4)，F2＝(2，－5)，F3＝(x，y)和合力F1＋F2＋F3＝0，则F3的坐标为__(－5,1)__．
[解析] 因为F1＝(3,4)，F2＝(2，－5)，F3＝(x，y)，所以F1＋F2＋F3＝(3,4)＋(2，－5)＋(x，y)＝0，
所以(3＋2＋x,4－5＋y)＝0，
所以解得x＝－5，y＝1．
所以F3的坐标为(－5,1)．
7．河水从东向西流，流速为2
km/h，一艘船以2
km/h垂直于水流方向向北横渡，则船实际航行的速度的大小是__4__km/h．
[解析] 由题意，如图，表示水流速度，表示船在静水中的速度，
则表示船的实际速度，
则||＝2，||＝2，∠AOB＝90°，
∴||＝4．
8．△ABC所在平面上一点P满足＋＝m(m＞0，m为常数)，若△ABP的面积为6，则△ABC的面积为__12__．
[解析] 取AC的中点O，∵＋＝m(m＞0，m为常数)，
∴m＝2，
∴C到直线AB的距离等于P到直线AB的距离的2倍，故S△ABC＝2S△ABP＝12．
三、解答题
9．如图，用两根绳子把重10
N的物体W吊在水平杆AB上，∠ACW＝150°，∠BCW＝120°.求A和B处所受力的大小．(忽略绳子重量)
[解析] 设A，B处所受力分别为f1，f2,10N的重力用f表示，则f1＋f2＋f＝0．
以重力作用点C为f1，f2的始点，作平行四边形CFWE，使CW为对角线，则＝－f2，＝－f1，＝f．
∠ECW＝180°－150°＝30°，∠FCW＝180°－120°＝60°，∠FCE＝90°，
∴四边形CEWF为矩形，∴||＝||cos30°＝5，
||＝||cos60°＝5．
即A处所受力的大小为5N，B处所受力的大小为5N．
10．如图，点O是平行四边形ABCD的中心，E，F分别在边CD，AB上，且＝＝．
求证：点E，O，F在同一直线上．
[解析] 设＝m，＝n，
由＝＝知E，F分别是CD，AB的三等分点，
所以＝＋＝＋
＝－m＋(m＋n)＝m＋n，
＝＋＝＋
＝(m＋n)－m＝m＋n．
所以＝．
又O为和的公共点，故点E，O，F在同一直线上．
B级 素养提升
一、选择题
1．已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A(3,4)，B(5,2)，C(－1，－4)，则该三角形为( B )
A．锐角三角形
B．直角三角形
C．钝角三角形
D．等腰直角三角形
[解析] ＝(2，－2)，＝(－4，－8)，＝(－6，－6)，
所以||＝＝2，
||＝＝4，
||＝＝6，
所以||2＋||2＝||2，所以△ABC为直角三角形．
2．在△ABC中，D为BC边的中点，已知＝a，＝b，则下列向量中与同方向的是( A )
A．
B．＋
C．
D．－
[解析] 因为D为BC边的中点，则有＋＝2，所以a＋b与共线，又因为与a＋b共线，所以选项A正确．
3．两个大小相等的共点力F1，F2，当它们的夹角为90°时，合力的大小为20
N，则当它们的夹角为120°时，合力的大小为( B )
A．40
N
B．10
N
C．20
N
D．
N
[解析] 对于两个大小相等的共点力F1，F2，当它们的夹角为90°，合力的大小为20
N时，由三角形法则可知，这两个力的大小都是10
N；当它们的夹角为120°时，由三角形法则可知力的合成构成一个等边三角形，因此合力的大小为10
N．
4．已知点A(2,0)，B(－4,4)，C(1，－1)，D是线段AB的中点，延长CD到点E使||＝2||，则点E的坐标为( A )
A．(－2，)
B．(2，)
C．(2，－)
D．(－2，－)
[解析] 由已知得D(－1,2)，因为||＝2||，所以＝2，设E(x，y)，则有(－2,3)＝2(x＋1，y－2)，
所以所以
二、填空题
5．已知△ABC的三个顶点A(0，－4)，B(4,0)，C(－6,2)，点D，E，F分别为边BC，CA，AB的中点．则直线DE的方程为__x－y＋2＝0__，直线EF的方程为__x＋5y＋8＝0__
．
[解析] 由已知得点D(－1,1)，E(－3，－1)，
设M(x，y)是直线DE上任意一点，则∥．
又＝(x＋1，y－1)，＝(－2，－2)，
所以(－2)×(x＋1)－(－2)×(y－1)＝0，
即x－y＋2＝0为直线DE的方程．
同理可求，直线EF的方程为x＋5y＋8＝0．
6．设O是△ABC内部一点，且＋＝－2，则△AOB与△AOC的面积之比为__1∶2__．
[解析] 设D为AC的中点，
如图所示，连接OD，
则＋＝2．
又＋＝－2，
所以＝－，即O为BD的中点，
从而容易得△AOB与△AOC的面积之比为1∶2．
三、解答题
7．如图，已知河水自西向东流速为|v0|＝1
m/s，设某人在静水中游泳的速度为v1，在流水中实际速度为v2．
(1)若此人朝正南方向游去，且|v1|＝
m/s，求他实际前进方向与水流方向的夹角α和v2的大小；
(2)若此人实际前进方向与水流垂直，且|v2|＝
m/s，求他游泳的方向与水流方向的夹角β和v1的大小．
[解析] 如图，设＝v0，＝v1，＝v2，
则由题意知v2＝v0＋v1，||＝1，
根据向量加法的平行四边形法则得四边形OACB为平行四边形．
(1)由此人朝正南方向游去得四边形OACB为矩形，且||＝AC＝，如图所示，
则在直角△OAC中，|v2|＝OC＝＝2，
tan∠AOC＝＝，
又α＝∠AOC∈(0，)，
所以α＝．
(2)由题意知α＝∠OCB＝，且|v2|＝||＝，BC＝1，如图所示，
则在直角△OBC中，|v1|＝OB＝＝2，
tan∠BOC＝＝，
又∠BOC∈(0，)，
所以∠BOC＝，
则β＝＋＝．
答：(1)他实际前进方向与水流方向的夹角α为，v2的大小为2
m/s；
(2)他游泳的方向与水流方向的夹角β为，v1的大小为2
m/s．
8．如图，在△ABC中，M是BC的中点，点N在AC上，且AN＝2NC，AM与BN相交于点P，求AP∶PM与BP∶PN．
[解析] 设＝e1，＝e2，
则＝＋＝－3e2－e1，＝＋＝2e1＋e2．
∵A，P，M和B，P，N分别共线，
∴存在实数λ，μ使得＝λ＝－λe1－3λe2，
＝μ＝2μe1＋μe2．
故＝＋＝－＝(λ＋2μ)e1＋(3λ＋μ)e2．
而＝＋＝2e1＋3e2，由平面向量基本定理，
得解得
∴＝，＝．
故AP∶PM＝4∶1，BP∶PN＝3∶2．
