第五章 5.3 5.3.3
1．集合A＝{2,3}，B＝{1,2,3}，从A、B中各任意取一个数，则这两数之和等于4的概率是( )
A．
B．
C．
D．
2．有5支彩笔(除颜色外无差别)，颜色分别为红、黄、蓝、绿、紫．从这5支彩笔中任取2支不同颜色的彩笔，则取出的2支彩笔中含有红色彩笔的概率为( )
A．
B．
C．
D．
3．已知集合A＝{－1,0,1}，点P坐标为(x，y)，其中x∈A，y∈A，记点P落在第一象限为事件M，则P(M)＝( )
A．
B．
C．
D．
4．小明一家想从北京、济南、上海、广州四个城市中任选三个城市作为2020年暑假期间的旅游目的地，则济南被选入的概率是____．
5．6月1日是儿童节，光明幼儿园的小朋友用红、黄、蓝三种颜色的小凳子布置联欢会的会场，每排三个小凳子，并且任何两排不能完全相同．求：
(1)假设所需的小凳子足够多，那么根据要求一共能布置多少排小凳子？
(2)每排的小凳子颜色都相同的概率．
第五章 5.3 5.3.3
1．集合A＝{2,3}，B＝{1,2,3}，从A、B中各任意取一个数，则这两数之和等于4的概率是( C )
A．
B．
C．
D．
[解析] 本题主要考查了古典概型，从集合A、B中任取一个数的样本空间Ω＝{(2,1)，(2,2)，(2,3)，(3,1)，(3,2)，(3,3)}，共6个样本点，和为4的有(2,2)、(3,1)共2种，则所求概率为P＝＝．
2．有5支彩笔(除颜色外无差别)，颜色分别为红、黄、蓝、绿、紫．从这5支彩笔中任取2支不同颜色的彩笔，则取出的2支彩笔中含有红色彩笔的概率为( C )
A．
B．
C．
D．
[解析] 从5支彩笔中任取2支不同颜色彩笔的取法有红黄、红蓝、红绿、红紫、黄蓝、黄绿、黄紫、蓝绿、蓝紫、绿紫，共10种，其中取出的2支彩笔中含有红色彩笔的取法有红黄、红蓝、红绿、红紫，共4种，所以所求概率P＝＝.故选C．
3．已知集合A＝{－1,0,1}，点P坐标为(x，y)，其中x∈A，y∈A，记点P落在第一象限为事件M，则P(M)＝( C )
A．
B．
C．
D．
[解析] 事件M的样本空间Ω＝{(－1，－1)，(－1,0)，(－1,1)，(0，－1)，(0,0)，(0,1)，(1，－1)，(1,0)，(1,1)}，共9个样本点，其中在第一象限的有1个，因此P(M)＝．
4．小明一家想从北京、济南、上海、广州四个城市中任选三个城市作为2020年暑假期间的旅游目的地，则济南被选入的概率是____．
[解析] 事件“济南被选入”的对立事件是“济南没有被选入”．某城市没有入选的可能的结果有四个，故“济南没有被选入”的概率为，所以其对立事件“济南被选入”的概率为P＝1－＝．
5．6月1日是儿童节，光明幼儿园的小朋友用红、黄、蓝三种颜色的小凳子布置联欢会的会场，每排三个小凳子，并且任何两排不能完全相同．求：
(1)假设所需的小凳子足够多，那么根据要求一共能布置多少排小凳子？
(2)每排的小凳子颜色都相同的概率．
[解析] (1)所有可能的样本点共有27个，如下表所示：
所以一共能布置27排小凳子．
(2)设“每排的小凳子颜色都相同”为事件A，由上表可知，事件A的样本点有1×3＝3(个)，故P(A)＝＝．第五章 5.3 5.3.3
A级 基础巩固
一、选择题
1．从甲、乙等5名学生中随机选出2人，则甲被选中的概率为( )
A．
B．
C．
D．
2．从1、2、3、4中任取2个不同的数，则取出的2个数之差的绝对值为2的概率是( )
A．
B．
C．
D．
3．有五条线段，长度分别为1,3,5,7,9.从这五条线段中任取三条，则所取三条线段不能构成一个三角形的概率为( )
A．
B．
C．
D．
4．在第1、3、4、5、8路公共汽车都要停靠的一个站(假定这个站只能停靠一辆汽车)，有一位乘客等候第4路或第8路汽车．假定当时各路汽车首先到站的可能性相等，则首先到站正好是这位乘客所需乘的汽车的概率等于( )
A．
B．
C．
D．
5．某学校食堂推出两款优惠套餐，甲、乙、丙三位同学各从中任选一款，则三人恰好选择同一款套餐的概率为( )
A．
B．
C．
D．
二、填空题
6．盒子里共有大小相同的3只白球、1只黑球，若从中随机摸出两只球，则它们的颜色不同的概率是____．
[解析] 记3只白球分别为A、B、C,1只黑球为m，若从中随机摸出两只球有AB、AC、Am、BC、Bm、Cm有6种结果，其中颜色不同的结果为Am、Bm、Cm有3种结果，故所求概率为＝．
7．4张卡片上分别写有数字1、2、3、4，从这4张卡片中随机抽取2张，则取出的2张卡片上的数字之和为奇数的概率为___．
8．从集合A＝{2,3}中随机取一个元素m，从集合B＝{1,2,3}中随机取一个元素n，得到点P(m，n)，则点P在圆x2＋y2＝9内部的概率为___．
三、解答题
9．下列概率模型是古典概型吗？为什么？
(1)从区间[1,10]内任意取出一个实数，求取到实数2的概率；
(2)向上抛掷一枚不均匀的旧硬币，求正面朝上的概率；
(3)从1,2,3，…，100这100个整数中任意取出一个整数，求取到偶数的概率．
10．A、B两个箱子分别装有标号为0,1,2的三种卡片，每种卡片的张数如表所示．
标号张数箱
0
1
2
A
2
1
3
B
2
1
2
(1)从A，B箱中各取1张卡片，用x表示取出的2张卡片的数字之积，求x＝2的概率；
(2)从A，B箱中各取1张卡片，用y表示取出的2张卡片的数字之和，求x＝0且y＝2的概率．
B级 素养提升
一、选择题
1．已知5件产品中有2件次品，其余为合格品．现从这5件产品中任取2件，恰有1件次品的概率为( )
A．0.4
B．0.6
C．0.8
D．1
2．有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为( )
A．
B．
C．
D．
3．有一对酷爱运动的年轻夫妇给他们12个月大的婴儿拼排3块分别写有“20”，“12”和“伦敦”的字块，如果婴儿能够排成“20 12 伦敦”或者“伦敦 20 12”，则他们就给婴儿奖励．假设婴儿能将字块挨着正排，那么这个婴儿能得到奖励的概率是( )
A．
B．
C．
D．
4．已知a∈{－2,0,1,2,3}，b∈{3,5}，则函数f(x)＝(a2－2)·ex＋b为减函数的概率是( )
A．
B．
C．
D．
二、填空题
5．连续掷3枚硬币，观察落地后这3枚硬币出现正面还是反面．“恰好3枚正面都朝上”的概率是___；“至少有2枚反面朝上”的概率是__．
6．在平面直角坐标系中，从五个点A(0,0)、B(2,0)、C(1,1)、D(0,2)、E(2,2)中任取三个，这三点能构成三角形的概率是___．
三、解答题
7．一个盒子里装有三张卡片，分别标记有数字1、2、3，这三张卡片除标记的数字外完全相同．随机有放回地抽取3次，每次抽取1张，将抽取的卡片上的数字依次记为a、b、C．
(1)求“抽取的卡片上的数字满足a＋b＝c”的概率；
(2)求“抽取的卡片上的数字a、b、c不完全相同”的概率．
8．袋中有五张卡片，其中红色卡片三张，标号分别为1,2,3；蓝色卡片两张，标号分别为1,2；现从袋中任取两张卡片．
(1)若把所取卡片的所有不同情况作为基本事件，则共有多少个基本事件？是古典概型吗？
(2)若把所取出卡片的标号之和作为基本事件，则共有多少个基本事件？是古典概型吗？
(3)求所取卡片标号之和小于4的概率．
第五章 5.3 5.3.3
A级 基础巩固
一、选择题
1．从甲、乙等5名学生中随机选出2人，则甲被选中的概率为( B )
A．
B．
C．
D．
[解析] 设5名学生分别为甲、乙、丙、丁、戊，从甲、乙、丙、丁、戊5人中选2人，有(甲，乙)，(甲，丙)，(甲，丁)，(甲，戊)，(乙，丙)，(乙，丁)，(乙，戊)，(丙，丁)，(丙，戊)，(丁，戊)，共10种情况，其中甲被选中的情况有(甲，乙)，(甲，丙)，(甲，丁)，(甲，戊)，共4种，所以甲被选中的概率为＝．
2．从1、2、3、4中任取2个不同的数，则取出的2个数之差的绝对值为2的概率是( B )
A．
B．
C．
D．
[解析] 从1、2、3、4中任取2个不同的数有以下六种情况：{1,2}、{1,3}、{1,4}、{2,3}、{2,4}、{3,4}，满足取出的2个数之差的绝对值为2的有{1,3}、{2,4}，故所求概率是＝．
3．有五条线段，长度分别为1,3,5,7,9.从这五条线段中任取三条，则所取三条线段不能构成一个三角形的概率为( B )
A．
B．
C．
D．
[解析] 从这五条线段中任取三条，所有基本事件为(1,3,5)，(1,3,7)，(1,3,9)，(1,5,7)，(1,5,9)，(1,7,9)，(3,5,7)，(3,5,9)，(3,7,9)，(5,7,9)共10个，其中不能构成三角形的有(1,3,5)，(1,3,7)，(1,3,9)，(1,5,7)，(1,5,9)，(1,7,9)，(3,5,9)，共7个，所以所取三条线段不能构成一个三角形的概率为．
4．在第1、3、4、5、8路公共汽车都要停靠的一个站(假定这个站只能停靠一辆汽车)，有一位乘客等候第4路或第8路汽车．假定当时各路汽车首先到站的可能性相等，则首先到站正好是这位乘客所需乘的汽车的概率等于( D )
A．
B．
C．
D．
[解析] 由题知，在该问题中基本事件总数为5，一位乘客等车这事件包含2个基本事件，故所求概率为P＝．
5．某学校食堂推出两款优惠套餐，甲、乙、丙三位同学各从中任选一款，则三人恰好选择同一款套餐的概率为( C )
A．
B．
C．
D．
[解析] 设两款优惠套餐分别为A，B，甲、乙、丙三位同学各从中任选一款套餐，列举基本事件如图所示．
可得三人恰好选择同一款套餐的概率为＝．
二、填空题
6．盒子里共有大小相同的3只白球、1只黑球，若从中随机摸出两只球，则它们的颜色不同的概率是____．
[解析] 记3只白球分别为A、B、C,1只黑球为m，若从中随机摸出两只球有AB、AC、Am、BC、Bm、Cm有6种结果，其中颜色不同的结果为Am、Bm、Cm有3种结果，故所求概率为＝．
7．4张卡片上分别写有数字1、2、3、4，从这4张卡片中随机抽取2张，则取出的2张卡片上的数字之和为奇数的概率为____．
[解析] 由题意知，基本事件空间Ω＝{(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,4)，(3,4)}，记“取出的2张卡片上的数字之和为奇数”为事件A，∴A＝{(1,2)，(1,4)，(2,3)，(3,4)}，∴P(A)＝＝．
8．从集合A＝{2,3}中随机取一个元素m，从集合B＝{1,2,3}中随机取一个元素n，得到点P(m，n)，则点P在圆x2＋y2＝9内部的概率为____．
[解析] 点P(m，n)的所有结果有(2,1)，(2,2)，(2,3)，(3,1)，(3,2)，(3,3)共6种情况，每种结果等可能出现，属于古典概型，记“点P在圆x2＋y2＝9内部”为事件A即m2＋n2＜9，则A包含的结果有(2,1)，(2,2)共2种
∴P(A)＝＝．
三、解答题
9．下列概率模型是古典概型吗？为什么？
(1)从区间[1,10]内任意取出一个实数，求取到实数2的概率；
(2)向上抛掷一枚不均匀的旧硬币，求正面朝上的概率；
(3)从1,2,3，…，100这100个整数中任意取出一个整数，求取到偶数的概率．
[解析] (1)不是古典概型，因为区间[1,10]中有无限多个实数，任意取出一个实数有无限多种结果，与古典概型定义中“所有可能结果只有有限个”矛盾．
(2)不是古典概型，因为硬币不均匀导致“正面向上”与“反面向上”的概率不相等，与古典概型定义中“每一个试验结果出现的可能性相同”矛盾．
(3)是古典概型，因为在试验中所有可能出现的结果是有限的，而且每个整数被抽到的可能性相等．
10．A、B两个箱子分别装有标号为0,1,2的三种卡片，每种卡片的张数如表所示．
标号张数箱
0
1
2
A
2
1
3
B
2
1
2
(1)从A，B箱中各取1张卡片，用x表示取出的2张卡片的数字之积，求x＝2的概率；
(2)从A，B箱中各取1张卡片，用y表示取出的2张卡片的数字之和，求x＝0且y＝2的概率．
[解析] 记A箱中标号为0的2张为A01，A02，标号为1的1张为A11，标号为2的3张为A21，A22，A23；B箱中标号为0的2张为B01，B02，标号为1的1张为B11，标号为2的2张为B21，B22．
则从A，B箱中各取一张卡片所有样本空间Ω＝{A01B01，A01B02，A01B11，A01B21，A01B22，A02B01，A02B02，A02B11，A02，B21，A02B22，A11B01，A11B02，A11B11，A11B21，A11B22，A21B01，A21B02，A21B11，A21B21，A21B22，A22B01，A22B02，A22B11，A22B21，A22B22，A23B01，A23B02，A23B11，A23B21，A23B22}共30个基本事件．
(1)记事件C为“从A，B箱中各取1张卡片，2张卡片的数字之积等于2”则C包含5个基本事件，即A11B21，A11B22，A21B11，A22B11，A23B11，由古典概型的概率公式得P(C)＝＝．
(2)记事件D为“从A，B箱中各取1张卡片，其数字之和为2且积为0”，则包含A01B21，A01B22，A21B01，A21B02，A22B01，A22B02，A23B01，A23B02，A02B21，A02B22共10个基本事件，则P(D)＝＝．
B级 素养提升
一、选择题
1．已知5件产品中有2件次品，其余为合格品．现从这5件产品中任取2件，恰有1件次品的概率为( B )
A．0.4
B．0.6
C．0.8
D．1
[解析] 5件产品中有2件次品，记为a，b，有3件合格品，记为c，d，e，从这5件产品中任取2件，有10种，分别是(a，b)，(a，c)，(a，d)，(a，e)，(b，c)，(b，d)，(b，e)，(c，d)，(c，e)，(d，e)，恰有一件次品，有6种，分别是(a，c)，(a，d)，(a，e)，(b，c)，(b，d)，(b，e)，设事件A＝“恰有一件次品”，则P(A)＝＝0.6，故选B．
2．有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为( A )
A．
B．
C．
D．
[解析] 记3个兴趣小组分别为1,2,3，甲参加1组记为“甲1”，则基本事件为“甲1，乙1；甲1，乙2；甲1，乙3；甲2，乙1；甲2，乙2；甲2，乙3；甲3，乙1；甲3，乙2；甲3，乙3”，共9个．记事件A为“甲、乙两位同学参加同一个兴趣小组”，其中事件A有“甲1，乙1；甲2，乙2；甲3，乙3”，共3个．因此P(A)＝＝．
3．有一对酷爱运动的年轻夫妇给他们12个月大的婴儿拼排3块分别写有“20”，“12”和“伦敦”的字块，如果婴儿能够排成“20 12 伦敦”或者“伦敦 20 12”，则他们就给婴儿奖励．假设婴儿能将字块挨着正排，那么这个婴儿能得到奖励的概率是( B )
A．
B．
C．
D．
[解析] 3块字块的排法为“20 12 伦敦”，“20 伦敦 12”，“12 20 伦敦”，“12 伦敦 20”，“伦敦 20 12”，“伦敦 12 20”，共6种，婴儿能得到奖励的情况有2种，故所求概率P＝＝．
4．已知a∈{－2,0,1,2,3}，b∈{3,5}，则函数f(x)＝(a2－2)·ex＋b为减函数的概率是( C )
A．
B．
C．
D．
[解析] 由题意知a，b的组合共有10种，函数f(x)＝(a2－2)·ex＋b为减函数，则a2－2＜0，又a∈{－2,0,1,2,3}，故只有a＝0，a＝1满足题意，又b∈{3,5}，所以当a＝0时，b可取3,5；当a＝1时，b可取3,5，满足题意的组合有4种，所以函数f(x)＝(a2－2)ex＋b为减函数的概率是＝.故选C．
二、填空题
5．连续掷3枚硬币，观察落地后这3枚硬币出现正面还是反面．“恰好3枚正面都朝上”的概率是____；“至少有2枚反面朝上”的概率是____．
[解析] 基本事件有(正，正，正)，(正，正，反)，(正，反，正)，(正，反，反)，(反，正，正)，(反，正，反)，(反，反，正)，(反，反，反)，共8个，“恰好3枚正面都朝上”包含1个基本事件，其概率P1＝，“至少有2枚反面朝上”包含4个基本事件，其概率P2＝＝．
6．在平面直角坐标系中，从五个点A(0,0)、B(2,0)、C(1,1)、D(0,2)、E(2,2)中任取三个，这三点能构成三角形的概率是____．
[解析] 如下图所示，
则从这五点中任取三点的全部结果为：ABC、ABD、ABE、ACD、ACE、ADE、BCD、BCE、BDE、CDE，共10个．
而事件M“任取三点构不成三角形”只有ACE、BCD
2个，故构成三角形的概率P()＝1－P(M)＝1－＝．
三、解答题
7．一个盒子里装有三张卡片，分别标记有数字1、2、3，这三张卡片除标记的数字外完全相同．随机有放回地抽取3次，每次抽取1张，将抽取的卡片上的数字依次记为a、b、C．
(1)求“抽取的卡片上的数字满足a＋b＝c”的概率；
(2)求“抽取的卡片上的数字a、b、c不完全相同”的概率．
[解析] (1)由题意，(a，b，c)所有的可能为
(1,1,1)、(1,1,2)、(1,1,3)、(1,2,1)、(1,2,2)、(1,2,3)、(1,3,1)、(1,3,2)、(1,3,3)、(2,1,1)、(2,1,2)、(2,1,3)、(2,2,1)、(2,2,2)、(2,2,3)、(2,3,1)、(2,3,2)、(2,3,3)、(3,1,1)、(3,1,2)、(3,1,3)、(3,2,1)、(3,2,2)、(3,2,3)、(3,3,1)、(3,3,2)、(3,3,3)，共27种．
设“抽取的卡片上的数字满足a＋b＝c”为事件A，
则事件A包括(1,1,2)、(1,2,3)、(2,1,3)，共3种．
所以P(A)＝＝．
因此，“抽取的卡片上的数字满足a＋b＝c”的概率为．
(2)设“抽取的卡片上的数字a，b，c不完全相同”为事件B，
则事件包括(1,1,1)、(2,2,2)、(3,3,3)，共3种．
所以P(B)＝1－P()＝1－＝．
因此，“抽取的卡片上的数字a，b，c不完全相同”的概率为．
8．袋中有五张卡片，其中红色卡片三张，标号分别为1,2,3；蓝色卡片两张，标号分别为1,2；现从袋中任取两张卡片．
(1)若把所取卡片的所有不同情况作为基本事件，则共有多少个基本事件？是古典概型吗？
(2)若把所取出卡片的标号之和作为基本事件，则共有多少个基本事件？是古典概型吗？
(3)求所取卡片标号之和小于4的概率．
[解析] (1)样本空间为Ω＝{(红1，红2)，(红1，红3)，(红1，蓝1)，(红1，蓝2)，(红2，红3)，(红2，蓝1)，(红2，蓝2)，(红3，蓝1)，(红3，蓝2)，(蓝1，蓝2)}共10种，由于基本事件个数有限，且每个基本事件发生的可能性相等，所以是古典概型．
(2)由(1)知，基本事件为2,3,4,5共4种，且他们出现的频数依次为1,4,3,2；故每个基本事件发生的可能性不同，不是古典概型．
(3)设A＝{所取两张卡片标号之和小于4}，由(1)知，A事件包含(红1，红2)，(红1，蓝1)，(红1，蓝2)，(红2，蓝1)，(蓝1，蓝2)共5种，由古典概型概率公式得：P(A)＝＝．
