综合测试2-【新教材】人教B版（2019）高中数学必修第二册练习（Word含答案解析）
文档属性
| 名称 | 综合测试2-【新教材】人教B版（2019）高中数学必修第二册练习（Word含答案解析） |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 339.7KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教B版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2021-08-29 15:49:27 | ||
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文档简介
第六章综合测试
(时间：120分钟 满分150分)
一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．已知向量a＝(1，m)，b＝(m,2)，若a∥b，则实数m等于( )
A．－
B．
C．－或
D．0
2．如图在梯形ABCD中，AD∥BC，＝a，＝b，＝c，＝d，且E，F分别为AB，CD的中点，则( )
A．＝(a＋b＋c＋d)
B．＝(a－b＋c－d)
C．＝(c＋d－a－b)
D．＝(a＋b－c－d)
3．已知M，P，Q三点不共线，且点O满足8－3－4＝0，则下列结论正确的是( )
A．＝－－
B．＝－3－
C．＝－－4
D．＝3＋4
4．在△ABC中，点P在BC上，且＝2，点Q是AC的中点，若＝(4,3)，＝(1,5)，则等于( )
A．(－2,7)
B．(－6,21)
C．(2，－7)
D．(6，－21)
5．设D，E，F分别是△ABC的三边BC，CA，AB上的点，且＝2，＝2，＝2，则＋＋与( )
A．反向平行
B．同向平行
C．互相垂直
D．既不平行也不垂直
6．已知△ABC的三个顶点A，B，C及平面内一点P满足＋＝，下列结论中正确的是( )
A．P在△ABC的内部
B．P在△ABC的边AB上
C．P在AB边所在直线上
D．P在△ABC的外部
7．已知a，b是不共线的向量，＝λa＋b，＝a＋μb，λ，μ∈R，若A，B，C三点共线，则( )
A．λ＋μ＝2
B．λ－μ＝1
C．λμ＝－1
D．λμ＝1
8．设M是△ABC所在平面上一点，且＋＋＝0，D是AC的中点，则的值为( )
A．
B．
C．1
D．2
二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的．全部选对的得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分)
9．下列命题不正确的是( )
A．单位向量都相等
B．若a与b是共线向量，b与c是共线向量，则a与c是共线向量
C．|a＋b|＝|a－b|，则a⊥b
D．若a与b是单位向量，则|a|＝|b|
10．下列命题中正确的是( )
A．－＝
B．＋＝0
C．0·＝0
D．＋＋＝
11．若e是直线l上的一个单位向量，这条直线上的向量a＝－e，b＝e，则下列说法正确的是( )
A．a＝－b
B．b＝－a
C．a＋b的坐标为0
D．|a||b|＝1
12．如果e1，e2是平面α内两个不共线的向量，那么下列说法中不正确的是( )
A．λe1＋μe2(λ，μ∈R)可以表示平面α内的所有向量
B．对于平面α内任一向量a，使a＝λe1＋μe2的实数对(λ，μ)有无穷多个
C．若向量λ1e1＋μ1e2与λ2e1＋μ2e2共线，则有且只有一个实数λ，使得λ1e1＋μ1e2＝λ(λ2e1＋μ2e2)
D．若实数λ，μ使得λe1＋μe2＝0，则λ＝μ＝0
三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中的横线上)
13．若＝(2,8)，＝(－7,2)，则＝____．
14．已知向量a＝(2，－1)，b＝(－1，m)，c＝(－1,2)，若(a＋b)∥c，则m＝____．
15．已知正方形ABCD的边长为1，＝a，＝b，＝c，则a＋b＋c的模等于____．
16．如图所示，已知△OAB，由射线OA和射线OB及线段AB构成如图所示的阴影区(不含边界)．
(1)若D为AB中点，＝____(用，表示)；
(2)已知下列四个向量：
①＝＋2；
②＝＋；
③＝＋；
④＝＋．
对于点M1，M2，M3，M4，落在阴影区域内(不含边界)的点有____(把所有符合条件点都填上)．
四、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)已知点O(0,0)，A(1,2)，B(4,5)及＝＋t，t为何值时，点P在x轴上？点P在y轴上？点P在第二象限？
18．(本小题满分12分)在平行四边形ABCD中，＝a，＝B．
(1)如图①，如果E，F分别是BC，DC的中点，试用a，b分别表示，；
(2)如图②，如果O是AC与BD的交点，G是DO的中点，试用a，b表示．
19．(本小题满分12分)设＝(2，－1)，＝(3,0)，＝(m,3)．
(1)当m＝8时，将用和表示．
(2)若A，B，C三点能构成三角形，求实数m应满足的条件．
20．(本小题满分12分)已知e1，e2是平面内两个不共线的非零向量，＝2e1＋e2，＝－e1＋λe2，＝－2e1＋e2，且A，E，C三点共线．
(1)求实数λ的值；
(2)若e1＝(2,1)，e2＝(2，－2)，求的坐标；
(3)已知点D(3,5)，在(2)的条件下，若A，B，C，D四点按逆时针顺序构成平行四边形，求点A的坐标．
21．(本小题满分12分)用向量法证明：三角形的三条中线交于一点．
22．(本小题满分12分)在△ABC中，＝＋．
(1)求△ABM与△ABC的面积之比；
(2)若N为AB中点，与交于点P，且＝x＋y(x，y∈R)，求x＋y的值．
第六章综合测试
(时间：120分钟 满分150分)
一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．已知向量a＝(1，m)，b＝(m,2)，若a∥b，则实数m等于( C )
A．－
B．
C．－或
D．0
[解析] 由a∥b知1×2＝m2，解得m＝或m＝－．
2．如图在梯形ABCD中，AD∥BC，＝a，＝b，＝c，＝d，且E，F分别为AB，CD的中点，则( C )
A．＝(a＋b＋c＋d)
B．＝(a－b＋c－d)
C．＝(c＋d－a－b)
D．＝(a＋b－c－d)
[解析] 连接OE，OF.因为＝－＝(＋)－(＋)＝(c＋d)－(a＋b)，所以＝(c＋d－a－b)．
3．已知M，P，Q三点不共线，且点O满足8－3－4＝0，则下列结论正确的是( D )
A．＝－－
B．＝－3－
C．＝－－4
D．＝3＋4
[解析] 由8－3－4＝0，得＋3(－)＋4(－)＝0，则＋3＋4＝0，即＝3＋4.故选D．
4．在△ABC中，点P在BC上，且＝2，点Q是AC的中点，若＝(4,3)，＝(1,5)，则等于( B )
A．(－2,7)
B．(－6,21)
C．(2，－7)
D．(6，－21)
[解析] ＝2＝2(－)＝2(－3,2)＝(－6,4)，
＝3＝3(＋)＝3(－2,7)＝(－6,21)．
5．设D，E，F分别是△ABC的三边BC，CA，AB上的点，且＝2，＝2，＝2，则＋＋与( A )
A．反向平行
B．同向平行
C．互相垂直
D．既不平行也不垂直
[解析] ＋＋＝＋＋＋＋－＝＋＋－－－
＝(－)＋＝＋＝－．
6．已知△ABC的三个顶点A，B，C及平面内一点P满足＋＝，下列结论中正确的是( D )
A．P在△ABC的内部
B．P在△ABC的边AB上
C．P在AB边所在直线上
D．P在△ABC的外部
[解析] 由＋＝可得＝－＝，∴四边形PBCA为平行四边形．
可知点P在△ABC的外部．故选D．
7．已知a，b是不共线的向量，＝λa＋b，＝a＋μb，λ，μ∈R，若A，B，C三点共线，则( D )
A．λ＋μ＝2
B．λ－μ＝1
C．λμ＝－1
D．λμ＝1
[解析] ∵A，B，C三点共线，∴∥，∴存在m∈R，使得＝m，∴，∴λμ＝1，故选D．
8．设M是△ABC所在平面上一点，且＋＋＝0，D是AC的中点，则的值为( A )
A．
B．
C．1
D．2
[解析] 因为D为AC的中点，所以＝－(＋)＝－×2＝－3，故＝，故选A．
二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的．全部选对的得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分)
9．下列命题不正确的是( AB )
A．单位向量都相等
B．若a与b是共线向量，b与c是共线向量，则a与c是共线向量
C．|a＋b|＝|a－b|，则a⊥b
D．若a与b是单位向量，则|a|＝|b|
[解析] 单位向量仅仅长度相等而已，方向也许不同；当b＝0时，a与c可以为任意向量；|a＋b|＝|a－b|，即对角线相等，此时为矩形，邻边垂直．
10．下列命题中正确的是( ABD )
A．－＝
B．＋＝0
C．0·＝0
D．＋＋＝
[解析] 起点相同的向量相减，则取终点，并指向被减向量，－＝；，是一对相反向量，它们的和应该为零向量，＋＝0；0·＝0；＋＋＝，故选ABD．
11．若e是直线l上的一个单位向量，这条直线上的向量a＝－e，b＝e，则下列说法正确的是( BD )
A．a＝－b
B．b＝－a
C．a＋b的坐标为0
D．|a||b|＝1
[解析] 因为a＝－e，b＝e，所以|a|＝，|b|＝，|a||b|＝1，b＝－×(－e)＝－a，a＋b＝(－＋)e＝－e.a＋b的坐标为－．
12．如果e1，e2是平面α内两个不共线的向量，那么下列说法中不正确的是( BC )
A．λe1＋μe2(λ，μ∈R)可以表示平面α内的所有向量
B．对于平面α内任一向量a，使a＝λe1＋μe2的实数对(λ，μ)有无穷多个
C．若向量λ1e1＋μ1e2与λ2e1＋μ2e2共线，则有且只有一个实数λ，使得λ1e1＋μ1e2＝λ(λ2e1＋μ2e2)
D．若实数λ，μ使得λe1＋μe2＝0，则λ＝μ＝0
[解析] 由平面向量基本定理可知，A，D是正确的．对于B，由平面向量基本定理可知，若一个平面的基底确定，那么该平面内的任意一个向量在此基底下的实数对是唯一的．对于C，当两个向量均为零向量时，即λ1＝λ2＝μ1＝μ2＝0时，这样的λ有无数个，或当λ1e1＋μ1e2为非零向量，而λ2e1＋μ2e2为零向量(λ2＝μ2＝0)，此时λ不存在．
三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中的横线上)
13．若＝(2,8)，＝(－7,2)，则＝__(－3，－2)__．
[解析] ＝－＝(－9，－6)，所以＝(－3，－2)．
14．已知向量a＝(2，－1)，b＝(－1，m)，c＝(－1,2)，若(a＋b)∥c，则m＝__－1__．
[解析] ∵a＝(2，－1)，b＝(－1，m)，
∴a＋b＝(1，m－1)，
∵(a＋b)∥c，c＝(－1,2)，
∴2－(－1)·(m－1)＝0.∴m＝－1．
15．已知正方形ABCD的边长为1，＝a，＝b，＝c，则a＋b＋c的模等于__2__．
[解析] |a＋b＋c|＝|＋＋|
＝|2|＝2||＝2．
16．如图所示，已知△OAB，由射线OA和射线OB及线段AB构成如图所示的阴影区(不含边界)．
(1)若D为AB中点，＝__(＋)__(用，表示)；
(2)已知下列四个向量：
①＝＋2；
②＝＋；
③＝＋；
④＝＋．
对于点M1，M2，M3，M4，落在阴影区域内(不含边界)的点有__M1，M2__(把所有符合条件点都填上)．
[解析] (1)若D为AB中点，则由向量的加法法则可得＝(＋)．
(2)设M在阴影区域内，则射线OM与线段AB有公共点，记为N，
则存在实数t∈(0,1]，使得＝t＋(1－t)，且存在实数r≥1，使得＝r，从而＝rt＋r(1－t)，且rt＋r(1－t)＝r≥1.又由于0＜t≤1，故r(1－t)≥0.对于①中rt＝1，r(1－t)＝2，解得r＝3，t＝，满足r≥1也满足r(1－t)≥0，故①满足条件．
对于②中rt＝，r(1－t)＝，解得r＝，t＝，满足r≥1也满足r(1－t)≥0.故①满足条件．
对于③中rt＝，r(1－t)＝，解得r＝，t＝，不满足r≥1，故③不满足条件．
对于④中rt＝，r(1－t)＝，
解得r＝，t＝，不满足r≥1，故④不满足条件．
四、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)已知点O(0,0)，A(1,2)，B(4,5)及＝＋t，t为何值时，点P在x轴上？点P在y轴上？点P在第二象限？
[解析] 因为＝＋t＝(1,2)＋t(3,3)＝(1＋3t,2＋3t)，
若点P在x轴上，则2＋3t＝0，
所以t＝－．
若点P在y轴上，则1＋3t＝0，
所以t＝－．
若点P在第二象限，则
所以－＜t＜－．
18．(本小题满分12分)在平行四边形ABCD中，＝a，＝B．
(1)如图①，如果E，F分别是BC，DC的中点，试用a，b分别表示，；
(2)如图②，如果O是AC与BD的交点，G是DO的中点，试用a，b表示．
[解析] (1)＝＋＝＋＝－＝－a＋B．＝＋＝－＝a－B．
(2)＝－＝b－A．
因为O是BD的中点，G是DO的中点，
所以＝＝(b－a)，
所以＝＋＝a＋(b－a)＝a＋B．
19．(本小题满分12分)设＝(2，－1)，＝(3,0)，＝(m,3)．
(1)当m＝8时，将用和表示．
(2)若A，B，C三点能构成三角形，求实数m应满足的条件．
[解析] (1)m＝8时，＝(8,3)，设＝λ1＋λ2，
所以(8,3)＝λ1(2，－1)＋λ2(3,0)＝(2λ1＋3λ2，－λ1)，
所以解得
所以＝－3＋．
(2)若A，B，C三点能构成三角形，则有与不共线，又＝－＝(3,0)－(2，－1)＝(1,1)，
＝－＝(m,3)－(2，－1)＝(m－2,4)，
则有1×4－(m－2)×1≠0，所以m≠6．
20．(本小题满分12分)已知e1，e2是平面内两个不共线的非零向量，＝2e1＋e2，＝－e1＋λe2，＝－2e1＋e2，且A，E，C三点共线．
(1)求实数λ的值；
(2)若e1＝(2,1)，e2＝(2，－2)，求的坐标；
(3)已知点D(3,5)，在(2)的条件下，若A，B，C，D四点按逆时针顺序构成平行四边形，求点A的坐标．
[解析] (1)＝＋＝(2e1＋e2)＋(－e1＋λe2)＝e1＋(1＋λ)e2．
因为A，E，C三点共线，所以存在实数k，使得＝k，
即e1＋(1＋λ)e2＝k(－2e1＋e2)，
得(1＋2k)e1＝(k－1－λ)e2．
因为e1，e2是平面内两个不共线的非零向量，
所以
解得k＝－，λ＝－．
(2)＝＋＝－3e1－e2＝(－6，－3)＋(－1,1)＝(－7，－2)．
(3)因为A，B，C，D四点按逆时针顺序构成平行四边形，所以＝．
设A(x，y)，则＝(3－x,5－y)，
因为＝(－7，－2)，所以解得
即点A的坐标为(10,7)．
21．(本小题满分12分)用向量法证明：三角形的三条中线交于一点．
[解析] 如图，D，E，F分别是△ABC三边上的中点，
设＝a，＝b，AD∩BE＝G.设＝λ，＝μ．
则＝＋＝(b－a)＋μ＝(b－a)＋μ(＋)＝b－a＋μ(a－b)＝(μ－2)a＋(1－μ)b，
又＝λ＝λ(＋)＝λ(－a＋b)＝－λa＋λb，
所以解得
则＝＋＝a＋＝a＋(－a＋b)
＝a＋b，
＝a＋b，所以＝，所以G在中线CF上，所以三角形三条中线交于一点．
22．(本小题满分12分)在△ABC中，＝＋．
(1)求△ABM与△ABC的面积之比；
(2)若N为AB中点，与交于点P，且＝x＋y(x，y∈R)，求x＋y的值．
[解析] (1)在△ABC中，＝＋，
4＝3＋，3(－)＝－，
即3＝，即点M是线段BC靠近B点的四等分点．
故△ABM与△ABC的面积之比为．
(2)因为＝＋，∥，
＝x＋y(x，y∈R)，所以x＝3y，
因为N为AB的中点，
所以＝－＝x＋y－＝(x－)＋y，
＝－＝x＋y－
＝x＋(y－1)，
因为∥，所以(x－)(y－1)＝xy，
即2x＋y＝1，又x＝3y，
所以x＝，y＝，所以x＋y＝．
(时间：120分钟 满分150分)
一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．已知向量a＝(1，m)，b＝(m,2)，若a∥b，则实数m等于( )
A．－
B．
C．－或
D．0
2．如图在梯形ABCD中，AD∥BC，＝a，＝b，＝c，＝d，且E，F分别为AB，CD的中点，则( )
A．＝(a＋b＋c＋d)
B．＝(a－b＋c－d)
C．＝(c＋d－a－b)
D．＝(a＋b－c－d)
3．已知M，P，Q三点不共线，且点O满足8－3－4＝0，则下列结论正确的是( )
A．＝－－
B．＝－3－
C．＝－－4
D．＝3＋4
4．在△ABC中，点P在BC上，且＝2，点Q是AC的中点，若＝(4,3)，＝(1,5)，则等于( )
A．(－2,7)
B．(－6,21)
C．(2，－7)
D．(6，－21)
5．设D，E，F分别是△ABC的三边BC，CA，AB上的点，且＝2，＝2，＝2，则＋＋与( )
A．反向平行
B．同向平行
C．互相垂直
D．既不平行也不垂直
6．已知△ABC的三个顶点A，B，C及平面内一点P满足＋＝，下列结论中正确的是( )
A．P在△ABC的内部
B．P在△ABC的边AB上
C．P在AB边所在直线上
D．P在△ABC的外部
7．已知a，b是不共线的向量，＝λa＋b，＝a＋μb，λ，μ∈R，若A，B，C三点共线，则( )
A．λ＋μ＝2
B．λ－μ＝1
C．λμ＝－1
D．λμ＝1
8．设M是△ABC所在平面上一点，且＋＋＝0，D是AC的中点，则的值为( )
A．
B．
C．1
D．2
二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的．全部选对的得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分)
9．下列命题不正确的是( )
A．单位向量都相等
B．若a与b是共线向量，b与c是共线向量，则a与c是共线向量
C．|a＋b|＝|a－b|，则a⊥b
D．若a与b是单位向量，则|a|＝|b|
10．下列命题中正确的是( )
A．－＝
B．＋＝0
C．0·＝0
D．＋＋＝
11．若e是直线l上的一个单位向量，这条直线上的向量a＝－e，b＝e，则下列说法正确的是( )
A．a＝－b
B．b＝－a
C．a＋b的坐标为0
D．|a||b|＝1
12．如果e1，e2是平面α内两个不共线的向量，那么下列说法中不正确的是( )
A．λe1＋μe2(λ，μ∈R)可以表示平面α内的所有向量
B．对于平面α内任一向量a，使a＝λe1＋μe2的实数对(λ，μ)有无穷多个
C．若向量λ1e1＋μ1e2与λ2e1＋μ2e2共线，则有且只有一个实数λ，使得λ1e1＋μ1e2＝λ(λ2e1＋μ2e2)
D．若实数λ，μ使得λe1＋μe2＝0，则λ＝μ＝0
三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中的横线上)
13．若＝(2,8)，＝(－7,2)，则＝____．
14．已知向量a＝(2，－1)，b＝(－1，m)，c＝(－1,2)，若(a＋b)∥c，则m＝____．
15．已知正方形ABCD的边长为1，＝a，＝b，＝c，则a＋b＋c的模等于____．
16．如图所示，已知△OAB，由射线OA和射线OB及线段AB构成如图所示的阴影区(不含边界)．
(1)若D为AB中点，＝____(用，表示)；
(2)已知下列四个向量：
①＝＋2；
②＝＋；
③＝＋；
④＝＋．
对于点M1，M2，M3，M4，落在阴影区域内(不含边界)的点有____(把所有符合条件点都填上)．
四、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)已知点O(0,0)，A(1,2)，B(4,5)及＝＋t，t为何值时，点P在x轴上？点P在y轴上？点P在第二象限？
18．(本小题满分12分)在平行四边形ABCD中，＝a，＝B．
(1)如图①，如果E，F分别是BC，DC的中点，试用a，b分别表示，；
(2)如图②，如果O是AC与BD的交点，G是DO的中点，试用a，b表示．
19．(本小题满分12分)设＝(2，－1)，＝(3,0)，＝(m,3)．
(1)当m＝8时，将用和表示．
(2)若A，B，C三点能构成三角形，求实数m应满足的条件．
20．(本小题满分12分)已知e1，e2是平面内两个不共线的非零向量，＝2e1＋e2，＝－e1＋λe2，＝－2e1＋e2，且A，E，C三点共线．
(1)求实数λ的值；
(2)若e1＝(2,1)，e2＝(2，－2)，求的坐标；
(3)已知点D(3,5)，在(2)的条件下，若A，B，C，D四点按逆时针顺序构成平行四边形，求点A的坐标．
21．(本小题满分12分)用向量法证明：三角形的三条中线交于一点．
22．(本小题满分12分)在△ABC中，＝＋．
(1)求△ABM与△ABC的面积之比；
(2)若N为AB中点，与交于点P，且＝x＋y(x，y∈R)，求x＋y的值．
第六章综合测试
(时间：120分钟 满分150分)
一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．已知向量a＝(1，m)，b＝(m,2)，若a∥b，则实数m等于( C )
A．－
B．
C．－或
D．0
[解析] 由a∥b知1×2＝m2，解得m＝或m＝－．
2．如图在梯形ABCD中，AD∥BC，＝a，＝b，＝c，＝d，且E，F分别为AB，CD的中点，则( C )
A．＝(a＋b＋c＋d)
B．＝(a－b＋c－d)
C．＝(c＋d－a－b)
D．＝(a＋b－c－d)
[解析] 连接OE，OF.因为＝－＝(＋)－(＋)＝(c＋d)－(a＋b)，所以＝(c＋d－a－b)．
3．已知M，P，Q三点不共线，且点O满足8－3－4＝0，则下列结论正确的是( D )
A．＝－－
B．＝－3－
C．＝－－4
D．＝3＋4
[解析] 由8－3－4＝0，得＋3(－)＋4(－)＝0，则＋3＋4＝0，即＝3＋4.故选D．
4．在△ABC中，点P在BC上，且＝2，点Q是AC的中点，若＝(4,3)，＝(1,5)，则等于( B )
A．(－2,7)
B．(－6,21)
C．(2，－7)
D．(6，－21)
[解析] ＝2＝2(－)＝2(－3,2)＝(－6,4)，
＝3＝3(＋)＝3(－2,7)＝(－6,21)．
5．设D，E，F分别是△ABC的三边BC，CA，AB上的点，且＝2，＝2，＝2，则＋＋与( A )
A．反向平行
B．同向平行
C．互相垂直
D．既不平行也不垂直
[解析] ＋＋＝＋＋＋＋－＝＋＋－－－
＝(－)＋＝＋＝－．
6．已知△ABC的三个顶点A，B，C及平面内一点P满足＋＝，下列结论中正确的是( D )
A．P在△ABC的内部
B．P在△ABC的边AB上
C．P在AB边所在直线上
D．P在△ABC的外部
[解析] 由＋＝可得＝－＝，∴四边形PBCA为平行四边形．
可知点P在△ABC的外部．故选D．
7．已知a，b是不共线的向量，＝λa＋b，＝a＋μb，λ，μ∈R，若A，B，C三点共线，则( D )
A．λ＋μ＝2
B．λ－μ＝1
C．λμ＝－1
D．λμ＝1
[解析] ∵A，B，C三点共线，∴∥，∴存在m∈R，使得＝m，∴，∴λμ＝1，故选D．
8．设M是△ABC所在平面上一点，且＋＋＝0，D是AC的中点，则的值为( A )
A．
B．
C．1
D．2
[解析] 因为D为AC的中点，所以＝－(＋)＝－×2＝－3，故＝，故选A．
二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的．全部选对的得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分)
9．下列命题不正确的是( AB )
A．单位向量都相等
B．若a与b是共线向量，b与c是共线向量，则a与c是共线向量
C．|a＋b|＝|a－b|，则a⊥b
D．若a与b是单位向量，则|a|＝|b|
[解析] 单位向量仅仅长度相等而已，方向也许不同；当b＝0时，a与c可以为任意向量；|a＋b|＝|a－b|，即对角线相等，此时为矩形，邻边垂直．
10．下列命题中正确的是( ABD )
A．－＝
B．＋＝0
C．0·＝0
D．＋＋＝
[解析] 起点相同的向量相减，则取终点，并指向被减向量，－＝；，是一对相反向量，它们的和应该为零向量，＋＝0；0·＝0；＋＋＝，故选ABD．
11．若e是直线l上的一个单位向量，这条直线上的向量a＝－e，b＝e，则下列说法正确的是( BD )
A．a＝－b
B．b＝－a
C．a＋b的坐标为0
D．|a||b|＝1
[解析] 因为a＝－e，b＝e，所以|a|＝，|b|＝，|a||b|＝1，b＝－×(－e)＝－a，a＋b＝(－＋)e＝－e.a＋b的坐标为－．
12．如果e1，e2是平面α内两个不共线的向量，那么下列说法中不正确的是( BC )
A．λe1＋μe2(λ，μ∈R)可以表示平面α内的所有向量
B．对于平面α内任一向量a，使a＝λe1＋μe2的实数对(λ，μ)有无穷多个
C．若向量λ1e1＋μ1e2与λ2e1＋μ2e2共线，则有且只有一个实数λ，使得λ1e1＋μ1e2＝λ(λ2e1＋μ2e2)
D．若实数λ，μ使得λe1＋μe2＝0，则λ＝μ＝0
[解析] 由平面向量基本定理可知，A，D是正确的．对于B，由平面向量基本定理可知，若一个平面的基底确定，那么该平面内的任意一个向量在此基底下的实数对是唯一的．对于C，当两个向量均为零向量时，即λ1＝λ2＝μ1＝μ2＝0时，这样的λ有无数个，或当λ1e1＋μ1e2为非零向量，而λ2e1＋μ2e2为零向量(λ2＝μ2＝0)，此时λ不存在．
三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中的横线上)
13．若＝(2,8)，＝(－7,2)，则＝__(－3，－2)__．
[解析] ＝－＝(－9，－6)，所以＝(－3，－2)．
14．已知向量a＝(2，－1)，b＝(－1，m)，c＝(－1,2)，若(a＋b)∥c，则m＝__－1__．
[解析] ∵a＝(2，－1)，b＝(－1，m)，
∴a＋b＝(1，m－1)，
∵(a＋b)∥c，c＝(－1,2)，
∴2－(－1)·(m－1)＝0.∴m＝－1．
15．已知正方形ABCD的边长为1，＝a，＝b，＝c，则a＋b＋c的模等于__2__．
[解析] |a＋b＋c|＝|＋＋|
＝|2|＝2||＝2．
16．如图所示，已知△OAB，由射线OA和射线OB及线段AB构成如图所示的阴影区(不含边界)．
(1)若D为AB中点，＝__(＋)__(用，表示)；
(2)已知下列四个向量：
①＝＋2；
②＝＋；
③＝＋；
④＝＋．
对于点M1，M2，M3，M4，落在阴影区域内(不含边界)的点有__M1，M2__(把所有符合条件点都填上)．
[解析] (1)若D为AB中点，则由向量的加法法则可得＝(＋)．
(2)设M在阴影区域内，则射线OM与线段AB有公共点，记为N，
则存在实数t∈(0,1]，使得＝t＋(1－t)，且存在实数r≥1，使得＝r，从而＝rt＋r(1－t)，且rt＋r(1－t)＝r≥1.又由于0＜t≤1，故r(1－t)≥0.对于①中rt＝1，r(1－t)＝2，解得r＝3，t＝，满足r≥1也满足r(1－t)≥0，故①满足条件．
对于②中rt＝，r(1－t)＝，解得r＝，t＝，满足r≥1也满足r(1－t)≥0.故①满足条件．
对于③中rt＝，r(1－t)＝，解得r＝，t＝，不满足r≥1，故③不满足条件．
对于④中rt＝，r(1－t)＝，
解得r＝，t＝，不满足r≥1，故④不满足条件．
四、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)已知点O(0,0)，A(1,2)，B(4,5)及＝＋t，t为何值时，点P在x轴上？点P在y轴上？点P在第二象限？
[解析] 因为＝＋t＝(1,2)＋t(3,3)＝(1＋3t,2＋3t)，
若点P在x轴上，则2＋3t＝0，
所以t＝－．
若点P在y轴上，则1＋3t＝0，
所以t＝－．
若点P在第二象限，则
所以－＜t＜－．
18．(本小题满分12分)在平行四边形ABCD中，＝a，＝B．
(1)如图①，如果E，F分别是BC，DC的中点，试用a，b分别表示，；
(2)如图②，如果O是AC与BD的交点，G是DO的中点，试用a，b表示．
[解析] (1)＝＋＝＋＝－＝－a＋B．＝＋＝－＝a－B．
(2)＝－＝b－A．
因为O是BD的中点，G是DO的中点，
所以＝＝(b－a)，
所以＝＋＝a＋(b－a)＝a＋B．
19．(本小题满分12分)设＝(2，－1)，＝(3,0)，＝(m,3)．
(1)当m＝8时，将用和表示．
(2)若A，B，C三点能构成三角形，求实数m应满足的条件．
[解析] (1)m＝8时，＝(8,3)，设＝λ1＋λ2，
所以(8,3)＝λ1(2，－1)＋λ2(3,0)＝(2λ1＋3λ2，－λ1)，
所以解得
所以＝－3＋．
(2)若A，B，C三点能构成三角形，则有与不共线，又＝－＝(3,0)－(2，－1)＝(1,1)，
＝－＝(m,3)－(2，－1)＝(m－2,4)，
则有1×4－(m－2)×1≠0，所以m≠6．
20．(本小题满分12分)已知e1，e2是平面内两个不共线的非零向量，＝2e1＋e2，＝－e1＋λe2，＝－2e1＋e2，且A，E，C三点共线．
(1)求实数λ的值；
(2)若e1＝(2,1)，e2＝(2，－2)，求的坐标；
(3)已知点D(3,5)，在(2)的条件下，若A，B，C，D四点按逆时针顺序构成平行四边形，求点A的坐标．
[解析] (1)＝＋＝(2e1＋e2)＋(－e1＋λe2)＝e1＋(1＋λ)e2．
因为A，E，C三点共线，所以存在实数k，使得＝k，
即e1＋(1＋λ)e2＝k(－2e1＋e2)，
得(1＋2k)e1＝(k－1－λ)e2．
因为e1，e2是平面内两个不共线的非零向量，
所以
解得k＝－，λ＝－．
(2)＝＋＝－3e1－e2＝(－6，－3)＋(－1,1)＝(－7，－2)．
(3)因为A，B，C，D四点按逆时针顺序构成平行四边形，所以＝．
设A(x，y)，则＝(3－x,5－y)，
因为＝(－7，－2)，所以解得
即点A的坐标为(10,7)．
21．(本小题满分12分)用向量法证明：三角形的三条中线交于一点．
[解析] 如图，D，E，F分别是△ABC三边上的中点，
设＝a，＝b，AD∩BE＝G.设＝λ，＝μ．
则＝＋＝(b－a)＋μ＝(b－a)＋μ(＋)＝b－a＋μ(a－b)＝(μ－2)a＋(1－μ)b，
又＝λ＝λ(＋)＝λ(－a＋b)＝－λa＋λb，
所以解得
则＝＋＝a＋＝a＋(－a＋b)
＝a＋b，
＝a＋b，所以＝，所以G在中线CF上，所以三角形三条中线交于一点．
22．(本小题满分12分)在△ABC中，＝＋．
(1)求△ABM与△ABC的面积之比；
(2)若N为AB中点，与交于点P，且＝x＋y(x，y∈R)，求x＋y的值．
[解析] (1)在△ABC中，＝＋，
4＝3＋，3(－)＝－，
即3＝，即点M是线段BC靠近B点的四等分点．
故△ABM与△ABC的面积之比为．
(2)因为＝＋，∥，
＝x＋y(x，y∈R)，所以x＝3y，
因为N为AB的中点，
所以＝－＝x＋y－＝(x－)＋y，
＝－＝x＋y－
＝x＋(y－1)，
因为∥，所以(x－)(y－1)＝xy，
即2x＋y＝1，又x＝3y，
所以x＝，y＝，所以x＋y＝．