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课后素养落实(十一) 平均变化率与瞬时变化率
(建议用时：40分钟)
一、选择题
1．已知函数f(x)＝2x2－1的图象上一点(1，1)及邻近一点(1＋Δx，1＋Δy)，则等于( )
A．4
B．4＋2Δx
C．4＋Δx
D．4Δx＋(Δx)2
B [＝＝＝2Δx＋4．]
2．某物体的运动规律是s＝s(t)，则该物体在t到t＋Δt这段时间内的平均速度是( )
A．＝＝
B．＝
C．＝
D．＝
A [由平均速度的定义可知，物体在t到t＋Δt这段时间内的平均速度是其位移改变量与时间改变量的比．
所以＝＝．]
3．已知点A(x1，y1)，B(x2，y2)在函数y＝f(x)的图象上，若函数f(x)从x1到x2的平均变化率为，则下面叙述正确的是( )
A．曲线y＝f(x)的割线AB的倾斜角为
B．曲线y＝f(x)的割线AB的倾斜角为
C．曲线y＝f(x)的割线AB的斜率为－
D．曲线y＝f(x)的割线AB的斜率为－
B [函数f(x)从x1到x2的平均变化率就是割线AB的斜率，所以kAB＝，割线AB的倾斜角为，选B．]
4．函数y＝x2－2x＋1在x＝－2附近的平均变化率为( )
A．Δx－6 B．6－Δx
C．Δx－3 D．3－Δx
A [当自变量从－2变化到－2＋Δx时，
函数的平均变化率为＝＝Δx－6．]
5．某物体做直线运动，其运动规律是s＝t2＋(t的单位是秒，s的单位是米)，则它在4秒末的瞬时速度为( )
A．米/秒
B．米/秒
C．8米/秒
D．米/秒
B [因为＝
＝＝Δt＋8－．
所以
＝8－＝．]
二、填空题
6．一质点运动的方程为s＝5－3t2，若一质点在时间段[1，1＋Δt]内相应的平均速度为－3Δt－6，则该质点在t＝1时的瞬时速度是________．
－6 [由平均速度和瞬时速度的关系可知，v＝
(－3Δt－6)＝－6．]
7．如图所示，函数y＝f(x)在[x1，x2]，[x2，x3]，[x3，x4]这几个区间内，平均变化率最大的一个区间是________．
[x3，x4] [由平均变化率的定义可知，函数y＝f(x)在区间[x1，x2]，[x2，x3]，[x3，x4]上的平均变化率分别为：，，，结合图象可以发现函数y＝f(x)的平均变化率最大的一个区间是[x3，x4]．]
8．函数f(x)＝x2－x在区间[－2，t]上的平均变化率是2，则t＝________．
5 [因为函数f(x)＝x2－x在区间[－2，t]上的平均变化率是2，
所以＝＝2，
即t2－t－6＝2t＋4，从而t2－3t－10＝0，解得t＝5或t＝－2(舍去)．]
三、解答题
9．已知质点M按规律s＝2t2＋3做直线运动．(位移单位：cm，时间单位：s)
(1)当t＝2，Δt＝0.01时，求；
(2)当t＝2，Δt＝0.001时，求；
(3)求质点M在t＝2时的瞬时速度．
[解] ＝＝＝4t＋2Δt．
(1)当t＝2，Δt＝0.01时，
＝4×2＋2×0.01＝8.02(cm/s)．
(2)当t＝2，Δt＝0.001时，
＝4×2＋2×0.001＝8.002(cm/s)．
(3)v＝
＝
(4t＋2Δt)＝4t＝4×2＝8(cm/s)．
10．已知某一运动物体在x
s时离出发点的距离为f(x)m，且满足f(x)＝x3＋x2＋2x．
(1)求在第1
s内的平均速度；
(2)求在第1
s末的瞬时速度；
(3)经过多长时间该物体的速度达到14
m/s?
[解] (1)物体在第1
s内的平均速度(即平均变化率)为＝(m/s)．
(2)
＝
＝6＋3Δx＋(Δx)2．
当Δx→0时，6＋3Δx＋(Δx)2→6，
所以物体在第1
s末的瞬时速度为6
m/s．
(3)令y＝f(x)＝x3＋x2＋2x，
则＝
＝
＝2x2＋2x＋2＋(Δx)2＋2x·Δx＋Δx．
当Δx→0时，→2x2＋2x＋2，
令2x2＋2x＋2＝14，解得x＝2(x＝－3舍去)，
即经过2
s该物体的速度达到14
m/s．
11．在高台跳水运动中，运动员相对于水面的高度h(m)与起跳后的时间t(s)存在函数关系h(t)＝－4.9t2＋6.5t＋10，则瞬时速度为0
m/s的时刻是( )
A．
s B．
s C．
s D．
s
A [设t＝t0时刻的瞬时速度为0
m/s，则Δh＝h(t0＋Δt)－h(t0)＝－9.8t0·Δt＋6.5Δt－4.9(Δt)2，所以＝－9.8t0＋6.5－4.9Δt，
则
＝－9.8t0＋6.5，
所以－9.8t0＋6.5＝0，解得t0＝
s．]
12．一个物体做直线运动，位移s(单位：m)与时间t(单位：s)之间的函数关系为s(t)＝5t2＋mt，且这一物体在2≤t≤3这段时间内的平均速度为26
m/s，则实数m的值为( )
A．2
B．1
C．－1
D．6
B [由已知，得＝26，所以(5×32＋3m)－(5×22＋2m)＝26，解得m＝1，选B．]
13．(多选题)下列说法正确的是( )
A．当瞬时变化率大于0时，说明函数值在增加
B．瞬时变化率越小，函数值变化的越慢
C．函数值在x＝x0处的瞬时变化率与自变量的改变量Δx无关
D．函数值在x＝x0处的瞬时变化率与x0的大小有关
[答案] ACD
14．[一题两空]一辆汽车在起步的前10秒内，按s＝3t2＋1做直线运动，则在2≤t≤3这段时间内的平均速度是________；在t＝2.5时的瞬时速度是________．
15 15 [在2≤t≤3这段时间内，Δs＝(3×32＋1)－(3×22＋1)＝15．∴＝＝15．
在t＝2.5时的瞬时速度为
＝
(15＋3Δt)＝15．]
15．若一物体运动方程如下(位移s的单位：m，时间t的单位：s)：
s＝
求：(1)物体在t∈[3,5]内的平均速度；
(2)物体在t＝1时的瞬时速度．
[解] (1)∵物体在t∈[3,5]内的时间改变量为Δt＝5－3＝2，
物体在t∈[3,5]内的位移改变量为Δs＝3×52＋2－(3×32＋2)＝48，
∴物体在t∈[3,5]内的平均速度为＝＝24(m/s)．
(2)物体在t＝1时的瞬时速度即为函数在t＝1处的瞬时变化率．
∵物体在t＝1附近的平均变化率为＝＝3Δt－12，
当Δt趋于0时，趋于－12，
∴物体在t＝1时的瞬时速度为－12
m/s．
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§1 平均变化率与瞬时变化率
1.1 平均变化率
1.2 瞬时变化率
第二章 导数及其应用
情境导学·探新知
NO.1
之比
快慢
斜率
快慢
1
2
3
4
1
2
3
4
1
2
3
4
1
2
3
4
1
2
3
4
合作探究·释疑难
NO.2
类型1
类型2
类型3
当堂达标·夯基础
NO.3
1
2
3
4
5
1
2
3
4
5
1
2
3
4
5
1
2
3
4
5
1
2
3
4
5
1
2
3
4
5
5
1
2
3
4
5
1
2
3
4
5
1
2
3
4
谢谢观看
THANK
YOU!
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答案
y
B
f(a
C
31
x23
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解析答案
反思领悟
●●●。
C
B
t
t2
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§1 平均变化率与瞬时变化率
1.1 平均变化率
1.2 瞬时变化率
学
习
任
务
核
心
素
养
1．理解函数平均变化率、瞬时变化率的概念．(重点)2．掌握函数平均变化率、瞬时变化率的求法．(难点)
1．通过对函数平均变化率、瞬时变化率等有关概念的学习，培养数学抽象素养．2．借助求函数平均变化率、瞬时变化率，培养数学运算素养．
下表是某病人吃完退烧药，他的体温变化情况：
x(min)
0
10
20
30
40
50
60
y(℃)
39
38.7
38.5
38
37.6
37.3
36.9
问题1：观察上表，每10分钟病人体温变化相同吗？
[提示] 不相同．
问题2：哪段时间体温变化较快？
[提示] 从20
min到30
min变化快．
问题3：如何刻画体温变化的快慢？
[提示] 用单位时间内体温变化的大小，即体温的平均变化率．
1．平均变化率
函数y＝f(x)从x1到x2的平均变化率
(1)定义：＝．
(2)实质：函数值的改变量与自变量的改变量之比．
(3)作用：刻画函数值在区间[x1，x2]上变化的快慢．
(4)几何意义：已知P1(x1，f(x1))，P2(x2，f(x2))是函数y＝f(x)的图象上两点，则平均变化率＝表示割线P1P2的斜率．
2．瞬时变化率
函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率
(1)定义：
＝
．
(2)实质：瞬时变化率是当自变量的改变量趋近于0时，平均变化率趋近的值．
(3)作用：刻画函数在某一点处变化的快慢．
1．函数f(x)在区间(x1，x2)上的平均变化率可以等于0吗？若平均变化率等于0，是否说明f(x)在(x1，x2)上一定为常数？
[提示] 函数f(x)在区间(x1，x2)上的平均变化率可以等于0，这时f(x1)＝f(x2)；平均变化率等于0，不能说f(x)在区间(x1，x2)上一定为常数，例如f(x)＝x2在区间(－1，1)上．
2．结合下图，说明一个函数y＝f(x)平均变化率的几何意义．
[提示] 由图可知，kAB＝＝＝．所以函数f(x)的平均变化率的几何意义是割线AB的斜率．
1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)函数f(x)＝c(c为常数)在区间[x1，x2]上的平均变化率为0．
( )
(2)函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率与Δx值的正、负无关．
( )
(3)瞬时变化率是刻画某函数在区间[x1，x2]上函数值的变化快慢的量．
( )
(4)平均变化率越大，函数值变化得越快．
( )
[答案] (1)√ (2)√ (3)× (4)×
2．如图，函数y＝f(x)在A，B两点间的平均变化率是( )
A．1 B．－1 C．2 D．－2
B [＝＝＝－1．]
3．函数y＝f(x)＝在x＝1处的瞬时变化率为________．
[答案] －1
4．一物体的运动方程为s＝7t2－13t＋8，且在t＝t0时的瞬时速度为1，求t0的值．
[解] 因为Δs＝7(t0＋Δt)2－13(t0＋Δt)＋8－7t＋13t0－8＝14t0·Δt－13Δt＋7(Δt)2，
所以
＝
(14t0－13＋7Δt)＝14t0－13＝1，
所以t0＝1．
类型1 求函数的平均变化率
【例1】 求函数y＝f(x)＝3x2＋2在区间[x0，x0＋Δx]上的平均变化率，并求当x0＝2，Δx＝0.1时平均变化率的值．
[解] 函数y＝f(x)＝3x2＋2在区间[x0，x0＋Δx]上的平均变化率为
＝
＝＝6x0＋3Δx．
当x0＝2，Δx＝0.1时，
函数y＝3x2＋2在区间[2，2.1]上的平均变化率为6×2＋3×0.1＝12.3．
求函数平均变化率的步骤
(1)求自变量的改变量Δx＝x2－x1．
(2)求函数值的改变量Δy＝f(x2)－f(x1)．
(3)求平均变化率＝．
[跟进训练]
1．球的半径从1增加到2时，球的体积平均膨胀率为________．
[因为Δy＝π×23－π×13＝，所以＝＝．]
类型2 求瞬时变化率
【例2】 一质点的运动方程为s＝8－3t2，其中s表示位移(单位：m)，t表示时间(单位：s)．
(1)求质点在[1，1＋Δt]这段时间内的平均速度；
(2)求质点在t＝1时的瞬时速度．
[解] (1)质点在[1，1＋Δt]这段时间内的平均速度为＝＝(－6－3Δt)(m/s)．
(2)由(1)知＝－6－3Δt．
当Δt趋近于0时，趋近于－6，
所以质点在t＝1时的瞬时速度为－6
m/s．
求运动物体瞬时速度的步骤
第一步：求时间改变量Δt和位移改变量Δs＝s(t0＋Δt)－s(t0)；
第二步：求平均速度＝；
第三步：求瞬时速度，当Δt无限趋近于0时，无限趋近于的常数v即为瞬时速度．
[跟进训练]
2．已知f(x＋1)－f(1)＝2x2＋x，则y＝f(x)在x＝1处的瞬时变化率为________．
1 [y＝f(x)在x＝1处的瞬时变化率为：
＝
＝
(2x＋1)＝1．]
3．一做直线运动的物体，其位移s与时间t的关系是s(t)＝3t－t2．求此物体在t＝2时的瞬时速度．
[解] 取一时间段[2，2＋Δt]，
Δs＝s(2＋Δt)－s(2)＝[3(2＋Δt)－(2＋Δt)2]－(3×2－22)＝－Δt－(Δt)2，
＝＝－1－Δt，
＝
(－1－Δt)＝－1，
所以当t＝2时，物体的瞬时速度为－1．
类型3 平均变化率与瞬时变化率的应用
【例3】 已知函数f(x)＝2x，g(x)＝log2x．
(1)当x从1变为4时，分别求函数f(x)和g(x)的平均变化率；
(2)当x从1变为4时，比较函数f(x)和g(x)的函数值变化的快慢．
[解] (1)当x从1变为4时，
在函数y＝f(x)中，Δx＝4－1＝3，Δy＝f(4)－f(1)＝24－21＝14，则函数f(x)的平均变化率＝；
在函数y＝g(x)中，Δx＝4－1＝3，Δy＝g(4)－g(1)＝log24－log21＝2－0＝2，则函数g(x)的平均变化率＝．
(2)因为＞，所以当x从1变为4时，函数f(x)的函数值比函数g(x)的函数值变化得快．
1．平均变化率刻画函数值在区间[x1，x2]上变化的快慢，绝对值越大，函数值变化得越快．
2．瞬时变化率刻画函数值在某一点处变化的快慢，绝对值越大，函数值变化得越快．
[跟进训练]
4．汽车行驶的路程s和时间t之间的函数图象如图，在时间段[t0，t1]，[t1，t2]，[t2，t3]上的平均速度分别为，，，则三者的大小关系为________．
＜＜ [＝kOA，＝kAB，＝kBC，由图象知kOA1．利用平均变化率可以刻画函数值平均变化的趋势和快慢程度，其几何意义为割线的斜率．
2．当瞬时变化率大于0时，说明函数值在增加；当瞬时变化率小于0时，说明函数值在减小；其绝对值大小才能说明变化的快慢．
1．设函数y＝f(x)＝x2－1，当自变量x由1变为1.1时，函数的平均变化率为( )
A．2.1 B．1.1 C．2 D．0
A [＝＝＝2.1．]
2．在曲线y＝x2＋1的图象上取一点(1，2)及附近一点(1＋Δx，2＋Δy)，则为( )
A．Δx＋＋2
B．Δx－－2
C．2＋Δx
D．2＋Δx－
C [∵x1＝1，x2＝1＋Δx，即Δx＝x2－x1，
∴Δy＝(x＋1)－(x＋1)＝(1＋Δx)2＋1－(12＋1)＝2Δx＋(Δx)2，∴＝＝2＋Δx．]
3．一块木头沿某一斜面自由下滑，测得下滑的水平距离s与时间t之间的函数关系式为s＝t2，则t＝2时，此木头在水平方向的瞬时速度为( )
A．2
B．1
C．
D．
C [因为Δs＝(2＋Δt)2－×22＝Δt＋(Δt)2，
所以＝＋Δt，
当Δt无限趋近于0时，＋Δt无限趋近于，
因此t＝2时，木块在水平方向的瞬时速度为，故选C．]
4．已知函数y＝x3－2，当x＝2时，＝________．
(Δx)2＋6Δx＋12 [因为Δy＝(2＋Δx)3－2－6＝(Δx)3＋6(Δx)2＋12Δx，所以＝(Δx)2＋6Δx＋12．]
5．已知函数f(x)＝2x2＋3x－5．
(1)求当x1＝4，且Δx＝1时，函数值的改变量Δy和平均变化率；
(2)求当x1＝4，且Δx＝0.1时，函数值的改变量Δy和平均变化率．
[解] ∵f(x)＝2x2＋3x－5，
∴Δy＝f(x1＋Δx)－f(x1)
＝2(x1＋Δx)2＋3(x1＋Δx)－5－(2×x＋3×x1－5)
＝2[(Δx)2＋2x1Δx]＋3Δx＝2(Δx)2＋(4x1＋3)Δx．
(1)当x1＝4，Δx＝1时，Δy＝2＋(4×4＋3)×1＝21，
∴＝＝21．
(2)当x1＝4，Δx＝0.1时，
Δy＝2×0.12＋(4×4＋3)×0.1＝0.02＋1.9＝1.92，
∴＝＝19.2．
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