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课后素养落实(十二) 导数的概念 导数的几何意义
(建议用时：40分钟)
一、选择题
1．已知y＝f(x)是定义在R上的奇函数，则下列结论一定成立的是( )
A．f′(－x)＝f′(x)
B．f′(－x)＝－f′(x)
C．f′(－x)－f′(x)≠0
D．f′(－x)＋f′(x)≠0
A [由导数的几何意义知，A正确．]
2．抛物线y＝x2在点Q(2,1)处的切线方程为( )
A．x－y－1＝0
B．x＋y－3＝0
C．x－y＋1＝0
D．x＋y－1＝0
A [f′(2)＝
＝
＝1，∴过点(2,1)的切线方程为y－1＝1×(x－2)，即x－y－1＝0．故选A．]
3．曲线y＝x2在点(1,1)处的切线与坐标轴所围成的三角形的面积为( )
A． B．
C．1
D．2
A [f′(1)＝
＝
＝
(2＋Δx)＝2．
则曲线在点(1,1)处的切线方程为y－1＝2(x－1)，
即y＝2x－1．
因为y＝2x－1与坐标轴的交点为(0，－1)，，
所以所求三角形的面积为S＝×1×＝．]
4．已知曲线y＝x3＋3x在点P处的切线与直线y＝15x＋3平行，则P点坐标为( )
A．(2,14)
B．(－2，－14)
C．(2,14)或(－2，－14)
D．以上都不对
C [由题意可得y′＝
＝3x2＋3，
又由题意得3x2＋3＝15，所以x＝±2．
当x＝2时，y＝23＋6＝14，当x＝－2时，y＝(－2)3－6＝－14．
所以点P的坐标为(2,14)或(－2，－14)．]
5．已知曲线y＝x3＋，则以点P(2,4)为切点的切线方程为( )
A．4x－y－4＝0
B．4x＋y－4＝0
C．4x－y＋4＝0
D．4x＋y＋4＝0
A [f′(x)＝
＝
(x2＋(Δx)2＋Δx·x)＝x2，
∴k＝f′(2)＝22＝4，∴切线方程为y－4＝4(x－2)，
即4x－y－4＝0，故选A．]
二、填空题
6．抛物线y＝x2在顶点处的切线方程是____________．
[答案] y＝0
7．设f(x)是偶函数，若曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线的斜率为1，则该曲线在(－1，f(－1))处的切线的斜率为________．
－1 [因为函数f(x)是偶函数，其图象关于y轴对称，
所以函数f(x)在点(1，f(1))处的切线斜率与在点(－1，f(－1))处的切线斜率相反，故曲线在点(－1，f(－1))处的切线斜率为－1．]
8．已知函数y＝f(x)的图象在点M(1，f(1))处的切线方程是y＝x＋2，则f(1)＋f′(1)＝________．
3 [由导数的几何意义得f′(1)＝，由切线方程得f(1)＝×1＋2＝，所以f(1)＋f′(1)＝3．]
三、解答题
9．求函数y＝在x＝2处的导数．
[解] ∵f(x)＝，∴Δy＝f(2＋Δx)－f(2)＝－1＝，∴＝，
∴
＝
＝－1，即f′(2)＝－1．
10．已知曲线y＝3x2－x，求曲线上的点A(1,2)处的切线斜率及切线方程．
[解] 因为＝＝5＋3Δx，当Δx趋于0时，5＋3Δx趋于5，所以曲线y＝3x2－x在点A(1,2)处的切线斜率是5．
所以切线方程为y－2＝5(x－1)，即5x－y－3＝0．
11．已知函数f(x)＝
为奇函数，则曲线f(x)在x＝2处的切线斜率等于( )
A．6 B．－2 C．－6 D．－8
B [y＝f(x)为奇函数，则f(－x)＝－f(x)．取x>0，得x2－2x＝－(－x2＋ax)，则a＝2．
当x>0时，f′(x)＝－2x＋2．
∴f′(2)＝－2．]
12．已知函数f(x)在R上可导，其部分图象如图所示，设＝a，则下列不等式正确的是( )
A．a
B．f′(2)C．f′(4)D．f′(2)B [由函数f(x)的图象可知，在[0，＋∞)上，函数值的增长越来越快，故该函数图象在[0，＋∞)上的切线斜率也越来越大．
因为＝a，所以f′(2)13．(多选题)定义在R上的函数y＝f(x)是可导函数，则下列结论正确的是( )
A．若y＝f(x)是周期函数，则y＝f′(x)也是周期函数
B．若y＝f′(x)是偶函数，则y＝f(x)是奇函数
C．若y＝f(x)是奇函数，则y＝f′(x)是偶函数
D．若y＝f(x)是偶函数，
则y＝f′(x)是奇函数
ACD [根据导数的几何意义，可知ACD正确．对于B，可举反例说明其错误．]
14．[一题两空]如图，函数f(x)的图象是折线段ABC，其中A，B，C的坐标分别为(0,4)，(2,0)，(6,4)，则f′(4)＝________，
＝________．
1 －2 [f′(4)＝kBC＝＝1；
由导数的概念和几何意义知，
＝f′(1)＝kAB＝＝－2．]
15．已知曲线y＝x2＋1，是否存在实数a，使得经过点(1，a)能够作出该曲线的两条切线？若存在，求出实数a的取值范围；若不存在，请说明理由．
[解] ∵＝＝2x＋Δx，∴y′＝
＝
(2x＋Δx)＝2x．
设切点为P(x0，y0)，则切线的斜率为k＝y′|＝2x0，
由点斜式可得所求切线方程为y－y0＝2x0(x－x0)．
又∵切线过点(1，a)，且y0＝x＋1，
∴a－(x＋1)＝2x0(1－x0)，即x－2x0＋a－1＝0．
又∵其切线有两条，
∴Δ＝(－2)2－4(a－1)>0，解得a<2．
故存在实数a，使得经过点(1，a)能够作出该曲线的两条切线，a的取值范围是(－∞，2)．
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§2 导数的概念及其几何意义
2.1 导数的概念
2.2 导数的几何意义
第二章 导数及其应用
情境导学·探新知
NO.1
瞬时变化率
切线
斜率
几何意义
1
2
3
4
1
2
3
4
1
2
3
4
1
2
3
4
1
2
3
4
合作探究·释疑难
NO.2
类型1
类型2
类型3
当堂达标·夯基础
NO.3
1
2
3
4
5
1
2
3
4
5
1
2
3
4
5
1
2
3
4
5
5
1
2
3
4
5
1
2
3
4
谢谢观看
THANK
YOU!
y
B
△y
f(
y
x0x0+△xx
点此进入
答案
y
N=3
0
点此进入
解析答案
反思领悟
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§2 导数的概念及其几何意义
2.1 导数的概念
2.2 导数的几何意义
学
习
任
务
核
心
素
养
1．了解导数的概念；理解导数的几何意义．(重点)2．会求导数．(重点)3．根据导数的几何意义，会求曲线上某点处的切线方程．(难点)
1．通过对导数的概念的学习，培养数学抽象素养．2．借助根据导数的几何意义求曲线上某点处的切线方程，培养数学运算素养．
问题1：函数y＝f(x)在[x0，x0＋Δx]的平均变化率为，你能说出它的几何意义吗？
[提示] 表示过A(x0，f(x0))和B(x0＋Δx，f(x0＋Δx))两点的直线的斜率．
问题2：当Δx变化时，直线如何运动？
[提示] 直线AB绕点A转动．
问题3：当Δx→0时，平均变化率变成了什么？直线转动到什么位置？
[提示] 平均变化率变成了瞬时变化率
，即f′(x0)，直线过点A与曲线y＝f(x)相切位置．
1．导数的概念
定义
＝
记法
f′(x0)或y′|
实质
函数y＝f(x)在x＝x0处的导数就是y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率
2．导数的几何意义
(1)切线：如图，当点Pn(xn，f(xn))(n＝1,2,3,4…)沿着曲线f(x)趋近于点P(x0，f(x0))时，割线PPn趋近于确定的位置，这个确定位置的直线PT称为点P处的切线．显然割线PPn的斜率是kn＝．当点Pn无限趋近于点P时，kn无限趋近于切线PT的斜率．
图① 图②
图③ 图④
(2)几何意义：函数y＝f(x)在x0处的导数f′(x0)，是曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线的斜率．函数y＝f(x)在x0处切线的斜率反映了导数的几何意义．
如图所示，直线l是曲线y＝f(x)在点P0处的切线，这与以前学习的直线与圆相切时，直线与圆有且仅有一个公共点是否相同？如何理解？
[提示] 不相同．曲线y＝f(x)在某点处的切线只是在切点P0附近区域上只有一个公共点，但该切线与这条曲线公共点可能不止一个，因此，直线l是曲线y＝f(x)在切点P0处的切线，但在点A处不是曲线的切线．
1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)f′(x0)是函数y＝f(x)在x＝x0附近的平均变化率．
( )
(2)求f′(x0)时，可先求f′(x)，再求f′(x0)．
( )
(3)曲线y＝f(x)在某点处的切线与曲线y＝f(x)过某点的切线意义是相同的．
( )
[答案] (1)× (2)√ (3)×
2．函数y＝x2在x＝1处的导数为( )
A．2x B．2＋Δx C．2 D．1
C [y＝x2在x＝1处的导数为f′(1)＝
＝2．]
3．设函数f(x)＝ax＋b，若f(1)＝f′(1)＝2，则f(2)＝________．
4 [函数f(x)＝ax＋b在x＝1处的导数为f′(1)＝
＝
＝
＝a，
又f′(1)＝2，得a＝2，而f(1)＝2，有a＋b＝2，于是b＝0，
所以f(x)＝2x，所以f(2)＝4．]
4．求曲线f(x)＝在点(－2，－1)处的切线方程．
[解] ∵点(－2，－1)在曲线y＝上，
∴曲线y＝在点(－2，－1)处的切线斜率就等于y＝在x＝－2处的导数．
∴k＝f′(－2)＝
＝
＝
＝－，
∴曲线y＝在点(－2，－1)处的切线方程为y＋1＝－(x＋2)，整理得x＋2y＋4＝0．
类型1 利用定义求函数在某点处的导数
【例1】 求函数y＝f(x)＝3x2－2x在x＝1处的导数．
[解] Δy＝3(1＋Δx)2－2(1＋Δx)－(3×12－2×1)＝3(Δx)2＋4Δx，因为＝＝3Δx＋4，
所以
＝
(3Δx＋4)＝4．
在本例条件，若f′(x0)＝0，则x0为何值？
[解] Δy＝3(x0＋Δx)2－2(x0＋Δx)－(3x－2x0)
＝3[x＋2x0Δx＋(Δx)2]－2(x0＋Δx)－3x＋2x0
＝6x0Δx＋3(Δx)2－2Δx
所以＝6x0＋3Δx－2，
所以
＝6x0－2，所以f′(x0)＝6x0－2．
由f′(x0)＝0，得x0＝．
求函数y＝f(x)在点x0处的导数的步骤
类型2 求曲线上一点处的切线方程
【例2】 已知曲线y＝x3上一点P，
(1)求点P处切线的斜率；
(2)写出点P处的切线方程．
[思路点拨] 本题考查导数的几何意义．根据导数的几何意义知，函数f(x)在点x＝x0处的导数就是曲线在该点处切线的斜率，再由直线方程的点斜式便可求出切线的方程．
[解] (1)∵y＝x3，
∴y′＝
＝
＝
＝
＝x2，
∴y′|x＝2＝22＝4．
∴点P处切线的斜率为4．
(2)∵由(1)知点P处切线的斜率为4，且点P的坐标为，
∴在点P处的切线方程是y－＝4(x－2)，即12x－3y－16＝0．
1．求曲线y＝f(x)在点P处的切线方程的步骤：(1)求出P点的坐标(x0，f(x0))；(2)求出函数在x0处的导数f′(x0)，从而得到曲线在点P(x0，f(x0))处切线的斜率；(3)利用点斜式写出切线方程．
2．求过点P的切线，要注意点P不一定是切点．因此，在解题时先设出切点，再求出切线斜率(该点处导数的值)，根据切点与斜率写出切线方程，最后再将该点坐标代入．在解题过程中不必考虑该点是否为切点．
[跟进训练]
2．求过曲线y＝f(x)＝x3上的点(1,1)的切线方程．
[解] 设切线与曲线y＝f(x)切于点(x0，x)，
则＝
＝
＝(Δx)2＋3x0Δx＋3x．∴
＝3x，即f′(x0)＝3x．
故切线方程为y－x＝3x(x－x0)．而该切线经过点(1,1)，所以1－x＝3x(1－x0)，解得x0＝1或x0＝－．
所以切线方程为y－1＝3(x－1)或y＋＝．即3x－y－2＝0或3x－4y＋1＝0．
类型3 求切点的坐标
【例3】 曲线f(x)＝－在点P处的切线方程为2x＋y＋3＝0，求点P的坐标．
[思路点拨] 设出切点的坐标，求出切线斜率，由斜率间的关系及曲线方程求得切点坐标．
[解] 设切点P为(x0，y0)，则
k＝f′(x0)＝
＝
＝
＝
＝．
∵切线方程为2x＋y＋3＝0，
∴切线斜率为－2．
∴＝－2．∴x0＝－1．
∴f(x0)＝f(－1)＝－1．
∴切点P的坐标为(－1，－1)．
求切点坐标的一般思路
(1)先设切点坐标(x0，y0)；
(2)求切线的斜率f′(x0)；
(3)由斜率k＝f′(x0)列出关于x0的方程，解方程求x0；
(4)由于点(x0，y0)在曲线y＝f(x)上，将x0代入求y0，得切点坐标．
[跟进训练]
3．曲线f(x)＝2x2－x在点P处的切线与直线x＋y－1＝0垂直，求点P的坐标．
[解] 设切点P为(x0，y0)，
则k＝f′(x0)＝
＝
＝
(4x0＋2Δx－1)＝4x0－1．
∵在点P处的切线与x＋y－1＝0垂直，∴4x0－1＝1．
∴x0＝．
∴f(x0)＝f
＝2×－＝0．
∴切点P的坐标为．
求曲线的切线方程，首先要判断所给点是否在曲线上．若在曲线上，可用切线方程的一般方法求解；若不在曲线上，可设出切点，写出切线方程，结合已知条件求出切点坐标或切线斜率，从而得到切线方程．
1．若曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线方程为2x－y＋1＝0，则( )
A．f′(x0)＜0
B．f′(x0)＞0
C．f′(x0)＝0
D．f′(x0)不存在
B [f′(x0)＝2＞0．]
2．已知y＝f(x)的图象如图，则f′(xA)与f′(xB)的大小关系是( )
A．f′(xA)>f′(xB)
B．f′(xA)C．f′(xA)＝f′(xB)
D．不能确定
B [由图可知，曲线在点A处的切线的斜率比曲线在点B处的切线的斜率小，结合导数的几何意义知f′(xA)3．已知直线ax－by－2＝0与曲线y＝x3在点P(1,1)处的切线互相垂直，则为( )
A． B． C．－ D．－
D [由导数的定义可得y′＝3x2，∴y＝x3在点P(1,1)处的切线斜率k＝y′|x＝1＝3，由条件知，3×＝－1，∴＝－．]
4．已知曲线y＝2x2＋4x在点P处切线斜率为16，则点P的坐标为________．
(3,30) [设P(x0，2x＋4x0)，
则f′(x0)＝
＝
＝4x0＋4，
又∵f′(x0)＝16，
∴4x0＋4＝16，∴x0＝3，∴P(3,30)．]
5．已知点P(2，－1)在曲线f(x)＝上．
求：(1)曲线在点P处的切线的斜率；
(2)曲线在点P处的切线方程．
[解] (1)将P(2，－1)的坐标代入f(x)＝，得t＝1，
∴f(x)＝．
∴f′(2)＝
＝
＝
＝1，曲线在点P处的切线斜率为1．
(2)由(1)知曲线在点P处的切线方程为y－(－1)＝x－2，即x－y－3＝0．
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