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§3 导数的计算
学
习
任
务
核
心
素
养
1．能根据定义求函数y＝c，y＝x，y＝x2，y＝，y＝的导数．(难点)2．掌握基本初等函数的导数公式，并能进行简单的应用．(重点)
通过基本初等函数的导数公式的应用，培养数学运算素养．
对于函数y＝1－x2．
问题1：如何求f′(1)?
[提示] f′(1)＝
＝
(－2－Δx)＝－2．
问题2：如何求f′(x)的值．
[提示] f′(x)＝
＝
(－2x－Δx)＝－2x．
问题3：能由f′(x)求f′(1)吗？
[提示] 能，f′(1)＝－2×1＝－2．
1．基本初等函数的导数公式
函数
导数
y＝c(c为常数)
y′＝0
y＝xα(α∈Q
)
y′＝αxα－1
y＝sin
x
y′＝cos
x
y＝cos
x
y′＝－sin
x
y＝ax(a＞0，a≠1)
y′＝axln
a
y＝ex
y′＝ex
y＝loga
x(a＞0，a≠1)
y′＝
y＝ln
x
y′＝
如何理解常数函数的导数为0的几何意义？
[提示] 设f(x)＝c，则f′(x)＝0的几何意义为函数f(x)＝c的图象上每一点处的切线的斜率都为0．
2．导函数
一般地，如果一个函数y＝f(x)在区间(a，b)的每一点x处都有导数f′(x)＝
，那么f′(x)是关于x的函数，称f′(x)为y＝f(x)的导函数，也简称为导数，有时也将导数记作y′．
1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)(e2x)′＝e2x．
( )
(2)(cos
x)′＝sin
x．
( )
(3)＝－．
( )
[答案] (1)× (2)× (3)√
2．下列各式中，正确的是( )
A．＝cos
x
B．＝sin
x
C．＝sin
x
D．＝cos
x
A [先利用诱导公式化简，再根据求导公式求导．]
3．曲线y＝cos
x在点P处的切线方程为________．
y＝－x＋＋ [∵y′＝(cos
x)′＝－sin
x，
∴切线斜率k＝－sin＝－．
∴切线方程为y－＝－，即切线方程为y＝－x＋＋．]
4．已知曲线f(x)＝ex在P(x0，f(x0))处的切线为y＝kx，求k的值．
[解] ∵f′(x)＝ex，∴k＝e．①
又∵点P既在曲线上又在切线上，∴y0＝e，y0＝kx0．②
由①②得x0＝1，y0＝e，∴k＝e．
类型1 利用导函数定义求导数
【例1】 求函数f(x)＝x2＋5x在x＝3处的导数和它的导函数．
[思路点拨] 先用导函数的定义求f′(x)，再将x＝3代入即可得f′(3)．
[解] f′(x)＝
＝
＝
(2x＋Δx＋5)＝2x＋5．
∴f′(3)＝2×3＋5＝11．
利用定义求函数y＝f(x)的导函数的一般步骤
(1)确定函数y＝f(x)在其对应区间上每一点是否都有导数；
(2)计算Δy＝f(x＋Δx)－f(x)；
(3)当Δx趋于0时，得到导函数
f′(x)＝
．
[跟进训练]
1．利用导数的定义求函数f(x)＝x3在x＝x0处的导数．
[解] f′(x0)＝
＝
＝
(x2＋xx0＋x)＝3x．
类型2 利用求导公式求函数的导数
【例2】 求下列函数的导数：
(1)y＝－3；(2)y＝x4；(3)y＝；(4)y＝2x；(5)y＝log5x；(6)y＝sin．
[思路点拨] 解答本题可先将解析式调整为基本初等函数的形式，再利用公式求导．
[解] (1)y′＝(－3)′＝0；
(2)y′＝(x4)′＝4x3；
(3)y′＝()′＝(xeq
\s\up12())′＝xeq
\s\up12(－1)＝xeq
\s\up12(－)＝；
(4)y′＝(2x)′＝2xln
2；
(5)y′＝(log5x)′＝；
(6)因为y＝sin＝cos
x，
所以y′＝(cos
x)′＝－sin
x．
用公式求函数导数的方法
(1)若所求函数符合导数公式，则直接利用公式求解．
(2)对于不能直接利用公式的类型，关键是合理转化函数的关系式为可以直接应用公式的基本函数的模式，如y＝可以写成y＝x－4，y＝可以写成y＝xeq
\s\up12()等，这样就可以直接使用幂函数的求导公式求导，以免在求导过程中出现指数或系数的运算失误．
[跟进训练]
2．求下列函数的导数：
(1)y＝lg
x；(2)y＝；(3)y＝x；(4)y＝logeq
\s\do16()x．
[解] (1)y′＝(lg
x)′＝．
(2)y′＝eq
\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))))eq
\s\up12(′)＝ln
＝－ln
2．
(3)y′＝(x)′＝(xeq
\s\up12())′＝xeq
\s\up12()＝．
(4)y′＝eq
\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(logx))eq
\s\up12(′)＝＝－．
类型3 导数几何意义的应用
【例3】 求证：曲线xy＝1上任何一点处的切线与坐标轴构成的三角形的面积为常数．
[思路点拨] 要证明三角形面积为定值，应先求出直线在两坐标轴上的截距，因此应先写出直线的方程，要写直线方程，首先求出直线的斜率，于是可设出切点的坐标P．
[证明] ∵xy＝1，得y＝，∴y′＝－．
在曲线xy＝1上任取一点P，则过点P的切线的斜率k＝－．
切线方程为y－＝－(x－x0)，即y＝－x＋．
设该切线与x轴、y轴分别相交于A，B两点，则A(2x0，0)，B．
故S△OAB＝|OA|·|OB|＝|2x0|·＝2．
∴曲线上任意一点处的切线与坐标轴构成的三角形的面积为常数．
利用导数的几何意义研究曲线的切线问题是一种基本方法，尤其是非二次曲线的切线．解题的关键是利用切点的性质：①切点在曲线上，②切点在切线上，③在切点处的导数等于切线的斜率．求出切点的坐标，进一步利用点斜式求出切线方程．
[跟进训练]
3．点P是曲线y＝ex上任意一点，求点P到直线y＝x的最小距离．
[解] 根据题意设平行于直线y＝x的直线与曲线y＝ex相切于点(x0，y0)，该切点即为与y＝x距离最近的点，如图．
则在点(x0，y0)处的切线斜率为1，即f′(x0)＝1．
∵y′＝(ex)′＝ex，
∴e＝1，得x0＝0，代入y0＝e，得y0＝1，即P(0,1)．
利用点到直线的距离公式得最小距离为．
1．f′(x0)与f′(x)的异同
区别
联系
f′(x0)
f′(x0)是具体的值，是数值
在x＝x0处的导数f′(x0)是导函数f′(x)在x＝x0处的函数值，因此求函数在某一点处的导数，一般先求导函数，再计算导函数在这点的函数值
f′(x)
f′(x)是f(x)在某区间I上每一点都存在导数而定义的一个新函数，是函数
2．在应用求导公式时应注意的问题
(1)对于公式(sin
x)′＝cos
x，(cos
x)′＝－sin
x，一是注意函数的变化，二是注意符号的变化．
(2)对于公式(logax)′＝和(ax)′＝axln
a的记忆就较难，特别要注意ln
a所在的位置．
1．若函数f(x)＝ex，则f′(0)＝( )
A．1 B．－1 C．e D．－e
[答案] A
2．已知函数f(x)＝ln
x，则其图象在x＝处的斜率为( )
A．
2
B．
C．ln
2
D．－ln
2
[答案] A
3．曲线y＝ex在点(2，e2)处的切线与坐标轴所围三角形的面积为( )
A．e2
B．2e2
C．e2
D．
D [曲线y＝ex在点(2，e2)处的切线方程为y＝e2x－e2，
所以该切线与坐标轴交点坐标分别为(1,0)，(0，－e2)，
所以，所围三角形的面积为×1×e2＝．]
4．若曲线y＝ln
x在点P处的切线方程为x－ey＝0，则切点的坐标为________．
(e,1) [y′＝(ln
x)′＝，设切点为P(x0，y0)，则k＝＝，∴x0＝e．∴y0＝ln
x0＝ln
e＝1．∴切点为(e,1)．]
5．求函数y＝的导函数．
[解] ∵y＝＝xeq
\s\up12()，
∴y′＝xeq
\s\up12()eq
\s\up12(－1)＝xeq
\s\up12(－)＝．
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§3 导数的计算
第二章 导数及其应用
情境导学·探新知
NO.1
0
导数
y′
1
2
3
4
1
2
3
4
1
2
3
4
1
2
3
4
合作探究·释疑难
NO.2
类型1
类型2
类型3
当堂达标·夯基础
NO.3
1
2
3
4
5
1
2
3
4
5
1
2
3
4
5
1
2
3
4
5
5
1
2
3
4
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反思领悟
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课后素养落实(十三) 导数的计算
(建议用时：40分钟)
一、选择题
1．若函数f(x)＝cos
x，则＝( )
A．0 B．1 C．－1 D．以上均不正确
A [注意此题中是先求函数值再求导，所以导数是0，故选A．]
2．若指数函数f(x)＝ax(a>0，a≠1)满足f′(1)＝ln
27，则f′(－1)＝( )
A．2
B．ln
3
C．
D．－ln
3
C [f′(x)＝axln
a，由f′(1)＝aln
a＝ln
27，
解得a＝3，则f′(x)＝3xln
3，故f′(－1)＝．]
3．已知直线y＝x＋a与曲线y＝ln
x相切，则a的值为( )
A．1
B．2
C．－1
D．－2
C [设切点为P(x0，y0)，
则eq
\b\lc\{\rc\
(\a\vs4\al\co1(y0＝x0＋a，,y0＝ln
x0，,y′|＝\f(1,x0)＝1，))解得a＝－1．]
4．设曲线y＝ax2在点(1，a)处的切线与直线2x－y－6＝0平行，则a＝( )
A．1
B．
C．－
D．－1
A [因为y′＝2ax，所以切线的斜率k＝y′|x＝1＝2a．
又由题设条件知切线的斜率为2，
则2a＝2，即a＝1，故选A．]
5．(2020·全国Ⅲ卷)若直线l与曲线y＝和圆x2＋y2＝都相切，则l的方程为( )
A．y＝2x＋1
B．y＝2x＋
C．y＝x＋1
D．y＝x＋
D [易知直线l的斜率存在，设直线l的方程为y＝kx＋b，则＝ ①，设直线l与曲线y＝的切点坐标为(x0，)(x0＞0)，则y′|＝x0eq
\s\up12(－)＝k ②，＝kx0＋b ③，由②③可得b＝，将b＝，k＝x0eq
\s\up12(－)代入①得x0＝1或x0＝－(舍去)，所以k＝b＝，故直线l的方程为y＝x＋．]
二、填空题
6．若f(x)＝x2，g(x)＝x3，则满足f′(x)＋1＝g′(x)的x值为________．
1或－ [由导数的公式知，f′(x)＝2x，g′(x)＝3x2．
因为f′(x)＋1＝g′(x)，
所以2x＋1＝3x2，即3x2－2x－1＝0，解得x＝1或x＝－．]
7．正弦曲线y＝sin
x(x∈(0,2π))上切线斜率等于的点为________．
或 [y′＝(sin
x)′＝cos
x＝，
∵x∈(0,2π)，
∴x＝或．]
8．函数y＝x2(x>0)的图象在点(ak，a)处的切线与x轴的交点的横坐标为ak＋1，其中k∈N＋．若a1＝16，则a1＋a3＋a5的值是________．
21 [∵y＝x2，∴y′＝2x，
∴函数y＝x2(x>0)在点(ak，a)处的切线方程为y－a＝2ak(x－ak)，令y＝0得ak＋1＝ak．
∴数列{an}是等比数列．
又∵a1＝16，
∴a3＝a1＝4，a5＝a3＝1，
∴a1＋a3＋a5＝16＋4＋1＝21．]
三、解答题
9．求下列函数的导数：
(1)y＝log2x2－log2x；
(2)y＝2sin
．
[解] (1)∵y＝log2x2－log2x＝log2x，∴y′＝(log2x)′＝．
(2)∵y＝2sin
＝2sin
cos
＝sin
x，∴y′＝cos
x．
10．已知经过点(3,0)斜率存在的直线l与抛物线y＝x2相交于A，B两点，且过两个交点的抛物线的切线相互垂直，求直线l的斜率k的值．
[解] 设l：y＝k(x－3)．
由消去y，得x2－kx＋3k＝0，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x2＝3k．
∵y′＝(x2)′＝2x，∴4x1x2＝－1，
∴12k＝－1，
∴k＝－．
11．设曲线y＝xn＋1(n∈N＋)在点(1,1)处的切线与x轴的交点的横坐标为xn，则x1·x2·…·xn的值为( )
A．
B． C． D．1
B [对y＝xn＋1(n∈N＋)求导得y′＝(n＋1)xn．
令x＝1，得在点(1,1)处的切线的斜率k＝n＋1，
∴在点(1,1)处的切线方程为y－1＝(n＋1)(x－1)．
令y＝0，得xn＝，∴x1·x2·…·xn＝×××…××＝，
故选B．]
12．正弦曲线y＝sin
x上一点P，以点P为切点的切线为直线l，则直线l的倾斜角的范围是( )
A．∪
B．[0，π)
C．
D．∪
A [y′＝cos
x，其值域为以点P为切点的切线的斜率的取值范围，为[－1,1]，结合正切函数图象及直线倾斜角取值范围[0，π)，可知本题答案为∪．]
13．(多选题)下列各式中，正确的是( )
A．(ex)′＝ex
B．(ln
x)′＝
C．(e2x)′＝2e2x
D．(ln)′＝
ABCD [根据求导公式可知AB正确，
(e2x)′＝[(e2)x]′＝(e2)xln
e2＝2e2x，
(ln)′＝(loge2x)′＝＝
故CD正确．]
14．[一题两空]曲线y＝与y＝x2的交点坐标为________，它们交点处的两条切线与x轴所围成的三角形的面积是________．
(1,1) [由联立得交点为(1,1)，
而＝－，(x2)′＝2x，∴斜率分别为－1和2，
∴切线方程为y－1＝－(x－1)，及y－1＝2(x－1)．
令y＝0得与x轴交点为(2,0)及，
∴S△＝·×1＝．]
15．已知f(x)＝，则f′(1)等于( )
A．
B．－
C．
D．－
D [由于A(1，f(1))是圆O：x2＋y2＝4上一点，则f′(1)＝－＝－．]
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