(共38张PPT)
§4 导数的四则运算法则
4.1 导数的加法与减法法则
4.2 导数的乘法与除法法则
第二章 导数及其应用
情境导学·探新知
NO.1
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合作探究·释疑难
NO.2
类型1
类型2
类型3
当堂达标·夯基础
NO.3
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反思领悟
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课后素养落实(十四) 导数的四则运算法则
(建议用时：40分钟)
一、选择题
1．若f′(x)＝f(x)，且f(x)≠0，则f(x)＝( )
A．ax B．logax C．ex D．e－x
[答案] C
2．曲线y＝x3－3x2＋1在点(1，－1)处的切线方程为( )
A．y＝3x－4
B．y＝－3x＋2
C．y＝－4x＋3
D．y＝4x－5
B [∵点(1，－1)在曲线y＝x3－3x2＋1上，该点处切线的斜率为k＝y′|x＝1＝(3x2－6x)|x＝1＝3－6＝－3，
∴切线方程为y＋1＝－3(x－1)，即y＝－3x＋2．]
3．若过函数f(x)＝ln
x＋ax上的点P的切线与直线2x－y＝0平行，则实数a的取值范围是( )
A．(－∞，2]
B．(－∞，2)
C．(2，＋∞)
D．(0，＋∞)
B [设过点P(x0，y0)的切线与直线2x－y＝0平行，因为f′(x)＝＋a，故f′(x0)＝＋a＝2，得a＝2－，由题意知x0>0，所以a＝2－<2．]
4．若f(x)＝x2－2x－4ln
x，则f′(x)＞0的解集为( )
A．(0，＋∞)
B．(－1,0)∪(2，＋∞)
C．(2，＋∞)
D．(－1,0)
C [∵f(x)＝x2－2x－4ln
x，
∴f′(x)＝2x－2－＞0，
整理得＞0，解得－1＜x＜0或x＞2，
又∵f(x)的定义域为(0，＋∞)，
∴x＞2．]
5．函数f(x)＝在点(x0，f(x0))处的切线平行于x轴，则f(x0)等于( )
A．－
B．
C．
D．e2
B [与x轴平行的切线，其斜率为0，所以f′(x0)＝＝＝0，故x0＝e，
∴f(x0)＝．]
二、填空题
6．函数y＝x的导数为________．
3x2＋ [y＝x＝x3＋1－，y′＝3x2＋．]
7．已知函数f(x)的导函数为f′(x)，且满足f(x)＝2xf′(e)＋ln
x(e为自然对数的底数)，则f′(e)＝________．
－
[由f(x)＝2xf′(e)＋ln
x，得f′(x)＝2f′(e)＋，则f′(e)＝2f′(e)＋?f′(e)＝－．]
8．已知函数f(x)＝f′sin
x＋cos
x，则f
＝________．
0 [
f′(x)＝f′cos
x－sin
x，
令x＝，则f′＝－sin
＝－1，
∴f(x)＝－sin
x＋cos
x，
∴f
＝－sin
＋cos
＝0．]
三、解答题
9．求下列函数的导数：
(1)y＝(＋1)；
(2)y＝xtan
x；
(3)y＝x－2sin
cos
；
(4)y＝2ln
x＋ax(a>0，且a≠1)．
[解] (1)∵y＝·－＋－1＝－＋，
∴y′＝＝－＋
＝－；
(2)y′＝(xtan
x)′＝＝
＝＝；
(3)y′＝＝(x－sin
x)′＝1－cos
x；
(4)y′＝(2ln
x＋ax)′＝＋axln
a．
10．偶函数f(x)＝ax4＋bx3＋cx2＋dx＋e的图象过点P(0,1)，且在x＝1处的切线方程为y＝x－2，求f(x)的解析式．
[解] ∵f(x)的图象过点P(0,1)，∴e＝1．
又∵f(x)为偶函数，
∴f(－x)＝f(x)，
故ax4＋bx3＋cx2＋dx＋e＝ax4－bx3＋cx2－dx＋e．
∴b＝0，d＝0．∴f(x)＝ax4＋cx2＋1．
∵函数f(x)在x＝1处的切线方程为y＝x－2，
∴切点为(1，－1)．
∴a＋c＋1＝－1．①
∵f′(1)＝4a＋2c，∴4a＋2c＝1．②
∴由①②得a＝，c＝－．
∴函数f(x)的解析式为f(x)＝x4－x2＋1．
11．设曲线y＝在点(3,2)处的切线与直线ax＋y＋1＝0垂直，则a＝( )
A．2 B． C．－ D．－2
[答案] D
12．f(x)与g(x)是定义在R上的两个可导函数，若f(x)，g(x)满足f′(x)＝g′(x)，则f(x)与g(x)满足( )
A．f(x)＝g(x)
B．f(x)＝g(x)＝0
C．f(x)－g(x)为常数函数
D．f(x)＋g(x)为常数函数
C [由f′(x)＝g′(x)，得f′(x)－g′(x)＝0，即[f(x)－g(x)]′＝0，所以f(x)－g(x)＝c(c为常数)．]
13．(多选题)下列结论正确的是( )
A．(xln
x)′＝1＋ln
x
B．＝
C．(xex)′＝(1＋x)ex
D．＝
[答案] ABCD
14．[一题两空]设函数f(x)＝x3－x2＋bx＋c，其中a>0，曲线y＝f(x)在点P(0，f(0))处的切线方程为y＝1，则b＝________，c＝________．
0 1 [由题意得f′(x)＝x2－ax＋b，
由切点P(0，f(0))既在函数f(x)＝x3－x2＋bx＋c上又在切线y＝1上，得
即
解得b＝0，c＝1．]
15．设函数y＝xsin
x＋cos
x的图象上的点(x0，y0)处的切线的斜率为k，若k＝g(x0)，则函数k＝g(x0)的图象大致为( )
A B C D
A [y′＝xcos
x?g(x0)＝x0cos
x0?g(x0)为奇函数，
∴可排除B、C，又x0从正方向趋向于0时，g(x0)>0,
∴可排除D．故选A．]
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§4 导数的四则运算法则
4.1 导数的加法与减法法则
4.2 导数的乘法与除法法则
学
习
任
务
核
心
素
养
能利用导数的四则运算法则求导函数．(重、难点)
通过利用导数的四则运算法则求导函数，培养数学运算素养．
已知函数f(x)＝x，g(x)＝x2．
问题1：[f(x)＋g(x)]′＝f′(x)＋g′(x)吗？
[提示] 等于．
问题2：[f(x)－g(x)]′＝f′(x)－g′(x)吗？
[提示] 等于．
问题3：[f(x)·g(x)]′＝f′(x)·g′(x)吗？
[提示] 不等于．
问题4：＝吗？
[提示] 不等于．
导数的运算法则
若两个函数f(x)和g(x)的导数分别是f′(x)和g′(x)，则
两个函数的和的导数
[f(x)＋g(x)]′＝f′(x)＋g′(x)
两个函数的差的导数
[f(x)－g(x)]′＝f′(x)－g′(x)
两个函数的积的导数
[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)
两个函数的商的导数
′＝(g(x)≠0)
特别：[kf(x)]′＝kf′(x)，k∈R．
1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)[2f(x)]′＝2f′(x)．
( )
(2)＝．
( )
(3)＝－．
( )
[答案] (1)√ (2)× (3)√
2．下列求导运算中正确的是( )
A．＝1＋
B．(lg
x)′＝
C．(ln
x)′＝x
D．(x2cos
x)′＝－2xsin
x
B [＝1－，故A错；(ln
x)′＝，故C错；(x2cos
x)′＝2xcos
x－x2sin
x，故D错，故选B．]
3．曲线y＝x(3ln
x＋1)在点(1,1)处的切线方程为________．
y＝4x－3 [函数的导数为f′(x)＝3ln
x＋1＋x×＝3ln
x＋4，
所以在(1,1)处的切线斜率为k＝4，
所以切线方程为y－1＝4(x－1)，即y＝4x－3．]
4．求下列函数的导数．
(1)y＝3x2＋xcos
x；
(2)y＝lg
x－；
(3)y＝(x＋1)(x＋2)(x＋3)．
[解] (1)y′＝(3x2＋xcos
x)′＝(3x2)′＋(xcos
x)′＝6x＋cos
x－xsin
x．
(2)y′＝＝(lg
x)′－＝＋．
(3)∵y＝(x＋1)(x＋2)(x＋3)＝(x2＋3x＋2)(x＋3)＝x3＋6x2＋11x＋6，
∴y′＝[(x＋1)(x＋2)(x＋3)]′＝(x3＋6x2＋11x＋6)′＝3x2＋12x＋11．
类型1 利用导数的运算法则求导数
【例1】 求下列函数的导数：
(1)y＝x4－3x2－5x＋6；
(2)y＝x2＋log3x；
(3)y＝x2·sin
x；
(4)y＝．
[思路点拨] 结合基本初等函数的导数公式及导数的四则运算法则直接求导．
[解] (1)y′＝(x4－3x2－5x＋6)′＝(x4)′－3(x2)′－5x′＋6′＝4x3－6x－5．
(2)y′＝(x2＋log3x)′＝(x2)′＋(log3x)′＝2x＋．
(3)y′＝(x2)′·sin
x＋x2·(sin
x)′＝2x·sin
x＋x2·cos
x．
(4)y′＝
＝＝．
解决函数的求导问题，应先分析所给函数的结构特点，选择正确的公式和法则．对较为复杂的求导运算，在求导之前应先将函数化简，然后求导，以减少运算量．
[跟进训练]
1．设f(x)＝ax3＋3x2＋2，若f′(－1)＝4，则a的值等于( )
A． B． C． D．
D [f′(x)＝3ax2＋6x，∴f′(－1)＝3a－6＝4，解得a＝．]
类型2 导数与曲线的切线问题
【例2】 已知函数f(x)＝x3＋x－16．
(1)求曲线y＝f(x)在点(2，－6)处的切线方程；
(2)直线l为曲线y＝f(x)的切线，且经过原点，求直线l的方程及切点坐标．
[解] (1)可判定点(2，－6)在曲线y＝f(x)上．
∵f′(x)＝(x3＋x－16)′＝3x2＋1，
∴f(x)在点(2，－6)处的切线的斜率为k＝f′(2)＝13．
∴切线的方程为y＝13(x－2)＋(－6)，即y＝13x－32．
(2)设切点为(x0，y0)，
则直线l的斜率为f′(x0)＝3x＋1，
∴直线l的方程为y＝(3x＋1)(x－x0)＋x＋x0－16，
又∵直线l过点(0,0)，
∴0＝(3x＋1)(－x0)＋x＋x0－16，
整理得，x＝－8，∴x0＝－2．
∴y0＝(－2)3＋(－2)－16＝－26，k＝3×(－2)2＋1＝13．
∴直线l的方程为y＝13x，切点坐标为(－2，－26)．
(1)求曲线在某点处的切线方程的步骤
(2)求曲线的切线方程时，一定要注意已知点是否为切点．若切点没有给出，一般是先把切点设出来，然后根据其他条件列方程，求出切点，再求切线方程．
[跟进训练]
2．若曲线f(x)＝xsin
x＋1在x＝处的切线与直线ax＋2y＋1＝0互相垂直，则实数a＝________．
2 [因为f′(x)＝sin
x＋xcos
x，所以f′＝sin＋cos＝1．
又直线ax＋2y＋1＝0的斜率为－，
所以根据题意得1×＝－1，解得a＝2．]
类型3 与导数运算有关的综合问题
【例3】 在等比数列{an}中，a1＝2，a8＝4，函数f(x)＝x(x－a1)(x－a2)…(x－a8)，则f′(0)＝( )
A．26
B．29
C．212
D．215
C [∵f(x)＝x(x－a1)(x－a2)…(x－a8)，
∴f′(0)等于f(x)中x的一次项的系数，
∴f′(0)＝(－a1)(－a2)…(－a8)＝a1a2…a8＝(a1a8)4＝(2×4)4＝84＝212．
]
对于较复杂的函数求导，首先要进行合理变形，转化为较易求导的结构形式，再求导数，但必须等价变形．
[跟进训练]
3．已知f1(x)＝sin
x＋cos
x，记f2(x)＝f1′(x)，f3(x)＝f2′(x)，…，fn(x)＝fn－1′(x)(n∈N＋，n≥2)，则f1＋f2＋…＋f2
021＝________．
1 [f2(x)＝cos
x－sin
x，f3(x)＝－sin
x－cos
x，f4(x)＝－cos
x＋sin
x，f5(x)＝sin
x＋cos
x，
以此类推，可得出fn(x)＝fn＋4(x)，
又∵f1(x)＋f2(x)＋f3(x)＋f4(x)＝0，
∴f1＋f2＋…＋f2
021＝f1＝1．]
运用基本初等函数的导数公式和求导的运算法则时，要认真分析函数式的结构特点，较复杂的要先化简，再求导，尽量将函数化成和或差的形式，避免运用积或商的求导法则．
1．设f(x)＝xln
x，若f′(x0)＝2，则x0＝( )
A．e2 B．e C． D．ln
2
B [由题意得f′(x0)＝1＋ln
x0＝2，解得x0＝e．]
2．曲线y＝x2＋3x在点A(2,10)处的切线的斜率是( )
A．4
B．5
C．6
D．7
D [由导数的几何意义知，曲线y＝x2＋3x在点A(2,10)处的切线的斜率就是函数y＝x2＋3x在x＝2时的导数，y′|x＝2＝7，故选D．]
3．若函数f(x)＝excos
x，则此函数图象在点(1，f(1))处的切线的倾斜角为( )
A．0
B．锐角
C．直角
D．钝角
D [由已知得f′(x)＝excos
x－exsin
x＝ex(cos
x－sin
x)．
∴f′(1)＝e(cos
1－sin
1)．
∵>1>，而由正、余弦函数性质可得cos
11．
∴f′(1)<0．即f(x)在(1，f(1))处的切线的斜率k<0．
∴切线倾斜角是钝角．]
4．曲线y＝x3－x＋3在点(1,3)处的切线方程为________．
2x－y＋1＝0 [y′＝3x2－1，当x＝1时，y′＝2，此时k＝2，故切线方程为y－3＝2(x－1)，即2x－y＋1＝0．]
5．已知函数f(x)＝x＋＋b(x≠0)，其中a，b∈R．若曲线y＝f(x)在点P(2，f(2))处的切线方程为y＝3x＋1，求函数f(x)的解析式．
[解] f′(x)＝1－，由导数的几何意义得f′(2)＝3，于是a＝－8．
由切点P(2，f(2))在直线y＝3x＋1上，
可得f(2)＝2－＋b＝－2＋b＝7，解得b＝9．
所以函数f(x)的解析式为f(x)＝x－＋9．
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