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课后素养落实(十五) 简单复合函数的求导法则
(建议用时：40分钟)
一、选择题
1．下列函数不是复合函数的是( )
A．y＝－x3－＋1
B．y＝cos
C．y＝
D．y＝(2x＋3)4
A [A中的函数是一个多项式函数，B中的函数可看作函数u＝x＋，y＝cos
u的复合函数，C中的函数可看作函数u＝ln
x，y＝的复合函数，D中的函数可看作函数u＝2x＋3，y＝u4的复合函数，故选A．]
2．函数y＝(2
020－8x)8的导数为( )
A．y′＝8(2
020－8x)7
B．y′＝－64x
C．y′＝64(8x－2
020)7
D．y′＝64(2
020－8x)7
C [y′＝8(2
020－8x)7·(2
020－8x)′＝－64(2
020－8x)7＝64(8x－2
020)7．]
3．函数y＝x2cos
2x的导数为( )
A．y′＝2xcos
2x－x2sin
2x
B．y′＝2xcos
2x－2x2sin
2x
C．y′＝x2cos
2x－2xsin
2x
D．y′＝2xcos
2x＋2x2sin
2x
B [y′＝(x2)′cos
2x＋x2(cos
2x)′＝2xcos
2x＋x2(－sin
2x)·(2x)′＝2xcos
2x－2x2sin
2x．]
4．下列各式中正确的是( )
A．(e2x)′＝e2x
B．(ln
2|x|)′＝
C．(sin
2x)′＝cos
2x
D．(cos
2x)′＝－sin
2x
[答案] B
5．某市在一次降雨过程中，降雨量y(mm)与时间t(min)的函数关系可近似地表示为y＝f(t)＝，则在时刻t＝40
min的降雨强度为( )
A．20
mm
B．400
mm
C．
mm/min
D．
mm/min
D [f′(t)＝×10＝，∴f′(40)＝＝．]
二、填空题
6．函数f(x)＝xex－1在点(1,1)处切线的斜率等于________．
2 [函数的导数为f′(x)＝ex－1＋xex－1＝(1＋x)ex－1，
当x＝1时，f′(1)＝2，即曲线y＝xex－1在点(1,1)处切线的斜率k＝f′(1)＝2．]
7．已知直线y＝x＋1与曲线y＝ln(x＋a)相切，则a的值为________．
2 [设切点为(x0，y0)，则y0＝x0＋1，且y0＝ln(x0＋a)，
所以x0＋1＝ln(x0＋a)．①
对y＝ln(x＋a)求导得y′＝，则＝1，即x0＋a＝1．②
②代入①可得x0＝－1，所以a＝2．]
8．设曲线f(x)＝ax－ln(x＋1)在点(1，f(1))处的切线与y＝x平行，则a＝________．
1 [f′(x)＝a－，
由题意得f′(1)＝，即a－＝，所以a＝1．]
三、解答题
9．求下列函数的导数．
(1)y＝(2x2－x＋1)4；
(2)y＝x；
(3)y＝xln(1－x)．
[解] (1)y′＝4(2x2－x＋1)3(2x2－x＋1)′＝4(2x2－x＋1)3(4x－1)．
(2)y′＝＋x[(1＋x2)eq
\s\up12()]′＝＋x··(1＋x2)eq
\s\up12(－)
(1＋x2)′
＝＋x··(1＋x2)eq
\s\up12(－)·2x
＝＋＝．
(3)y′＝x′ln(1－x)＋x[ln(1－x)]′＝ln(1－x)＋x·＝ln(1－x)－．
10．已知曲线C1：y＝x2与C2：y＝－(x－2)2，直线l与C1，C2都相切，求直线l的方程．
[解] 设l与C1相切于点P(x1，x)，与C2相切于点Q(x2，－(x2－2)2)．
对于C1：y′＝2x，则与C1相切于点P的切线方程为y－x＝2x1(x－x1)，即y＝2x1x－x，
对于C2：y′＝－2(x－2)，则与C2相切于点Q的切线方程为y＋(x2－2)2＝－2(x2－2)(x－x2)，
即y＝－2(x2－2)x＋x－4．
∵两切线重合，∴2x1＝－2(x2－2)，且－x＝x－4．
解得x1＝0，x2＝2或x1＝2，x2＝0．
∴直线l的方程为y＝0或y＝4x－4．
11．已知f(x)为奇函数，且f(x)＝logax(x＞0，a＞0，a≠1)，则当x＜0时，f′(x)＝( )
A． B．－
C． D．－
B [当x＜0时，f(x)＝－loga(－x)，所以当x＜0时，f′(x)＝－．
]
12．已知函数f(x)＝，若|f(x)|≥ax，则a的取值范围是( )
A．(－∞，0] B．(－∞，1]
C．[－2,1] D．[－2,0]
D [由题意可作出函数y＝|f(x)|的图象和函数y＝ax的图象，
由图象可知，函数y＝ax的图象为过原点的直线，当直线介于l和x轴之间符合题意，
直线l为曲线的切线，且此时函数y＝|f(x)|在第二象限的部分解析式为y＝x2－2x，
求其导数可得y′＝2x－2，因为x≤0，故y′≤－2，故直线l的斜率为－2，
故只需直线y＝ax的斜率a介于－2与0之间即可，即a∈[－2,0]．故选D．]
13．(多选题)已知f(x)＝，则下列各式中正确的是( )
A．f′(1)＝0
B．f′(－1)＝－f′(3)
C．y＝f′(x)的图象关于点(1,0)中心对称
D．y＝f′(x)的图象关于直线x＝1轴对称
ABC [f′(x)＝，易知A，B正确，
因为f′(2－x)＝＝－f′(x)，所以C正确，D错误．]
14．[一题两空]若曲线y＝(x－1)α＋1在点(2,2)处的切线经过坐标原点，则α＝________，在原点处的切线为________．
1 x－y＝0 [y′＝α(x－1)α－1，由题意得α(2－1)α－1＝，所以α＝1．
所以在原点处的切线的斜率k＝(0－1)1－1＝1，由点斜式得，在原点处的切线为y＝x，即x－y＝0．]
15．设f(x)是定义在R上的奇函数，且当x≥0时，f(x)＝2x2．
(1)求x<0时，f(x)的表达式；
(2)令g(x)＝ln
x，问是否存在x0，使得f(x)，g(x)在x＝x0处的切线互相平行？若存在，请求出x0的值；若不存在，请说明理由．
[解] (1)当x<0时，－x>0，
f(x)＝－f(－x)＝－2(－x)2＝－2x2．
(2)若f(x)，g(x)在x＝x0处的切线互相平行，
则f′(x0)＝g′(x0)，又由题知x>0，
则f′(x0)＝4x0＝g′(x0)＝，解得x0＝±，
∵x>0，∴x0＝．
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§5 简单复合函数的求导法则
第二章 导数及其应用
情境导学·探新知
NO.1
1
2
3
4
1
2
3
4
1
2
3
4
1
2
3
4
合作探究·释疑难
NO.2
类型1
类型2
类型3
当堂达标·夯基础
NO.3
1
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§5 简单复合函数的求导法则
学
习
任
务
核
心
素
养
1．了解复合函数的求导法则．(重点)2．能求简单复合函数的导数．(难点)
通过求简单复合函数的导数，培养数学运算素养．
已知y＝(3x＋2)2，y＝sin．
问题1：这两个函数是复合函数吗？
[提示] 是复合函数．
问题2：试说明y＝(3x＋2)2如何复合成的．
[提示] 函数y＝(3x＋2)2是由外层函数y＝u2与内层函数u＝3x＋2复合成的．
问题3：任意两个函数都能复合吗？
[提示] 只有外函数y＝f(u)的定义域与内函数u＝φ(x)的值域的交集非空时，才能复合．
问题4：复合函数的导数与构成这个复合函数内、外层函数的导数有什么关系？
[提示] 由
＝
·＝
·
可得，[f(φ(x))]′＝f′(u)φ′(x)．
1．复合函数的概念
对于两个函数y＝f(u)和u＝φ(x)＝ax＋b，给定x的一个值，就得到了u的值，进而确定了y的值，那么y可以表示成x的函数，称这个函数为函数y＝f(u)和u＝φ(x)的复合函数，记作y＝f(φ(x))，其中u为中间变量．
2．复合函数的求导法则
复合函数y＝f(φ(x))的导数为：y′x＝[f(φ(x))]′＝f′(u)φ′(x)，其中u＝φ(x)．
如何求复合函数y＝f(φ(x))的定义域？
[提示] 由内函数u＝φ(x)的值域包含于外函数y＝f(u)的定义域所求得的x的取值集合就是复合函数y＝f(φ(x))的定义域．
1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)复合函数y＝f(φ(x))的定义域就是内函数u＝φ(x)的定义域．
( )
(2)复合函数y＝f(φ(x))的定义域就是内函数u＝φ(x)的值域．
( )
(3)复合函数y＝f(φ(x))的定义域就是外函数y＝f(u)的定义域．
( )
[答案] (1)× (2)× (3)×
2．函数y＝的导数是( )
A．
B．
C．－
D．－
C [∵y＝＝(3x－1)－2，∴y′＝－2(3x－1)－3·(3x－1)′＝－6(3x－1)－3＝－．]
3．已知f(x)＝cos
2x，则f
′等于________．
－2 [由f
′(x)＝－2sin
2x得，f
′＝－2．]
4．已知函数f(x)＝(2x＋1)5，求f′(0)的值．
[解] f′(x)＝5(2x＋1)4·(2x＋1)′＝10(2x＋1)4，
∴f′(0)＝10．
类型1 复合函数的概念
【例1】 函数y＝可以看成哪两个函数的复合？
[解] 函数y＝可以看成函数y＝与函数u＝(2x＋1)2的复合，也可以看成函数y＝与函数u＝2x＋1的复合．
1．不是任意两个函数都能复合，只有内函数的值域与外函数的定义域的交集非空时，才能复合．
2．一个复合函数有不同的复合形式，要根据研究的需要进行选择．
[跟进训练]
1．函数y＝e2x－1可以看成哪两个函数的复合？
[解] 函数y＝e2x－1可以看成函数y＝eu与函数u＝2x－1的复合．
类型2 简单的复合函数求导
【例2】 求下列函数的导数：
(1)y＝sin
3x；
(2)y＝；
(3)y＝lg(2x2＋3x＋1)；
(4)y＝sin2
[思路点拨] 先分析复合函数的复合过程，然后运用复合函数的求导法则求解．
[解] (1)设y＝sin
u，u＝3x，
则y′x＝y′u·u′x＝(sin
u)′·(3x)′＝cos
u·3＝3cos
3x；
(2)设y＝ueq
\s\up12(－)，u＝1－2x2，
则y′x＝y′u·u′x＝eq
\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(u))eq
\s\up12(′)·(1－2x2)′
＝－ueq
\s\up12(－)·(－4x)
＝－(1－2x2)eq
\s\up12(－)
(－4x)＝2x(1－2x2)eq
\s\up12(－)；
(3)设y＝lg
u，u＝2x2＋3x＋1，
则y′x＝y′u·u′x＝(lg
u)′·(2x2＋3x＋1)′＝·(4x＋3)＝；
(4)设y＝u2，u＝sin
v，v＝2x＋．
则y′x＝y′u·u′v·v′x＝2u·cos
v·2＝2sin
v·cos
v·2＝2sin
2v＝2sin．
1．求复合函数的导数的步骤
2．求复合函数的导数的注意点
(1)内、外层函数通常为基本初等函数．
(2)求每层函数的导数时注意分清是对哪个变量求导，这是求复合函数导数时的易错点．
[跟进训练]
2．求下列函数的导数：
(1)y＝ln(6x＋4)；(2)y＝e2x＋1；(3)y＝；(4)y＝sin．
[解] (1)y′＝·(6x＋4)′＝；
(2)y′＝e2x＋1·(2x＋1)′＝2e2x＋1；
(3)y′＝·(2x－1)′＝
；
(4)y′＝cos·＝3cos．
类型3 求导法则的综合应用
【例3】 某港口在一天24小时内潮水的高度近似满足关系s(t)＝3sin(0≤t≤24)，其中s的单位是m，t的单位是h，求函数在t＝18时的导数，并解释它的实际意义．
[解] 设f(x)＝3sin
x，x＝φ(t)＝t＋．
由复合函数求导法则得s′(t)＝f′(x)·φ′(t)＝3cos
x·＝cos．
将t＝18代入s′(t)得，s′(18)＝cos＝(m/h)．
它表示当t＝18
h时，潮水的高度上升的速度为
m/h．
将复合函数的求导与导数的实际意义结合，旨在巩固函数在某点处的导数反映了函数在该点的瞬时变化率，体现导数揭示物体某时刻的变化状况．
[跟进训练]
3．一听汽水放入冰箱后，其摄氏温度x(单位：℃)随时间t(单位：h)的变化满足关系：x＝4＋16e－2t．
(1)求汽水温度x在t＝1处的导数；
(2)已知摄氏温度x与华氏温度y之间具有如下函数关系x＝y－32．写出y关于t的函数解析式，并求y关于t的函数的导数．
[解] x′＝－32e－2t．
(1)当t＝1时，x′＝－．
(2)y＝(x＋32)＝(16e－2t＋36)，
y′＝e－2t×(－2)＝－e－2t．
求复合函数的导数应处理好以下环节：
(1)中间变量的选择应是基本初等函数结构；
(2)正确分析函数的复合层次；
(3)一般是从最外层开始，由外及里，一层层地求导；
(4)善于把一部分表达式作为一个整体；
(5)最后要把中间变量换成自变量的函数．
1．已知函数f(x)在x＝1处的导数为3，则f(x)的解析式可能为( )
A．f(x)＝(x－1)3＋3(x－1)
B．f(x)＝2(x－1)
C．f(x)＝2(x－1)2
D．f(x)＝x－1
[答案] A
2．若f(x)＝ax4＋bx2＋c满足f′(1)＝2，则f′(－1)＝( )
A．－4 B．－2 C．2 D．4
B [∵f′(x)＝4ax3＋2bx，∴y＝f′(x)是奇函数，
∴f′(－1)＝－f′(1)＝－2．]
3．若f(x)＝tan
2x，则f′＝( )
A．－4
B．4
C．－8
D．8
D [因为f′(x)＝，所以f′＝8．]
4．f(x)＝，且f′(1)＝1，则a的值为________．
2 [∵f′(x)＝·(ax－1)′＝，
∴f′(1)＝＝1．解得a＝2．]
5．求曲线y＝e－5x＋2在点(0,3)处的切线方程．
[解] 因为y′＝－5e－5x，所以y′|x＝0＝－5，
由点斜式得，曲线y＝e－5x＋2在点(0,3)处的切线方程为y－3＝－5x，
即5x＋y－3＝0．
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