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§6 用导数研究函数的性质
6.1 函数的单调性
第二章 导数及其应用
情境导学·探新知
NO.1
单调递增
单调递减
常数函数
1
2
3
4
1
2
3
4
1
2
3
4
1
2
3
4
合作探究·释疑难
NO.2
类型1
类型2
类型3
当堂达标·夯基础
NO.3
1
2
3
4
5
1
2
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反思领悟
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课后素养落实(十六) 函数的单调性
(建议用时：40分钟)
一、选择题
1．函数f(x)＝x3－3x2＋1的单调递减区间为( )
A．(2，＋∞)
B．(－∞，2)
C．(－∞，0)
D．(0,2)
D [f′(x)＝3x2－6x＝3x(x－2)，令f′(x)<0，得0
2．函数y＝f(x)的图象如图所示，则y＝f′(x)的图象可能是( )
A B
C D
D [由f(x)的图象知，f(x)在(－∞，0)上单调递增，在(0，＋∞)上单调递减，∴在(0，＋∞)上f
′(x)＜0，在(－∞，0)上f
′(x)＞0，故选D．]
3．若函数h(x)＝2x－在(1，＋∞)上是增函数，则实数k的取值范围是( )
A．[－2，＋∞)
B．[2，＋∞)
C．(－∞，－2]
D．(－∞，2]
A [根据条件得h′(x)＝2＋＝≥0在(1，＋∞)上恒成立，即k≥－2x2在(1，＋∞)上恒成立，所以k∈[－2，＋∞)．]
4．已知函数f(x)＝－ln
x，则有( )
A．f(2)B．f(e)C．f(3)D．f(e)C [因为在区间(0,4)上，f′(x)＝－＜0，
所以f(x)在(0,4)上是减函数，
所以有f(2)＞f(e)＞f(3)．]
5．对于R上可导的任意函数f(x)，若满足≤0，则必有( )
A．f(1)＋f(3)＜2f(2)
B．f(1)＋f(3)≤2f(2)
C．f(1)＋f(3)＞2f(2)
D．f(1)＋f(3)≥2f(2)
C [当x＞2时，f′(x)≥0，则函数f(x)单调递增，所以有f(3)＞f(2)；
当x＜2时，f′(x)≤0，则函数f(x)单调递减，所以有f(1)＞f(2)，
所以f(1)＋f(3)＞2f(2)，故选C．]
二、填空题
6．函数f(x)＝x－2sin
x在(0，π)上的单调递增区间为________．
[令f′(x)＝1－2cos
x>0，则cos
x<．
又x∈(0，π)，解得所以函数f(x)在(0，π)上的单调递增区间为．]
7．函数f(x)＝x＋(b>0)的单调递减区间为________．
(－，0)和(0，) [函数f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，f′(x)＝1－，
令f′(x)<0，则(x＋)(x－)<0，
∴－∴函数的单调递减区间为(－，0)和(0，)．]
8．
若函数f(x)＝ex－ax－1在区间(－2,3)上为减函数，则a的取值范围为________．
[e3，＋∞) [由题意知，f′(x)＝ex－a≤0在(－2,3)上恒成立．
∴a≥ex在x∈(－2,3)上恒成立．
∵－2当a＝e3时，f′(x)＝ex－e3在x∈(－2,3)上，f′(x)<0，
即f(x)在(－2,3)上为减函数，
∴a≥e3．]
三、解答题
9．设f(x)＝－x3＋x2＋2ax．若f(x)在上存在单调递增区间，求a的取值范围．
[解] f′(x)＝－x2＋x＋2a＝－＋＋2a，
当x∈时，f′(x)的最大值为f′＝＋2a．
函数有单调递增区间，即在内，导函数大于零有解，
令＋2a>0，得a>－．
所以当a∈时，f(x)在上存在单调递增区间．
所以a的取值范围是．
10．设函数f(x)＝ln(x＋a)＋x2，若f′(－1)＝0，求a的值，并讨论f(x)的单调性．
[解] f′(x)＝＋2x，
依题意，有f′(－1)＝0，故a＝．
从而f(x)的定义域为，f′(x)＝＝．
当－0；
当－1当x>－时，f′(x)>0．
从而f(x)分别在区间，上单调递增，在区间上单调递减．
11．设f(x)，g(x)分别为定义在R上的奇函数和偶函数，且g(x)≠0，当x<0时，f
′(x)g(x)＋f(x)g′(x)>0，且f(－2)＝0，则不等式f(x)g(x)<0的解集为( )
A．(－2,0)∪(0,2)
B．(－2,0)∪(2，＋∞)
C．(－∞，－2)∪(0,2)
D．(－2，－∞)∪(2，＋∞)
C [设φ(x)＝f(x)g(x)，由题意知，φ(x)为奇函数．
∵f(－2)＝0，
∴φ(－2)＝f(－2)·g(－2)＝0，
∴φ(2)＝0，
∵x<0时，φ′(x)＝f
′(x)g(x)＋f(x)g′(x)>0，
∴φ(x)在(－∞，0)上为增函数，
∴φ(x)在(0，＋∞)上为增函数，
故使f(x)g(x)<0成立的x的取值范围是x<－2或012．(2020·全国Ⅰ卷)若2a＋log2a＝4b＋2log4b，则( )
A．a>2b
B．a<2b
C．a>b2
D．aB [令f(x)＝2x＋log2x，因为y＝2x在(0，＋∞)上单调递增，y＝log2x在(0，＋∞)上单调递增，所以f(x)＝2x＋log2x在(0，＋∞)上单调递增．又2a＋log2a＝4b＋2log4b＝22b＋log2b<22b＋log22b，所以f(a)13．(多选题)若函数y＝exf(x)(e＝2.718
28…是自然对数的底数)在f(x)的定义域上单调递增，则称函数y＝f(x)具有性质M．下列函数中，不具有性质M的是( )
A．f(x)＝2－x
B．f(x)＝x2
C．f(x)＝3－x
D．f(x)＝cos
x
BCD [设函数g(x)＝ex·f(x)，对于A，g(x)＝ex·2－x＝，在定义域R上为增函数，具有性质M．对于B，g(x)＝ex·x2，则g′(x)＝x(x＋2)ex，由g′(x)>0得x<－2或x>0，∴g(x)在定义域R上不是增函数，不具有性质M．对于C，g(x)＝ex·3－x＝在定义域R上是减函数，不具有性质M．对于D，g(x)＝ex·cos
x，则g′(x)＝excos，g′(x)>0在定义域R上不恒成立，不具有性质M．]
14．[一题两空]函数y＝xsin
x＋cos
x在(π，3π)内的单调递增区间为_________，单调递减区间为_________．
， [y′＝xcos
x，由y′>0，得x∈；由y′＜0，得x∈∪．]
15．设f(x)是定义在R上的奇函数，f(2)＝0，当x>0时，有<0恒成立，则不等式x2f(x)>0的解集是________．
(－∞，－2)∪(0,2) [∵当x>0时，＝<0，
∴φ(x)＝在(0，＋∞)上为减函数，又f(2)＝0，
即φ(2)＝0，
∴在(0，＋∞)上，当且仅当00，
此时x2f(x)>0．又f(x)为奇函数，∴h(x)＝x2f(x)也为奇函数，
由数形结合知x∈(－∞，－2)时f(x)>0．
故x2f(x)>0的解集为(－∞，－2)∪(0,2)．]
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§6 用导数研究函数的性质
6.1 函数的单调性
学
习
任
务
核
心
素
养
1．了解函数的单调性与导数的关系．(重点)2．能利用导数研究函数的单调性．(重点、难点)3．会求函数的单调区间．(难点)
1．借助对函数的单调性与导数的关系的探究，培养数学抽象与逻辑推理素养．2．通过导数在研究函数的单调性中的应用，培养数学运算素养．
已知函数(1)y1＝2x－1，(2)y2＝－2x－1，(3)y3＝2x，(4)y4＝，(5)y5＝log2x，(6)y6＝logeq
\s\do16()x．
问题1：求上面六个函数的导数．
[提示] (1)y1′＝2，(2)y2′＝－2，(3)y3′＝2xln
2，(4)y4′＝ln
＝－2－xln
2，(5)y5′＝，(6)y6′＝＝－．
问题2：试判断所求导数的符号．
[提示] (1)(3)(5)的导数为正，(2)(4)(6)的导数为负．
问题3：试判断上面六个函数的单调性．
[提示] (1)(3)(5)在定义域上是增加的，(2)(4)(6)在定义域上是减少的．
问题4：试探讨函数的单调性与其导函数正负的关系．
[提示] 当f′(x)>0时，f(x)单调递增，当f′(x)<0时，f(x)单调递减．
函数在区间(a，b)上的单调性与其导数的符号有如下关系
导数的正负
函数在(a，b)上的单调性
f′(x)＞0
单调递增
f′(x)＜0
单调递减
f′(x)＝0
常数函数
1．在某一区间上f′(x)>0(或f′(x)<0)是函数y＝f(x)在该区间上单调递增(或单调递减)的什么条件？
[提示] 充分不必要条件．
2．若在某个区间上有有限个(或无限个不连续)点使f′(x)＝0，而其余点恒有f′(x)>0(或f′(x)<0)，该函数在这个区间上是否仍是单调递增(或单调递减)的？
[提示] 是．
1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)若函数f(x)在(a，b)内单调递增，则一定有f′(x)>0．
( )
(2)若?x∈(a，b)，f′(x)>0，则函数f(x)在(a，b)内单调递增．
( )
(3)若?x∈(a，b)，f′(x)＝0，则函数f(x)在(a，b)内不单调．
( )
(4)已知f(x)是定义在R上的可导函数，若?x≥a，f(x)≥f(a)，则f′(a)≥0．
( )
[答案] (1)× (2)√ (3)× (4)√
2．下列函数中，在(0，＋∞)上单调递增的是( )
A．y＝sin
x
B．y＝x·ex
C．y＝x3－x
D．y＝ln
x－x
B [(sin
x)′＝cos
x，(x·ex)′＝ex＋x·ex＝(1＋x)·ex，(x3－x)′＝3x2－1，(ln
x－x)′＝－1，
当x∈(0，＋∞)时，只有(x·ex)′＝(1＋x)·ex>0．]
3．函数f(x)的导函数y＝f′(x)的图象如图，则函数f(x)的递增区间为________．
[－1,0]和[2，＋∞) [当－1≤x≤0或x≥2时f′(x)≥0，可得递增区间为[－1,0]和[2，＋∞)．]
4．证明函数f(x)＝x＋在(0,1]上单调递减．
[证明] f′(x)＝1－＝，∵x∈(0,1]，
∴x2－1≤0(当且仅当x＝1时等号成立)，
∴f′(x)≤0，∴f(x)＝x＋在(0,1]上单调递减．
类型1 求函数的单调区间
【例1】 求下列函数的单调区间：
(1)f(x)＝x2－ln
x；
(2)f(x)＝ax3－3x2＋1(a≠0)．
[解] (1)函数f(x)的定义域为(0，＋∞)．f′(x)＝2x－＝．
因为x>0，所以x＋1>0，由f′(x)>0，解得x>，
所以函数f(x)的单调递增区间为；
由f′(x)<0，解得x<，又x∈(0，＋∞)，
所以函数f(x)的单调递减区间为．
(2)由题设知a≠0．f′(x)＝3ax2－6x＝3ax，
令f′(x)＝0，得x1＝0，x2＝．
当a>0时，
若x∈(－∞，0)，则f′(x)>0，∴f(x)在区间(－∞，0)上为增函数．
若x∈，则f′(x)<0，∴f(x)在区间上为减函数．
若x∈，则f′(x)>0，∴f(x)在区间上是增函数．
当a<0时，
若x∈，则f′(x)<0，∴f(x)在上是减函数．
若x∈，则f′(x)>0，∴f(x)在区间上为增函数．
若x∈(0，＋∞)，则f′(x)<0，∴f(x)在区间(0，＋∞)上为减函数．
利用导数求函数f(x)的单调区间，实质上是转化为解不等式f′(x)>0或f′(x)<0．要特别注意的是，应先求出函数的定义域，在定义域内解不等式．
[跟进训练]
1．求下列函数的单调区间．
(1)f(x)＝；(2)f(x)＝x－＋a(2－ln
x)．
[解] (1)函数f(x)的定义域为(－∞，2)∪(2，＋∞)．
f′(x)＝＝．
因为x∈(－∞，2)∪(2，＋∞)，所以ex>0，(x－2)2>0．
令f′(x)>0，解得x>3，
所以函数f(x)的单调递增区间为(3，＋∞)；
令f′(x)<0，解得x<3，又x∈(－∞，2)∪(2，＋∞)，
所以函数f(x)的单调递减区间为(－∞，2)和(2,3)．
(2)定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝1＋－＝
,
考虑Δ＝a2－8，
①当Δ≤0即－2≤a≤2时，x2－ax＋2≥0恒成立，故f(x)在(0，＋∞)单调递增．
②当a＞2时，x2－ax＋2＝0的解x1＝
，x2＝，x1，x2＞0，
∴x2－ax＋2＞0的解集为∪；
x2－ax＋2＜0的解集为，
∴f(x)的单调递增区间为，；
单调递减区间为
③当a＜－2时，x1，x2＜0，∴?x∈(0，＋∞)，f′(x)＞0，
∴f(x)在(0，＋∞)单调递增．
类型2 已知函数单调性求参数范围
【例2】 若函数f(x)＝x3－ax2＋(a－1)x＋1在区间(1,4)内单调递减，在(6，＋∞)上单调递增，求实数a的取值范围．
[解] 法一：f′(x)＝x2－ax＋a－1，令f′(x)＝0得x＝1或x＝a－1．
当a－1≤1，即a≤2时，函数f(x)在(1，＋∞)内单调递增，不合题意．
当a－1>1，即a>2时，f(x)在(－∞，1)和(a－1，＋∞)上单调递增，在(1，a－1)上单调递减，
由题意知(1,4)?(1，a－1)且(6，＋∞)?(a－1，＋∞)，所以4≤a－1≤6，即5≤a≤7．
故实数a的取值范围为[5,7]．
法二：f′(x)＝(x－1)[x－(a－1)]．
∵在(1,4)内f′(x)≤0，
在(6，＋∞)内f′(x)≥0，且f′(x)＝0有一根为1，
作出y＝f′(x)的示意图如图所示，
则f′(x)＝0的另一根在[4,6]上．
∴即∴5≤a≤7．
故实数a的取值范围为[5,7]．
法三：f′(x)＝x2－ax＋a－1．
因为f(x)在(1,4)内单调递减，
所以f′(x)≤0在(1,4)上恒成立．即a(x－1)≥x2－1在(1,
4)上恒成立，
所以a≥x＋1，又因为2所以当a≥5时，f′(x)≤0在(1,
4)上恒成立．
因为f(x)在(6，＋∞)上单调递增，
所以f′(x)≥0在(6，＋∞)上恒成立，
所以a≤x＋1，又因为x＋1>7，
所以a≤7时，f′(x)≥0在(6，＋∞)上恒成立．
综上知5≤a≤7．
故实数a的取值范围为[5,7]．
1．利用导数法解决参数取值范围问题的两个基本思路
(1)将问题转化为不等式在某区间上的恒成立问题，即f′(x)≥0(或f′(x)≤0)恒成立，利用分离参数或函数性质求解参数范围，然后检验参数取“＝”时是否满足题意．
(2)先令f′(x)>0(或f′(x)<0)，求出参数的取值范围后，再验证参数取“＝”时f(x)是否满足题意．
2．恒成立问题的重要思路
(1)m≥f(x)恒成立?m≥f(x)max．
(2)m≤f(x)恒成立?m≤f(x)min．
[跟进训练]
2．已知函数f(x)＝ax3＋3x2－x＋1在R上是减函数，求实数a的取值范围．
[解] 函数f(x)的导数f′(x)＝3ax2＋6x－1．
由题设知f(x)在R上是减函数，
∴f′(x)≤0对x∈R恒成立，即3ax2＋6x－1≤0在R上恒成立，
∴∴a≤－3．
当a＝－3时，f′(x)＝－9x2＋6x－1＝－(3x－1)2≤0，有且仅有f′＝0，
故a的取值范围是(－∞，－3]．
类型3 单调性的应用
利用单调性比较大小
【例3】 已知函数y＝f(x)(x∈R)满足f′(x)>f(x)，则f(1)与ef(0)的大小关系是( )
A．f(1)B．f(1)>ef(0)
C．f(1)＝ef(0)
D．不能确定
B [令g(x)＝，则g′(x)＝＝>0，则函数g(x)在R上单调递增，所以有g(1)>g(0)，即>，所以可得f(1)>ef(0)，故选B．]
利用导数比较大小，其关键在于利用题目条件构造辅助函数，把比较大小的问题转化为先利用导数研究函数的单调性，进而根据单调性比较大小．
[跟进训练]
3．已知f(x)是定义在区间(0，＋∞)内的函数，其导函数为f′(x)，且不等式xf′(x)<2f(x)恒成立，则( )
A．4f(1)B．4f(1)>f(2)
C．f(1)<4f(2)
D．f(1)>4f(2)
B [设函数g(x)＝(x>0)，则g′(x)＝＝<0，
所以函数g(x)在(0，＋∞)上为减函数，
因此g(1)>g(2)，即>，
所以4f(1)>f(2)．]
利用单调性解不等式
【例4】 已知f(x)在R上是奇函数，且f′(x)为f(x)的导函数，对任意x∈R，均有f(x)>成立，若f(－2)＝2，则不等式f(x)>－2x－1的解集为( )
A．(－2，＋∞)
B．(2，＋∞)
C．(－∞，－2)
D．(－∞，2)
D [f(x)>?f′(x)－ln
2·f(x)<0．
令g(x)＝，则g′(x)＝，
∴g′(x)<0，则g(x)在(－∞，＋∞)上是减函数．
由f(－2)＝2，且f(x)在R上是奇函数，
得f(2)＝－2，则g(2)＝＝－，
又f(x)>－2x－1?>－＝g(2)，所以x<2．]
(1)此题构造函数的关键点有二：一是由f(x)>?f′(x)－ln
2·f(x)<0的结构特点，联想到导数乘除法运算，二是所求不等式所给予的“暗示”．所以，解此类题目一定要让条件与结论“对上话”．
(2)体会条件f(－2)＝2的作用：根据函数的奇偶性配合单调性求解．
[跟进训练]
4．函数f(x)的定义域为R，f(－1)＝2，对任意的x∈R，有f′(x)＞2，则f(x)＞2x＋4的解集是________．
(－1，＋∞) [令g(x)＝f(x)－(2x＋4)，
则g′(x)＝f′(x)－2＞0，
∴g(x)在(－∞，＋∞)上是增函数．
由f(－1)＝2，得g(－1)＝0，又f(x)＞2x＋4?g(x)>0，所以x>－1．即不等式f(x)＞2x＋4的解集是(－1，＋∞)．]
(1)在利用导数来讨论函数的单调性时，首先要确定函数的定义域，解决问题的过程中只能在定义域内通过讨论导数的符号来确定函数的单调区间．
(2)已知函数的单调性求参数的范围，这类问题往往转化为不等式的恒成立问题，即f′(x)≥0或f′(x)≤0在给定区间恒成立，从中求出参数范围，同时应注意能否取到等号需要单独验证．
1．函数f(x)＝x－sin
x在(0,2π)上是( )
A．增函数
B．减函数
C．在(0，π)上递增，在(π，2π)上递减
D．在(0，π)上递减，在(π，2π)上递增
A [f′(x)＝1－cos
x>0，∴f(x)在(0,2π)上递增．]
2．函数f(x)＝x2－2ln
x的递减区间是( )
A．(0,1]
B．[1，＋∞)
C．(－∞，－1)，(0,1)
D．[－1,0)，(0,1]
A [函数的定义域为(0，＋∞)，又f′(x)＝2x－＝，
由f′(x)≤0，解得0＜x≤1．]
3．若f(x)＝，eA．f(a)>f(b)
B．f(a)＝f(b)
C．f(a)D．f(a)与f(b)的大小关系不确定
A [f′(x)＝，当x>e时，f′(x)<0，则f(x)在(e，＋∞)上为减函数，所以f(a)>f(b)．]
4．已知函数f(x)＝在(－2，＋∞)内单调递减，则实数a的取值范围为________．
[f′(x)＝＝，
由函数f(x)在(－2，＋∞)内单调递减知，f′(x)≤0在(－2，＋∞)内恒成立，即≤0在(－2，＋∞)内恒成立，
因此a≤．又当a＝时，f(x)＝＝为常数函数，
所以不符合题意，所以a的取值范围是．]
5．证明函数f(x)＝在区间(0,2)上单调递增．
[证明] 由于f(x)＝(x＞0)，
所以f′(x)＝＝，
由于0x2<1，
故f′(x)＝>0，
所以函数在区间(0,2)上单调递增．
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