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§6 用导数研究函数的性质
6.2 函数的极值
第二章 导数及其应用
情境导学·探新知
NO.1
小于
极大值
大于
极值
极值点
单调递增
单调递减
单调递减
单调递增
1
2
3
4
1
2
3
4
1
2
3
4
1
2
3
4
合作探究·释疑难
NO.2
类型1
类型2
类型3
当堂达标·夯基础
NO.3
1
2
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4
5
1
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解析答案
反思领悟
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6.2 函数的极值
学
习
任
务
核
心
素
养
1．了解函数在某点取得极值的必要条件与充分条件．(重点)2．会利用导数求函数的极大值、极小值．(难点)
1．借助函数的导数与极值关系的探究，培养数学抽象与逻辑推理素养．2．通过利用导数求函数的极大值、极小值，培养数学运算素养．
已知y＝f(x)，y＝g(x)的图象．
问题1：对于f(x)在(a，x0)，(x0，b)上，其单调性与导函数的符号有何特点？
[提示] f(x)在(a，x0)上增加，导数大于零，在(x0，b)上减少，导数小于零．
问题2：观察y＝f(x)的图象，在区间(a，b)内，函数值f(x0)有何特点？
[提示] f(x0)在(a，b)内最大．
问题3：函数值f(x0)在定义域内还是最大吗？
[提示] 不一定．
问题4：函数y＝g(x)在(a，b)上，结论如何？
[提示] 与y＝f(x)在(a，b)上结论相反．
1．函数极值的概念
(1)极大值：在包含x0的一个区间(a，b)内，函数y＝f(x)在任何不为x0的一点处的函数值都小于点x0处的函数值，称点x0为函数y＝f(x)的极大值点，其函数值f(x0)为函数的极大值．
(2)极小值：在包含x0的一个区间(a，b)内，函数y＝f(x)在任何不为x0的一点处的函数值都大于点x0处的函数值，称点x0为函数y＝f(x)的极小值点，其函数值f(x0)为函数的极小值．
(3)极值：极大值与极小值统称为极值，极大值点与极小值点统称为极值点．
2．函数的单调性与极值
(1)如果函数y＝f(x)在区间(a，x0)内单调递增，在区间(x0，b)内单调递减，则x0是极大值点，f(x0)是极大值．
(2)如果函数y＝f(x)在区间(a，x0)内单调递减，在区间(x0，b)内单调递增，则x0是极小值点，f(x0)是极小值．
函数的极大值一定比极小值大吗？
[提示] 不一定．
1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)x＝0是函数y＝x3的极值点．
( )
(2)可导函数一定存在极值．
( )
(3)若f′(x0)＝0，则x＝x0是函数y＝f(x)的极值点．
( )
(4)若x＝x0是函数y＝f(x)的极值点，则f′(x0)＝0．
( )
[答案] (1)× (2)× (3)× (4)√
2．设函数f(x)＝xex，则( )
A．x＝1为f(x)的极大值点
B．x＝1为f(x)的极小值点
C．x＝－1为f(x)的极大值点
D．x＝－1为f(x)的极小值点
D [求导得f′(x)＝ex＋xex＝ex(x＋1)，令f′(x)＝ex(x＋1)＝0，解得x＝－1，易知x＝－1是函数f(x)的极小值点．]
3．已知函数y＝3x－x3＋m的极大值为10，则m的值为________．
8 [y′＝3－3x2＝3(1＋x)(1－x)，令y′＝0得x1＝－1，x2＝1，经判断知x＝1是极大值点，
故f(1)＝2＋m＝10，m＝8．]
4．已知x＝－2是函数f(x)＝(x2＋ax－1)·ex－1的极值点，求f(x)的极小值．
[解] f′(x)＝[x2＋(a＋2)x＋a－1]·ex－1，
则f′(－2)＝[4－2(a＋2)＋a－1]·e－3＝0，解得a＝－1，
则f(x)＝(x2－x－1)·ex－1，f′(x)＝(x2＋x－2)·ex－1，
又ex－1>0恒成立，令f′(x)＝0，得x＝－2或x＝1，
当x<－2或x>1时，f′(x)>0；当－2
所以x＝1是函数f(x)的极小值点，
则f(x)的极小值为f(1)＝－1．
类型1 求函数的极值
【例1】 求下列函数的极值：
(1)f(x)＝x3－3x2－9x＋2；
(2)f(x)＝．
[思路点拨] 利用函数极值的定义求出函数的极值点，进而求出极值．
[解] (1)函数f(x)＝x3－3x2－9x＋2的定义域为R，且f′(x)＝3x2－6x－9．
解方程f′(x)＝0，得x1＝－1，x2＝3．
当x变化时，f′(x)与f(x)的变化情况如下表：
x
(－∞，－1)
－1
(－1,3)
3
(3，＋∞)
f′(x)
＋
0
－
0
＋
f(x)
↗
极大值
↘
极小值
↗
因此，x＝－1是函数的极大值点，极大值为f(－1)＝7；x＝3是函数的极小值点，极小值为f(3)＝－25．
(2)函数f(x)＝的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，
当x＞0时，f(x)＝，且f′(x)＝，
令f′(x)＝0，得x＝e．
当x变化时，f′(x)与f(x)的变化情况如下表：
x
(0，e)
e
(e，＋∞)
f′(x)
＋
0
－
f(x)
↗
极大值
↘
因此，x＝e是函数的极大值点，极大值为f(e)＝．
又因为f(x)＝是奇函数，所以x＝－e是函数的极小值点，极小值为f(－e)＝－．
运用导数求函数f(x)极值的一般步骤
(1)确定函数的定义域；(2)求导数f′(x)；(3)解方程f′(x)＝0，求出函数定义域内的所有根；(4)列表检验f′(x)在f′(x)＝0的根x0左右两侧值的符号；(5)求出极值．
[跟进训练]
1．求下列函数的极值：
(1)f(x)＝sin
x－cos
x＋x＋1(0(2)f(x)＝x2e－x．
[解] (1)由f(x)＝sin
x－cos
x＋x＋1知，f′(x)＝cos
x＋sin
x＋1＝1＋sin．
令f′(x)＝0，从而sin＝－，又0当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x
(0，π)
π
f′(x)
＋
0
－
0
＋
f(x)
↗
π＋2
↘
↗
因此，当x＝时，f(x)有极小值；当x＝π时，f(x)有极大值π＋2．
(2)f′(x)＝2xe－x－x2e－x，令f′(x)＝0，得x＝0或x＝2，当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x
(－∞，0)
0
(0,2)
2
(2，＋∞)
f′(x)
－
0
＋
0
－
f(x)
↘
0
↗
↘
所以f(x)的极小值是f(0)＝0，极大值是f(2)＝．
类型2 已知函数极值求参数的值
【例2】 已知f(x)＝ax3＋bx2＋cx(a≠0)在x＝±1处取得极值，且f(1)＝－1．
(1)试求常数a，b，c的值；
(2)试判断x＝±1是函数的极大值点还是极小值点，并说明理由．
[思路点拨] 本题求解的关键是利用x＝±1是f(x)的极值点，及f(1)＝－1，建立关于a，b，c的方程组，解出a，b，c．
[解] (1)f′(x)＝3ax2＋2bx＋c(a≠0)，
∵x＝±1是函数的极值点，
∴x＝±1是方程3ax2＋2bx＋c＝0的两根．
由根与系数的关系，得
又∵f(1)＝－1，∴a＋b＋c＝－1．③
由①②③解得a＝，b＝0，c＝－．
(2)由(1)得f(x)＝x3－x，
∴f′(x)＝x2－＝(x－1)(x＋1)．
令f′(x)>0，得x<－1或x>1；
令f′(x)<0，得－1∴函数f(x)在区间(－∞，－1)和(1，＋∞)上是增函数，在区间(－1,1)上是减函数．
因此，x＝－1是函数的极大值点；x＝1是函数的极小值点．
已知函数极值点或极值求参数的两个要领
(1)列式：根据极值点处导数为0和极值这两个条件列方程组．
(2)验证：因为某点处的导数值等于0不是此点为极值点的充要条件，所以求解后必须检验．
[跟进训练]
2．已知函数f(x)＝x3－x2＋ax－2．
(1)若函数的极大值点是－1，求a的值；
(2)若函数f(x)有两个极值点，求a的取值范围．
[解] (1)f′(x)＝x2－2x＋a，
由题意f′(－1)＝1＋2＋a＝0，
解得a＝－3，则f′(x)＝x2－2x－3，
经验证可知，f(x)在x＝－1处取得极大值，故a＝－3．
(2)由题意，方程x2－2x＋a＝0有两个不等的实根，
所以Δ＝(－2)2－4a＞0，解得a＜1，
故a的取值范围是(－∞，1)．
类型3 函数极值的应用
【例3】 设函数f(x)＝x3－3x＋1．
(1)求函数f(x)的单调区间和极值；
(2)若关于x的方程f(x)＝a有三个不同实根，求实数a的取值范围．
[思路点拨] 第(2)问可由(1)的结论，把问题转化为函数y＝f(x)与y＝a的图象有3个不同的交点，利用数形结合的方法来求解．
[解] (1)∵f′(x)＝3x2－3，令f′(x)＝0，解得x1＝－1，x2＝1，∴当x<－1或x>1时，f′(x)>0；当－1∴f(x)的单调递增区间为(－∞，－1)和(1，＋∞)；f(x)的单调递减区间为(－1,1)．
当x＝－1时，f(x)有极大值3；
当x＝1时，f(x)有极小值－1．
(2)由(1)得函数y＝f(x)的图象大致形状如图所示，
当－1所以方程f(x)＝a有三个不同的实根时，a的取值范围为(－1,3)．
求解方程解的个数问题的基本思想是将其转化为函数的零点问题，而函数的零点问题可通过研究函数的性质(单调性、极值等)，作出函数大致图象，然后通过函数图象得出其与x轴交点的个数，或者两个相关函数图象交点的个数．
[跟进训练]
3．已知函数f(x)＝ax3－3x2＋1，若f(x)存在唯一的零点x0，且x0＞0，则a的取值范围是( )
A．(2，＋∞)
B．(1，＋∞)
C．(－∞，－2)
D．(－∞，－1)
C [法一：由已知a≠0，f′(x)＝3ax2－6x，
令f′(x)＝0，得x＝0或x＝，
当a＞0时，x∈(－∞，0)时，f′(x)＞0，x∈时，f′(x)＜0；x∈时，f′(x)＞0，
又f(0)＝1＞0，所以f(x)存在小于0的零点，与题意矛盾．
当a＜0时，x∈，f′(x)＜0；x∈，f′(x)＞0；x∈(0，＋∞)，f′(x)＜0．
要使f(x)有唯一的零点x0，且x0＞0，只需f＞0，即a2＞4，
所以a＜－2．选C
法二：由已知a≠0，a＝－存在唯一的零点x0，且x0＞0，
令t＝，则y＝a与y＝－t3＋3t有唯一的交点，且交点在y轴右侧，
记g(t)＝－t3＋3t，则g′(t)＝－3t2＋3，
由g′(t)＝0得，t＝±1，
t∈(－∞，－1)，g′(t)＜0；t∈(－1,1)，g′(t)＞0；t∈(1，＋∞)，g′(t)＜0，
所以只需a＜g(－1)＝－2，选C．]
1．对于可导函数来说，y＝f(x)在极值点处的导数为0，但导数为0的点不一定是极值点．例如，函数y＝x3在x＝0处，f′(0)＝0，但x＝0不是函数的极值点．
2．可导函数f(x)在x0取得极值的充要条件是f′(x0)＝0，且在x0左侧与右侧，f′(x)的符号不同．
3．若函数y＝f(x)在(a，b)内有极值，则y＝f(x)在(a，b)内绝不是单调函数，即单调函数没有极值．
1．已知函数f(x)的定义域为(a，b)，导函数f′(x)在(a，b)上的图象如图所示，则函数f(x)在(a，b)上的极大值点的个数为( )
A．1 B．2 C．3 D．4
B [由导函数的图象可知，f′(x)在(a，b)上与x轴的交点个数为4，但是在原点附近的导数值恒大于零，故x＝0不是函数f(x)的极值点．其余的3个交点都是极值点，其中有2个点满足其附近的导数值左正右负，故极大值点有2个．]
2．已知函数f(x)＝x3＋ax2＋3x－9在x＝－3处取得极值，则a＝( )
A．2
B．3
C．4
D．5
D [f′(x)＝3x2＋2ax＋3，由题意得f′(－3)＝0，解得a＝5．]
3．设函数f(x)在R上可导，其导函数为f′(x)，且函数f(x)在x＝－2处取得极小值，则函数y＝x·f′(x)的图象可能是( )
A B C D
C [∵函数f(x)在R上可导，其导函数为f′(x)，且函数f(x)在x＝－2处取得极小值，
当x>－2时，f′(x)>0；当x＝－2时，f′(x)＝0；当x<－2时，f′(x)<0．
∴当x>0时，xf′(x)>0；当－20．
因此y＝xf′(x)的图象应为选项C．]
4．若函数f(x)＝x2＋(a－1)x－aln
x存在唯一的极值，则a的取值范围为________．
[0，＋∞) [f′(x)＝x－1＋a＝，令f′(x)＝0，解得x＝1或x＝－a．因为函数f(x)＝x2＋(a－1)x－aln
x存在唯一的极值，所以a≥0．]
5．已知x＝1是f(x)＝[x2－(a＋3)x＋2a＋3]ex的极小值点，求实数a的取值范围．
[解] f′(x)＝[x2－(a＋1)x＋a]ex＝(x－a)(x－1)ex．
令f′(x)＝0，得(x－a)(x－1)ex＝0．
设g(x)＝(x－1)(x－a)．
(1)当a＝1时，g(x)≥0，f′(x)≥0，f(x)没有极值．
(2)当a>1时，若x>a或x<1时，g(x)>0，f′(x)>0；
若1∴x＝1是函数f(x)的极大值点，不合题意．
(3)当a<1时，若x>1或x0，
若a所以x＝1是f(x)的极小值点，满足题意．
综上所述，实数a的取值范围是(－∞，1)．
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课后素养落实(十七) 函数的极值
(建议用时：40分钟)
一
、选择题
1．函数y＝x－ln(1＋x2)的极值情况是( )
A．有极小值
B．有极大值
C．既有极大值又有极小值
D．无极值
D [∵y′＝1－·(1＋x2)′＝1－＝≥0，∴函数y＝x－ln(1＋x2)无极值．
]
2．函数f(x)＝x2－ln
x的极值点为( )
A．0，1，－1
B．
C．－
D．，－
B [由已知，得f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝3x－＝，令f′(x)＝0，得x＝．当x>时，f′(x)>0；当03．函数f(x)＝x3－3bx＋3b在(0，1)内有极值，则( )
A．0
B．b<0
C．b>0
D．b<
A [f′(x)＝3x2－3b．因f(x)在(0，1)内有极值，所以f′(x)＝0有解，∴x＝±，∴0<<1，∴04．设三次函数f(x)的导函数为f′(x)，函数y＝xf′(x)的图象的一部分如图所示，则下列说法正确的是( )
A．f(x)的极大值为f()，极小值为f(－)
B．f(x)的极大值为f(－)，极小值为f()
C．f(x)的极大值为f(－3)，极小值为f(3)
D．f(x)的极大值为f(3)，极小值为f(－3)
D [由题图可知，
当x∈(－∞，－3)时，xf′(x)>0，即f′(x)<0；
当x∈(－3，0)时，xf′(x)<0，即f′(x)>0；
当x∈(0，3)时，xf′(x)>0，即f′(x)>0；
当x∈(3，＋∞)时，xf′(x)<0，即f′(x)<0．
故函数f(x)在x＝－3处取得极小值，在x＝3处取得极大值．]
5．已知f(x)＝ax3＋bx2＋c，其导函数f′(x)的图象如图所示，则函数f(x)的极大值是( )
A．－2a＋c B．－4a＋c
C．－3a D．c
B [由导函数f′(x)的图象知当00；当x>2时，f′(x)<0；当x＝2时，f′(x)＝0．又f′(x)＝3ax2＋2bx，所以b＝－3a，f(x)＝ax3－3ax2＋c，所以函数f(x)的极大值为f(2)＝－4a＋c，故选B．]
二、填空题
6．若函数f(x)＝在x＝1处取得极值，则a＝________．
3 [f′(x)＝＝，由题意得f′(1)＝＝0，解得a＝3．经检验，a＝3符合题意．]
7．已知函数f(x)＝x3－x2＋ax－a存在极值点x0，且f(x1)＝f(x0)，其中x1≠x0，则x1＋2x0＝________．
1 [由f(x)＝x3－x2＋ax－a，得f′(x)＝3x2－2x＋a．
∵x0为f(x)的极值点，知3x－2x0＋a＝0．①
因为f(x1)＝f(x0)，其中x1≠x0，
所以x－x＋ax1－a＝x－x＋ax0－a，
整理得x＋x1x0＋x－(x1＋x0)＋a＝0，
把a＝－3x＋2x0代入上述方程可得x＋x1x0＋x－(x1＋x0)－3x＋2x0＝0，
整理得x＋x1x0－2x＋x0－x1＝0，即(x1－x0)(x1＋2x0－1)＝0，
∵x1－x0≠0，∴x1＋2x0＝1．]
8．函数f(x)＝x3－3x＋2的零点个数为________．
2 [f′(x)＝3x2－3＝3(x－1)(x＋1)，可知f(x)在(－∞，－1)及(1，＋∞)上单调递增，在(－1，1)上单调递减，故f(x)的极大值为f(－1)＝4，极小值为f(1)＝0，其大致图象如图所示，零点个数为2．]
三、解答题
9．求下列函数的极值．
(1)f(x)＝x3－x2－3x＋4；
(2)f(x)＝x3ex．
[解] (1)∵f(x)＝x3－x2－3x＋4，∴f′(x)＝x2－2x－3．
令f′(x)＝0，得x1＝3，x2＝－1．
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如表所示：
x
(－∞，－1)
－1
(－1，3)
3
(3，＋∞)
f′(x)
＋
0
－
0
＋
f(x)
↗
极大值
↘
极小值
↗
∴x＝－1是f(x)的极大值点，x＝3是f(x)的极小值点．
∴f(x)极大值＝f(－1)＝，f(x)极小值＝f(3)＝－5．
(2)f′(x)＝3x2·ex＋x3·ex＝ex·x2(x＋3)，
由f′(x)＝0得x＝0或x＝－3．
当x变化时，f′(x)与f(x)的变化如表所示：
x
(－∞，－3)
－3
(－3，0)
0
(0，＋∞)
f′(x)
－
0
＋
0
＋
f(x)
↘
极小值
↗
无极值
↗
由表可知x＝－3是f(x)的极小值点．
f(x)极小值＝f(－3)＝－27e－3，函数无极大值．
10．已知函数f(x)＝16x3－20ax2＋8a2x－a3，其中a≠0，求f(x)的极值．
[解] ∵f(x)＝16x3－20ax2＋8a2x－a3，其中a≠0，
∴f′(x)＝48x2－40ax＋8a2＝8(6x2－5ax＋a2)＝8(2x－a)(3x－a)，
令f′(x)＝0，得x＝或x＝．
(1)当a>0时，<，则随着x的变化，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x
f′(x)
＋
0
－
0
＋
f(x)
↗
极大值
↘
极小值
↗
∴当x＝时，函数取得极大值f
＝；
当x＝时，函数取得极小值f
＝0．
(2)当a<0时，<，则随着x的变化，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x
f′(x)
＋
0
－
0
＋
f(x)
↗
极大值
↘
极小值
↗
∴当x＝时，函数取得极大值f
＝0；
当x＝时，函数取得极小值f
＝．
综上所述，当a>0时，函数f(x)在x＝处取得极大值f
＝，在x＝处取得极小值f
＝0；
当a<0时，函数f(x)在x＝处取得极大值f
＝0，在x＝处取得极小值f
＝．
11．设函数f(x)＝＋ln
x，则( )
A．x＝为f(x)的极大值点
B．x＝为f(x)的极小值点
C．x＝2为f(x)的极大值点
D．x＝2为f(x)的极小值点
D [∵f(x)＝＋ln
x(x＞0)，∴f′(x)＝－＋，令f′(x)＝0，则x＝2，当0＜x＜2时，f′(x)＜0；当x＞2时，f′(x)＞0，所以x＝2为f(x)极小值点，故选D．]
12．已知函数f(x)＝2ef′(e)ln
x－(e是自然对数的底数)，则f(x)的极大值为( )
A．2e－1 B．－
C．1 D．2ln
2
D [由题意知f′(x)＝－，∴f′(e)＝－，f′(e)＝，∴f′(x)＝－，令f′(x)＝0，得x＝2e．
∴f(x)在(0，2e)上递增，在(2e，＋∞)上递减，
∴f(x)的极大值为f(2e)＝2ln(2e)－2＝2ln
2．]
13．(多选题)已知f(x)＝x3－6x2＋9x－abc，a＜b＜c，且f(a)＝f(b)＝f(c)＝0，则下列结论正确的是( )
A．f(0)＜0
B．f(1)＞0
C．f(2)＞0
D．f(3)＜0
ABD [∵f(x)＝x3－6x2＋9x－abc，∴f′(x)＝3x2－12x＋9，
令f′(x)＝0，则x＝1或x＝3，
当x＜1时，f′(x)＞0；当1＜x＜3时，f′(x)＜0；当x＞3时，f′(x)＞0，
所以x＝1时，f(x)有极大值，当x＝3时，f(x)有极小值，
∴函数f(x)有三个零点，
∴f(1)＞0，f(3)＜0，且a＜1＜b＜3＜c，
又∵f(3)＝27－54＋27－abc，
∴abc＞0，即a＞0，
因此f(0)＜f(a)＝0．由于2与b的大小不能确定，所以f(2)＞0不正确．]
14．[一题两空]已知f(x)＝sin
x(1＋cos
x)(0＜x＜π)，则当x＝________时，f(x)取极大值，其极大值是________．
[f′(x)＝(2cos
x－1)(cos
x＋1)．
令f′(x)＝0，得cos
x＝或cos
x＝－1．
当0＜x＜π时，x＝．
当x在区间(0，π)内变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x
f′(x)
＋
0
－
f(x)
↗
极大值
↘
故当x＝时，f(x)有极大值为．]
15．若函数y＝f(x)存在n－1(n∈N
)个极值点，则称y＝f(x)为n折函数，例如f(x)＝x2为2折函数．已知函数f(x)＝(x＋1)ex－x(x＋2)2，则f(x)为( )
A．2折函数
B．3折函数
C．4折函数
D．5折函数
C [f′(x)＝(x＋2)ex－(x＋2)(3x＋2)＝(x＋2)(ex－3x－2)，令f′(x)＝0，得x＝－2或ex＝3x＋2．
易知x＝－2是f(x)的一个极值点，
又ex＝3x＋2，结合函数图象(图略)，y＝ex与y＝3x＋2有两个交点．
又e－2≠3×(－2)＋2＝－4．
所以函数y＝f(x)有3个极值点，则f(x)为4折函数．]
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