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课后素养落实(十八) 函数的最值
(建议用时：40分钟)
一、选择题
1．函数f(x)＝x3－3x，x∈(－1，1)( )
A．有最大值但无最小值
B．有最大值也有最小值
C．无最大值也无最小值
D．无最大值但有最小值
C [因为x∈(－1，1)，f′(x)＝3x2－3＜0，所以y＝f(x)在区间(－1，1)上单调递减，所以y＝f(x)在区间(－1，1)上无最大值也无最小值．]
2．函数f(x)＝ex(sin
x＋cos
x)在区间上的值域为( )
A．eq
\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(1,2)e))
B．eq
\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(1,2)e))
C．[1，eeq
\s\up12()]
D．(1，eeq
\s\up12())
A [f′(x)＝ex(sin
x＋cos
x)＋ex(cos
x－sin
x)＝excos
x，
当0≤x≤时，f′(x)≥0，∴f(x)在上是增函数．
∴f(x)的最大值为f
＝eeq
\s\up12()，f(x)的最小值为f(0)＝．]
3．若函数f(x)＝x3－3x在(a，6－a2)上有最小值，则实数a的取值范围是( )
A．(－，1)
B．[－，1)
C．[－2，1)
D．(－2，1)
C [f′(x)＝3x2－3，令f′(x)＞0?x＞1或x＜－1，所以f(x)在(－∞，－1)，(1，＋∞)单调递增，在(－1，1)单调递减，∴x＝1为函数的极小值点．因为函数f(x)在(a，6－a2)上有最小值，则函数f(x)的极小值点必在区间(a，6－a2)内，且左端点的函数值不小于f(1)，∴?∴a∈[－2，1)．]
4．已知函数f(x)＝－1＋ln
x，若存在x0>0，使得f(x0)≤0，则实数a的取值范围是( )
A．a>2
B．a<3
C．a≤1
D．a≥3
C [函数f(x)的定义域是(0，＋∞)，不等式－1＋ln
x≤0有解，即a≤x－xln
x在(0，＋∞)上有解．
令h(x)＝x－xln
x，则h′(x)＝－ln
x．
由h′(x)＝0，得x＝1．
当0
0，当x>1时，h′(x)<0．
故当x＝1时，函数h(x)＝x－xln
x取得最大值1，
所以要使不等式a≤x－xln
x在(0，＋∞)上有解，
只要a小于或等于h(x)的最大值即可，即a≤1．]
5．已知a∈R，设函数f(x)＝
若关于x的不等式f(x)≥0在R上恒成立，则a的取值范围为( )
A．[0，1]
B．[0，2]
C．[0，e]
D．[1，e]
C [当x≤1时，由f(x)＝x2－2ax＋2a≥0恒成立，
且f(x)关于x＝a对称．
所以当a≥1时，f(x)min＝f(1)＝1>0恒成立，
当a<1时，f(x)min＝f(a)＝2a－a2≥0，∴0≤a<1．
综上，a≥0．
当x>1时，由f(x)＝x－aln
x≥0恒成立，即a≤恒成立．
设g(x)＝，则g′(x)＝．
令g′(x)＝0，得x＝e，
且当1e时，g′(x)>0，
∴g(x)min＝g(e)＝e，∴a≤e．
综上，a的取值范围是0≤a≤e．]
二、填空题
6．若函数f(x)＝x3－3x－a在区间[0，3]上的最大值、最小值分别为m，n，则m－n＝________．
20 [∵f′(x)＝3x2－3，∴当x＞1或x＜－1时，f′(x)＞0；
当－1＜x＜1时，f′(x)＜0．
∴f(x)在[0，1]上单调递减，在[1，3]上单调递增．
∴f(x)min＝f(1)＝1－3－a＝－2－a＝n．又∵f(0)＝－a，f(3)＝18－a，
∴f(0)＜f(3)．
∴f(x)max＝f(3)＝18－a＝m，
∴m－n＝18－a－(－2－a)＝20．]
7．直线y＝b分别与直线y＝2x＋1和曲线y＝ln
x相交于点A，B，则|AB|的最小值为________．
1＋ [设两个交点分别为A，B(eb，b)，
则|AB|＝eb－．
令g(x)＝ex－，则g′(x)＝ex－．
由g′(x)＝0，得x＝－ln
2．
所以g(x)在区间(－∞，－ln
2)单调递减，在区间(－ln
2，＋∞)上单调递增，
∴g(x)min＝g(－ln
2)＝1＋．]
8．
若对任意a，b满足0ab，则t的最大值为________．
e [∵0ab，∴<，
令y＝，x∈(0，t)，则函数在(0，t)上单调递增，
故y′＝>0，解得0故t的最大值是e．]
三、解答题
9．已知k为实数，f(x)＝(x2－4)(x＋k)．
(1)求导函数f′(x)；
(2)若x＝－1是函数f(x)的极值点，求f(x)在区间[－2，2]上的最大值和最小值．
[解] (1)∵f(x)＝x3＋kx2－4x－4k，∴f′(x)＝3x2＋2kx－4．
(2)由f′(－1)＝0，得k＝－．
∴f(x)＝x3－x2－4x＋2，f′(x)＝3x2－x－4．
由f′(x)＝0，得x＝－1或x＝．
又f(－2)＝0，f(－1)＝，f
＝－，f(2)＝0，
∴f(x)在区间[－2，2]上的最大值为，最小值为－．
10．已知函数f(x)＝(x－k)ex．
(1)求f(x)的单调区间；
(2)求f(x)在区间[0，1]上的最小值．
[解] (1)f′(x)＝(x－k＋1)ex．令f′(x)＝0，得x＝k－1．
当x变化时，f(x)与f′(x)的变化情况如下：
x
(－∞，k－1)
k－1
(k－1，＋∞)
f′(x)
－
0
＋
f(x)
↘
－ek－1
↗
所以，f(x)的单调递减区间是(－∞，k－1)；单调递增区间是(k－1，＋∞)．
(2)当k－1≤0，即k≤1时，函数f(x)在[0，1]上单调递增，所以f(x)在区间[0，1]上的最小值为f(0)＝－k；
当0＜k－1＜1，即1＜k＜2时，由(1)知f(x)在[0，k－1]上单调递减，在(k－1，1]上单调递增，
所以f(x)在区间[0，1]上的最小值为f(k－1)＝－ek－1；
当k－1≥1，即k≥2时，函数f(x)在[0，1]上单调递减，所以f(x)在区间[0，1]上的最小值为f(1)＝(1－k)e．
11．设直线x＝t与函数f(x)＝x2，g(x)＝ln
x的图象分别交于点M，N，则当|MN|达到最小时的t值为( )
A．1 B． C． D．
D [将x＝t代入f(x)＝x2，g(x)＝ln
x中，得到点M，N的坐标分别为(t，t2)，(t，ln
t)，从而|MN|＝t2－ln
t(t＞0)，不妨令h(t)＝t2－ln
t，则h′(t)＝2t－，
令h′(t)＝0，解得t＝，
因t∈时，h′(t)＜0，当t∈时，h′(t)＞0，
所以当t＝时，|MN|达到最小．故选D．]
12．若x∈[0，＋∞)，则下列不等式恒成立的是( )
A．ex≤1＋x＋x2
B．≤1－x＋x2
C．cos
x≥1－x2
D．ln(1＋x)≥x－x2
C [设f(x)＝cos
x－＝cos
x－1＋x2，则f′(x)＝－sin
x＋x≥0(x≥0)，
所以，当x∈[0，＋∞)时，f(x)为增函数，所以f(x)≥f(0)＝0，即cos
x－≥0，
所以，cos
x≥1－x2，故选C．]
13．(多选题)已知函数f(x)＝excos
x－x，下列结论正确的是( )
A．曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程是y＝1
B．f(x)在区间上单调递减
C．f(x)在区间上的最小值为－
D．f(x)在区间上的最大值为1
ABCD [因为f(x)＝excos
x－x，所以f′(x)＝ex(cos
x－sin
x)－1，f′(0)＝0．又因为f(0)＝1，
所以曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为y＝1．
f′′(x)＝ex(cos
x－sin
x－sin
x－cos
x)＝－2exsin
x．
当x∈时，f′′(x)≤0，
所以f′(x)在区间上单调递减，
所以f′(x)≤f′(0)＝0，
所以f(x)在区间上单调递减．
因此f(x)在区间上的最大值为f(0)＝1，最小值为f
＝－．]
14．[一题两空]函数f(x)＝12x－x3在区间[－3，3]上的最小值是________，最大值是________．
－16 16 [由f′(x)＝12－3x2＝0，得x＝－2或x＝2．
又f(－3)＝－9，f(－2)＝－16，f(2)＝16，f(3)＝9，
∴函数f(x)在[－3，3]上的最小值为－16，最大值为16．]
15．已知函数f(x)＝2sin
x＋sin
2x，则f(x)的最小值是________．
－ [由题意可知，T＝2π是函数y＝f(x)的一个周期，故只需考虑y＝f(x)在[0，2π)上的最小值，
f′(x)＝2cos
x＋2cos
2x＝2cos
x＋2(2cos2x－1)＝2(2cos
x－1)(cos
x＋1)，
令f′(x)＝0，解得cos
x＝或cos
x＝－1，
此时x＝，π或，
f(x)的最小值只能在x＝，π或和边界点x＝0处取到，
计算可得f(0)＝0，f
＝，f(π)＝0，f
＝－，
所以f(x)的最小值为－．]
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6.3 函数的最值
学
习
任
务
核
心
素
养
会求闭区间上函数的最大值、最小值．(重点、难点)
通过求闭区间上函数的最大值、最小值，培养数学运算素养．
问题1：如何确定你班哪位同学最高？
[提示] 方法很多，可首先确定每小组中最高的同学，再比较每组的最高的同学，便可确定班中最高的同学．
问题2：上述方法，对你求函数最值有什么启发？
[提示] 先求极值，再由极值求最值．
1．最值点
(1)最大值点：函数y＝f(x)在区间[a，b]内的最大值点x0指的是：函数f(x)在这个区间内所有点处的函数值都不超过f(x0)．
(2)最小值点：函数y＝f(x)在区间[a，b]内的最小值点x0指的是：函数f(x)在这个区间内所有点处的函数值都不小于f(x0)．
(3)函数的最值或在极值点(也是导数的零点)取得，或者在区间的端点取得．
2．最值
函数的最大值与最小值统称为函数的最值．
函数的极值与最值有何区别？
[提示] 极值是函数在极值点的一个小领域的性质，最值是函数在定义域上的性质．
1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)一般地，连续函数f(x)在[a，b]上既有最大值，又有最小值．
( )
(2)函数的极值可以有多个，但最大(小)值最多只能有一个．
( )
(3)最大(小)值一定是函数的极大(小)值．
( )
(4)极大(小)值一定是函数的最大(小)值．
( )
[答案] (1)√ (2)√ (3)× (4)×
2．函数f(x)＝x＋在区间[－3，－1]上的最大值为( )
A．－2 B．－3 C．－ D．－
A [f′(x)＝1－，令f′(x)＝0得，x＝－，
当－3≤x≤－时，f′(x)≥0，函数f(x)单调递增；
当－≤x≤－1时，f′(x)≤0，函数f(x)单调递减，
所以，函数f(x)的最大值是f(－)＝－2．]
3．函数f(x)＝x3－3x2＋6x－10在区间[－1，1]上的最大值为________．
－6 [因为f′(x)＝3x2－6x＋6＝3(x－1)2＋3>0，
∴函数f(x)在区间[－1，1]上单调递增，
∴当x＝1时，函数f(x)取得最大值f(1)＝－6．]
4．求函数f(x)＝sin
2x－x在上的最大值和最小值．
[解] f′(x)＝2cos
2x－1．
令f′(x)＝0，x∈，
解得x＝－或x＝．
而f＝－，f＝－，f＝，f＝－，
所以函数f(x)的最大值为，最小值为－．
类型1 求函数的最值
【例1】 (1)求函数f(x)＝x3－x2－2x＋5在区间[－2，2]上的最大值与最小值；
(2)求函数f(x)＝x＋sin
x在区间[0，2π]上的最大值与最小值．
[思路点拨] 先利用导数求极值，然后与端点处的函数值比较得最值．
[解] (1)因为f(x)＝x3－x2－2x＋5，所以f′(x)＝3x2－x－2．
令f′(x)＝0，解得x1＝－，x2＝1．
因为f
＝，f(1)＝，f(－2)＝－1，f(2)＝7，
所以函数f(x)在[－2，2]上的最大值是7，最小值是－1．
(2)因为f(x)＝x＋sin
x，所以f′(x)＝＋cos
x，
令f′(x)＝0，解得x1＝，x2＝．
因为f(0)＝0，f
＝＋，f
＝－，f(2π)＝π，
所以函数f(x)在[0，2π]上的最大值是π，最小值是0．
求函数最值的4个步骤
提醒：求函数最值时不要忽视将所求极值与区间端点的函数值比较．
[跟进训练]
1．已知函数f(x)＝＋ln
x，求f(x)在上的最大值和最小值．
[解] 易知f(x)的定义域为(0，＋∞)，
∵f(x)＝＋ln
x＝－1＋ln
x，
∴f′(x)＝－＋＝．
令f′(x)＝0，得x＝1．
当x变化时，f′(x)与f(x)在上的变化情况如下表：
x
1
(1，2)
2
f′(x)
－
0
＋
f(x)
1－ln
2
↘
0
↗
－＋ln
2
∴在上，当x＝1时，f(x)取得极小值，也是最小值，且f(1)＝0．
又f
＝1－ln
2，f(2)＝－＋ln
2，
∴f
－f(2)＝－2ln
2＝×(3－4ln
2)＝ln
>0，∴f
>f(2)，∴f(x)在上的最大值为f
＝1－ln
2，最小值为f(1)＝0．
类型2 已知函数的最值求参数的值
【例2】 已知函数f(x)＝ax3－6ax2＋b，是否存在实数a，b，使f(x)在[－1，2]上取得最大值12，最小值－20？若存在，求出a，b的值；若不存在，请说明理由．
[思路点拨] 利用导数求出f(x)的最值(用a，b表示)，列方程求a，b的值．
[解] 显然a≠0，f′(x)＝3ax2－12ax＝3ax(x－4)，
令f′(x)＝0，解得x1＝0，x2＝4(舍去)．
①当a>0时，当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况见下表：
x
－1
(－1，0)
0
(0，2)
2
f′(x)
＋
0
－
f(x)
－7a＋b
↗
最大值
↘
－16a＋b
∴当x＝0时，f(x)取得最大值．∴b＝12．
又∵f(2)＝－16a＋12，f(－1)＝－7a＋12，f(－1)>f(2)，∴当x＝2时，f(x)取得最小值，即－16a＋12＝－20，即a＝2．
②当a<0时，当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况见下表：
x
－1
(－1，0)
0
(0，2)
2
f′(x)
－
0
＋
f(x)
－7a＋b
↘
最小值
↗
－16a＋b
∴当x＝0时，f(x)取得最小值．
∴b＝－20．
又∵f(2)＝－16a－20，f(－1)＝－7a－20，f(2)>f(－1)，
∴当x＝2时，f(x)取得最大值，即－16a－20＝3，即a＝－．
综上所述，a＝2，b＝12或a＝－，b＝－20．
由函数的最值来确定参数的问题是利用导数求函数最值的逆向运用，逆向问题可正向求解，即先求出最值，列出含参数的方程或方程组，从而得出参数的值，这也是方程思想的应用．
[跟进训练]
2．设函数f(x)＝ln
x＋ln(2－x)＋ax(a>0)．
(1)当a＝1时，求f(x)的单调区间；
(2)若f(x)在(0，1]上的最大值为，求a的值．
[解] 函数f(x)的定义域为(0，2)，f′(x)＝－＋a．
(1)当a＝1时，f′(x)＝，所以f(x)的单调递增区间为(0，)，单调递减区间为(，2)．
(2)当x∈(0，1]时，f′(x)＝＋a>0，即f(x)在(0，1]上单调递增．
故f(x)在(0，1]上的最大值为f(1)＝a，因此a＝．
类型3 最值的应用
[探究问题]
1．如何证明不等式f(x)≥M?
[提示] f(x)min≥M．
2．如何证明不等式f(x)≥g(x)?
[提示] [f(x)－g(x)]min≥0．
3．在证明不等式f(x)≥g(x)时，可以通过证明f(x)min≥g(x)max来证明吗？
[提示] 可以．
4．在由不等式f(x)≥g(x)恒成立，求参数的取值范围时，可以通过解不等式f(x)min≥g(x)max求其取值范围吗？为什么？
[提示] 不可以．因为f(x)min≥g(x)max是不等式f(x)≥g(x)恒成立的充分不必要条件．
【例3】 求证：当x＞1时，1－＜ln
x．
[思路点拨] 通过构造函数，利用函数的最值来证明．
[证明] 令f(x)＝ln
x－1＋，则f′(x)＝－＝(x＞0)．
在(0，1)上，f′(x)＜0，故f(x)单调递减；在(1，＋∞)上，f′(x)＞0，故f(x)单调递增，
故f(x)在(0，＋∞)上的最小值为f(1)＝0，
所以，当x＞1时，f(x)＞f(1)＝0，即1－＜ln
x．
利用导数证明不等式问题时，一般根据要证明的不等式构造函数，转化为函数的最值问题．具体的证明步骤为：
①将所给的不等式移项、整理、变形为求证不等式f(x)＞0(＜0)的形式；
②利用导数研究函数在给定区间上的单调性，得到函数的最值；
③将不等式问题转化为函数的最值恒大于0或者小于0的问题．
[跟进训练]
3．求证：当x＞0时，x－1≥ln
x．
[证明] 令f(x)＝ln
x－x＋1，则f′(x)＝－1＝(x＞0)．
在(0，1)上，f′(x)＞0，故f(x)单调递增；在(1，＋∞)上，f′(x)＜0，故f(x)单调递减，
故f(x)在(0，＋∞)上的最大值为f(1)＝0，
所以，当x＞0时，f(x)≤f(1)＝0，即x－1≥ln
x．
在闭区间[a，b]上连续的函数f(x)在[a，b]上必有最大值与最小值，但在开区间(a，b)内连续的函数f(x)不一定有最大值与最小值．例如：函数f(x)＝在(0，＋∞)上连续，但没有最大值与最小值．
1．函数f(x)＝xe－x，x∈[0，4]的最小值是( )
A．0 B． C． D．
B [f′(x)＝(1－x)e－x，令f′(x)＝0，解得x＝1，
当x＜1时，f′(x)>0；当x＞1时，f′(x)<0，
所以当0≤x＜1时，f(x)单调递减；当1＜x≤4时，f(x)单调递增，
所以f(1)最小，所以函数f(x)＝xe－x，x∈[0，4]的最小值是f(1)＝．]
2．如图是导函数y＝f′(x)的图象，最大值点一定不是( )
A．x1
B．x2
C．x3
D．x4
B [因为x2是极小值点，所以一定不是最大值点．]
3．对于在R上可导的任意函数f(x)，若满足(x－a)f′(x)≥0，则必有( )
A．f(x)≥f(a)
B．f(x)≤f(a)
C．f(x)>f(a)
D．f(x)A [由(x－a)f′(x)≥0知，当x>a时，f′(x)≥0；当x4．如果函数f(x)＝x3－x2＋a在[－1，1]上的最大值是2，那么f(x)在[－1，1]上的最小值是________．
－ [f′(x)＝3x2－3x＝3x(x－1)，
令f′(x)＝0，得x＝0或x＝1．
当－10，则f(x)为增函数；当0∴当x＝0时，f(x)取得最大值为a，
∴a＝2，
∴f(－1)＝－1－＋2＝－，f(1)＝1－＋2＝．
∴在x∈[－1，1]上，f(x)的最小值为－．]
5．已知函数f(x)＝4x＋(x>0，a>0)在x＝3时取得最小值，求a的值．
[解] 由题意知f′(x)＝4－＝．
又x>0，a>0，令f′(x)＝0，得x＝，
当0时，f′(x)>0．
故f(x)在上单调递减，在上单调递增，
即当x＝时，f(x)取得最小值，则＝3，解得a＝36．
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6.3 函数的最值
第二章 导数及其应用
情境导学·探新知
NO.1
不超过
不小于
最值
最大值
最小值
1
2
3
4
1
2
3
4
1
2
3
4
1
2
3
4
合作探究·释疑难
NO.2
类型1
类型2
类型3
当堂达标·夯基础
NO.3
1
2
3
4
5
1
2
3
4
5
1
2
3
4
5
1
2
3
4
5
1
2
3
4
5
1
2
3
4
5
5
1
2
3
4
5
1
2
3
4
谢谢观看
THANK
YOU!
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答案
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解析答案
反思领悟
●●●。