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§8 数学探究活动(二)：探究函数性质
学
习
任
务
核
心
素
养
1．能通过类比一次、二次函数图象与性质的探究，探究三次函数的图象与性质．(重点)2．能利用导数分析三次函数的图象与性质．(难点)
通过应用导数分析三次函数的图象与性质，培养直观想象、逻辑推理及数学运算素养．
1．定义
形如f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d(a≠0)的函数叫作一元三次函数．
由f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d(a≠0)知，f′(x)＝3ax2＋2bx＋c(a≠0)，
把Δ＝4b2－12ac叫作三次函数的导函数的判别式．
2．一元三次函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d(a≠0)的图象与性质的探究
(1)探究三次函数的单调性
一般地，当Δ＝4b2－12ac≤0时，y＝f(x)在R上是单调函数，若a＞0，则在R上单调递增；若a＜0，则在R上单调递减．
当Δ＝4b2－12ac＞0时，y＝f(x)在R上有三个单调区间，
设f′(x)＝3ax2＋2bx＋c(a≠0)的零点为x1，x2，且x1＜x2，则
a＞0
a＜0
导函数
Δ＞0
Δ≤0
Δ＞0
Δ≤0
f(x)图象
(2)探究三次函数图象的对称性
三次函数y＝f(x)的图象是中心对称图形，其对称中心是点，
此点的横坐标是其导函数的极值点．
可见，y＝f(x)图象的对称中心在其导函数y＝f′(x)图象的对称轴上，且是两极值点的中心，同时也是二阶导数为零的点(拐点)．
证明：因为f(x)＝a(x－x0)3＋b(x－x0)＋y0(a≠0)的对称中心是点(x0，f(x0))，其中f(x0)＝y0，
所以如果f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d(a≠0)能写成f(x)＝a(x－x0)3＋b(x－x0)＋y0(a≠0)的形式，那么其对称中心就是点(x0，f(x0))，
所以设f(x)＝a(x＋m)3＋p(x＋m)＋n，
所以3am＝b，3am2＋p＝c，am3＋pm＋n＝d，
所以m＝，p＝，n＝d＋－，
所以f(x)＝a3＋＋d＋－．又f(x0)＝d＋－，得证．
(3)探究三次函数零点的个数
①当Δ≤0时，f′(x)≥0(f′(x)≤0)，y＝f(x)单调递增(或递减)，再结合零点存在性定理可知，y＝f(x)有且只有一个零点．
②当Δ＞0时，方程f′(x)＝0有两个实数根x1，x2，不妨设x1＜x2，则
若f(x1)·f(x2)＞0，则y＝f(x)的图象与x轴有且只有一个交点，所以y＝f(x)有且只有一个零点．
若f(x1)·f(x2)＜0，则y＝f(x)的图象与x轴有三个交点，所以y＝f(x)有三个零点．
若f(x1)·f(x2)＝0，则y＝f(x)的图象与x轴有一个交点，一个切点，所以y＝f(x)有两个零点．
(4)探究三次函数的极值
①当Δ≤0时，y＝f(x)不存在极值点；
②当Δ＞0时，y＝f(x)极值点有两个，一个是极大值点，另一个是极小值点．
(5)探究三次函数图象的切线
已知P(x0，y0)是三次函数y＝f(x)图象上一点，
①在点P(x0，y0)处的切线有且只有一条；
②过点P(x0，y0)的切线，若点P(x0，y0)是对称中心，其切线有且只有一条；若点P(x0，y0)不是对称中心，其切线有两条．
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