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课后素养落实(二) 数列的函数特性
(建议用时：40分钟)
一、选择题
1．下列四个数列中，是递增数列的是( )
A．
B．
C．
D．
C [由于函数y＝cos，x∈[1，＋∞)单调递增，所以数列也单调递增．]
2．已知数列{an}满足an＝
，其中a，b，c均为正数，则此数列( )
A．递增
B．递减
C．先增后减
D．先减后增
A [an＝，∵a，b，c均为正数，∴an随n的增大而增大，故选A．]
3．已知数列{an}的通项公式an＝n＋(n∈N＋)，则数列{an}的最小项是( )
A．a12 B．a13 C．a12或a13 D．不存在
C [函数y＝x＋在(0，)上单调递减，在[，＋∞)上单调递增，又12＜＜13．且a12＝a13＝25，故选C．]
4．已知数列{an}满足a1＝0，an＋1＝(n∈N
)，则a20＝( )
A．0
B．－
C．
D．
B [由a1＝0，an＋1＝(n∈N＋)，得a2＝－，a3＝，a4＝0，…
由此可知：数列{an}是周期变化的，且周期为3，所以可得：
a20＝a2＝－
．]
5．对于数列{an}，“an＋1>|an|(n＝1,2，…)”是“{an}为递增数列”的( )
A．必要不充分条件
B．充分不必要条件
C．必要条件
D．既不充分也不必要条件
B [当an＋1>|an|(n＝1,2，…)时，
∵|an|≥an，∴an＋1>an，∴{an}为递增数列．
当{an}为递增数列时，若该数列为－2,0,1，则a2>不成立，即知：an＋1>|an|(n＝1,2，…)不一定成立．
综上知，“an＋1>|an|(n＝1,2，…)”是“{an}为递增数列”的充分不必要条件．]
二、填空题
6．已知{an}是递增数列，且对任意n∈N＋，都有an＝n2＋λn恒成立，则实数λ的取值范围是________．
(－3，＋∞) [由题意知，－<，即λ>－3．]
7．[一题两空]已知数列{an}的通项公式为an＝，则数列{an}的最大项是________，最小项是________．
4 0 [∵an＋1－an＝－
＝
＝
＝－
＝－．
当n≤2时，an＋1－an<0，即an＋1
当n＝3时，an＋1－an>0，即an＋1>an；
当n≥4时，an＋1－an<0，即an＋1又当n≤3时，an<2；当n≥4时，an>2．
∴a4>a5>…>an>…>2>a1>a2>a3．
故a3最小为0，a4最大为4．]
8．已知数列{an}满足a1＝2，an＋1＝(n∈N＋)，则a16＝________．
[∵a1＝2，由an＋1＝得a2＝－3，a3＝－，a4＝，a5＝2，…，∴{an}是周期为4的数列，
∴a16＝a4×4＝a4＝．]
三、解答题
9．已知函数f(x)＝，设an＝f(n)(n∈N＋)，
(1)求证：an＜1；
(2){an}是递增数列还是递减数列？为什么？
[解]
(1)证明：an＝f(n)＝＝1－<1．
(2)∵an＋1－an＝－＝－＝>0，
∴an＋1>an，
∴{an}是递增数列．
10．已知在数列{an}中，an
＝(n∈N＋)，求数列{an}的最大项．
[解] 考察函数y＝＝1＋，
因为函数在上单调递减，在(15.6，＋∞)上单调递减，
所以当n>15.6且n最接近15.6且n∈N＋时，an最大，
故a16最大，即第16项最大．
11．已知数列{an}满足a1>0，且an＋1＝an，则数列{an}的最大项是( )
A．a1 B．a9 C．a10 D．不存在
A [∵a1>0且an＋1＝an，∴an>0，＝<1，
∴an＋112．数列{an}的首项a1＝1，a＝(n，an)，b＝，且a⊥b，则a100等于( )
A．－100
B．100
C．
D．－
A [∵a⊥b，∴a·b＝0，即nan＋1＋(n＋1)an＝0，
∴＝－，
∴··…·＝×××…×＝－100，
∴a100＝－100．]
13．(多选题)数列{an}中，a1＝3，a2＝7，当n≥1时，an＋2等于anan＋1的个位数，则an的个位数不可能是( )
A．1
B．4
C．6
D．9
BC [a3＝1，a4＝7，a5＝7，a6＝9，a7＝3，a8＝7，…，所以数列{an}是以6为周期的周期数列，an的个位数不可能是4与6．]
14．[一题两空]已知f(x)＝，各项均为正数的数列{an}满足a1＝1，an＋2＝f(an)．若a2
010＝a2
012，则a11＝_________，a20________
[由题意得，a3＝，a5＝，a7＝，a9＝，a11＝．
∵a2
010＝a2
012，且an＞0，∴a2
010＝，易得a2
010＝a2
008＝…＝a24＝a22＝a20＝．]
15．已知不等式＋＋＋…＋>a对于一切大于1的自然数n都成立，求实数a的取值范围．
[解] 令f(n)＝＋＋＋…＋，
则f(n＋1)－f(n)＝＋－＝－>0．
∴
f(n＋1)>f(n)，
∴
f(n)是递增数列，
∴
[f(n)]min＝
f＝．
∴a<．
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§1 数列的概念及其函数特性
1.2 数列的函数特性
第一章 数列
情境导学·探新知
NO.1
图象、列表
大于
上升
小于
下降
相等
1
2
3
4
1
2
3
4
1
2
3
4
1
2
3
4
合作探究·释疑难
NO.2
类型1
类型2
类型3
类型4
当堂达标·夯基础
NO.3
1
2
3
4
1
2
3
4
1
2
3
4
1
2
3
4
1
2
3
4
1
2
3
4
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解析答案
反思领悟
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1.2 数列的函数特性
学
习
任
务
核
心
素
养
1．了解数列的几种简单表示方法．(重点)2．了解递增数列、递减数列、常数列的概念．(重点)3．掌握判断数列的增减性的方法．(重、难点)
1．通过对递增数列、递减数列、常数列等概念的学习，培养数学抽象素养．2．借助数列的增减性的判断，提升逻辑推理素养．
观察以下几个数列：
①1,2,3,4，…；
②－2，－4，－6，－8，…；
③1,1,1,1，…．
从单调性上考查，以上三个数列有何特点？联想函数单调性的定义，如何定义数列的单调性？
[提示] ①是递增的数列；②是递减的数列；③是常数列．
1．数列的表示方法
表示一个数列，我们可以用图象、列表、通项公式．
2．递增数列、递减数列、常数列
名称
定义
表达式
图象特点
递增数列
从第2项起，每一项都大于它的前一项
an＋1>an(n∈N＋)
上升
递减数列
从第2项起，每一项都小于它的前一项
an＋1下降
常数列
各项都相等
an＋1＝an(n∈N＋)
不升不降
1．在数列{an}中，
an＝，请说出数列{an}与函数f(x)＝(x>0)的图象的区别与联系？
[提示] 数列{an}的图象是一群孤立的点，而函数f(x)的图象是一条光滑的曲线，表示数列图象的点分布在函数图象上．
2．若函数y＝f(x)在区间[1，＋∞)上是单调递增函数，那么数列an＝f(n)一定是递增数列吗？反之，是否一定成立？
[提示] 一定是递增数列，反之，不一定成立，例如an＝n2－n(n∈N＋)是递增数列，但f(x)＝x2－x在区间[1，＋∞)上不单调．
1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)任何一个数列不是递增数列，就是递减数列．
( )
(2)若?n∈N＋，>1，则数列{an}是递增数列．
( )
(3)若?m，n∈N＋，且man，则数列{an}不是递增数列．
( )
(4)若?n∈N＋，an＋3＝an，则a2
020＝a1．
( )
[答案] (1)× (2)× (3)√ (4)√
2．已知数列{an}满足：任意m，n∈N＋，都有an·am＝an＋m，且a1＝，那么a5＝( )
A． B． C． D．
A [由题意，得a2＝a1a1＝，a3＝a1·a2＝，则a5＝a3·a2＝．]
3．在数列{an}中，an＝n2－9n(n∈N＋)，则此数列最小项的值是________．
－20 [an＝n2－9n＝－，
∵n∈N＋，∴当n＝4或n＝5时，an取最小值－20．]
4．对于数列{an}，a1＝4，an＋1＝f(an)，n∈N＋，依照下表，求a2
020．
x
1
2
3
4
5
f(x)
5
4
3
1
2
[解]
a1＝4，a2＝f(4)＝1，a3＝f(1)＝5，a4＝f(5)＝2，a5＝f(2)＝4，…，
该数列是周期为4的周期数列，
所以a2
020＝a4＝2．
类型1 数列的图象及其应用
【例1】
已知数列{an}的通项公式为an＝n2－10n＋10，这个数列从第几项起各项的数值逐渐增大？从第几项起各项的数值均为正值？数列中是否还存在数值与首项相同的项？
[思路点拨] 画出数列{an}的图象，借助图象求解．
[解] 表示数列{an}的各点都在函数y＝x2－10x＋10的图象上．
由图可得，
这个数列从第5项起各项的数值逐渐增大，
从第9项起各项的数值均为正值，
第9项是与首项相同的项．
数列的项与项数之间构成特殊的函数关系．因此，涉及数列的单调性、最值等问题均可仿照求函数单调性、最值问题的方法来研究，不过在用函数的有关知识解决数列问题时，要注意到函数的定义域为正整数集这一约束条件．
[跟进训练]
1．若数列{an}的通项公式为an＝－n2＋7n(n∈N＋)，求an的最大值，并与函数f(x)＝－x2＋7x(x∈R)的最大值作比较．
[解]
作出函数f(x)＝－x2＋7x(x∈R)的图象与数列的{an}图象．
从图象上看，
表示数列{an}的各点都在抛物线f(x)＝－x2＋7x(x∈R)的图象上，
由数列{an}的图象，得an的最大值为a3＝a4＝12，
由函数f(x)的图象，得f(x)的最大值为f
＝，
因此，an的最大值小于f(x)的最大值．
类型2 数列的单调性的判定
【例2】 已知数列{an}的通项公式an＝，试判断该数列的增减性．
[思路点拨] 可用作差法或作商法判断数列的增减性．
[解] 法一：an＋1－an＝－＝．
因为n∈N＋，所以1－n2－n＝1－n(n＋1)≤1－2＝－1<0，
所以an＋1－an<0，即an＋1法二：因为＝＝＜1，
所以an＋1讨论数列的单调性，即比较an与an＋1的大小关系，可以作差比较，即证an＋1－an＞0
(或an＋1－an＜0)，也可以作商比较，前提条件是数列各项为正，即an>0，则只要证＞1(或＜1)．
[跟进训练]
2．已知数列{an}的通项公式为an＝，试判断该数列的增减性．
[解] ∵an＋1－an＝－＝<0，∴an＋1类型3 求数列的最大(小)项
【例3】 已知数列{an}的通项an＝(n＋1)·
(n∈N＋)，试问该数列{an}有没有最大项？若有，求出最大项的项数；若没有，说明理由．
[思路点拨] 思路一：利
用不等式组
求n值；思路二：利用数列{an}的单调性，求n值．
[解] 法一：令eq
\b\lc\{\rc\
(\a\vs4\al\co1((n＋1)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(10,11)))≥n\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(10,11)))，,(n＋1)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(10,11)))≥\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(n＋2))\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(10,11)))，))
化为
解之得∴n＝9或n＝10时，an最大，即数列{an}有最大项，此时n＝9或n＝10．
法二：∵an＋1－an＝(n＋2)·－(n＋1)·＝·．
当n<9时，an＋1－an>0，即an＋1>an；
当n＝9时，an＋1－an＝0，即an＋1＝an；
当n>9时，an＋1－an<0，即an＋1故a1a11>a12>…．
∴数列{an}中有最大项，为第9,10项．
求数列{an}的最大(小)项有两种方法：
(1)设ak是最大(小)项，则有，解之便可求出n，并把ak与首项、尾项作比较；
(2)先判断数列的增减情况，再根据增减情况求数列的最大(小)项．
[跟进训练]
3．若数列eq
\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(n(n＋4)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))))中的最大项是第k项，则k＝________．
4 [设最大项为第k项，则有
eq
\b\lc\{\rc\
(\a\vs4\al\co1(k(k＋4)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))≥(k＋1)(k＋5)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))，,k(k＋4)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))≥(k－1)(k＋3)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))，))
∴
?
?k＝4．]
类型4 数列的递推公式
【例4】 在数列{an}中，a1·a2·a3·…·an＝n2(n∈N＋)，求an．
[解] 由a1·a2·a3·…·an＝n2(n∈N＋)，得
当n＝1时，a1＝1；
当n≥2时，a1·a2·a3·…·an－1＝(n－1)2，
两式相除，得an＝(n≥2)
所以an＝
如果已知数列{an}的第一项(或前几项)，且从第二项(或某一项)开始的任一项an与它的前一项an－1
(或前几项)间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式．递推公式也是给出数列的一种重要形式．有的递推公式与通项公式之间也可以进行互化．
[跟进训练]
4．某人卖西瓜，第一位顾客买去了所有西瓜的一半加半个，第二位顾客买去所剩西瓜的一半加半个，……依次类推，每一位顾客都买所剩西瓜的一半再加半个，第八位顾客恰好把西瓜买完，问共有多少个西瓜？
[解]
设原来共有西瓜数为a0，各位顾客买后剩下的西瓜数依次记为an，依题意得
化为
∴a7＝1，a6＝3，a5＝7，a4＝15，a3＝31，a2＝63，a1＝127，a0＝255，即共有255个西瓜．
1．数列是一类特殊函数，因此用函数观点解决数列问题是一种常用的方法，但要注意其定义域为正整数集或其有限子集．
2．数列的三种表示方法各有优点：(1)用通项公式表示数列，简捷明了，便于计算．(2)列表法的优点是不经过计算，就可以直接看出项数与项的对应关系．(3)图象能直观形象地表示出随着序号的变化，相应项变化的趋势．
3．判断一个数列的增减性，可以借助于图象的升、降趋势进行判断，也可以利用定义进行判断，即通过判断一个数列的任意相邻两项之间的大小关系来确定数列的增减性．
1．已知an＋1－an＝3，则数列{an}是( )
A．递增数列
B．递减数列
C．常数列
D．摆动数列
A [∵an＋1－an＝3>0，∴an＋1>an．]
2．已知表示数列{an}的图象的点在函数y＝的图象上，则其通项公式为________．
an＝(n∈N＋) [数列{an}对应的点列为(n，an)，即有an＝(n∈N＋)．]
3．已知数列{an}，an＝2n2－10n＋3，它的最小项是第_____________项．
2或3 [an＝2n2－10n＋3＝2－，故当n＝2或3时，an最小．
]
4．一辆邮车每天从A地往B地运送邮件，沿途(包括A，B)共有8站，从A地出发时，装上发往后面7站的邮件各一个，到达后面各站后卸下前面各站发往该站的一个邮件，同时装上该站发往后面各站的邮件各一个．试写出邮车在各站装卸完毕后剩余邮件个数所成的数列，画出该数列的图象，并判断该数列的增减性．
[解] 将A，B之间所有站按序1,2,3,4,5,6,7,8编号，通过计算，上面各站剩余邮件数依次排成数列：7,12,15,16,15,12,7,0．
填写下表：
站号
1
2
3
4
5
6
7
8
剩余邮件数
7
12
15
16
15
12
7
0
该数列的图象如图．
它在{1,2,3,4}上是递增的，在{4,5,6,7,8}上是递减的．
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