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2.2 等差数列的前n项和
学
习
任
务
核
心
素
养
1．理解等差数列前n项和的推导方法．(难点)2．掌握等差数列的前n项和公式．(重点)3．能利用等差数列的前n项和公式解决实际问题．(重点、难点)
1．通过等差数列的前n项和公式的数学应用，培养数学运算素养．2．借助利用等差数列的前n项和公式解决实际问题，提升数学建模素养．
高斯，德国著名数学家，被誉为“数学王子”．在高斯上小学时，高斯的算术教师提出了下面的问题：
1＋2＋3＋…＋100＝？
据说，当其他同学都忙于把100个数逐个相加时，10岁的高斯却用下面的方法迅速算出了正确答案：(1＋100)＋(2＋99)＋…＋(50＋51)＝101×50＝5
050．
你能用高斯的计算方法求出1＋2＋3＋…＋n的值吗？
[提示] 略．
1．等差数列的前n项和公式
已知量
选用公式
首项、公差和项数(a1，d和n)
Sn＝na1＋
首项、末项和项数(a1，an和n)
Sn＝
2．数列{an}的前n项和Sn与通项an的关系
an＝
1．等差数列的前n项和Sn一定是关于n的二次函数吗？
[提示] 不一定，当公差d≠0时，
Sn＝n2＋n是关于n的二次函数；当公差d＝0时，
Sn＝na1不是关于n的二次函数．
2．在等差数列{an}中，如已知a10，则一定可求出该数列前多少项的和？
[提示] 因为S19＝＝＝19a10，所以一定可求出数列{an}前19项的和．
1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)等差数列{an}的前n项和公式Sn＝(n≥2，且n∈N＋)．
( )
(2)等差数列的前n项和Sn是关于n的常数项为0的二次函数．
( )
(3)若等差数列{an}的前n项和为Sn，则S4－S2是S2，S6－S4的等差中项．
( )
[答案] (1)√ (2)× (3)√
2．设数列{an}是等差数列，其前n项和为Sn，若a6＝2且S5＝30，则S8等于( )
A．31 B．32 C．33 D．34
B [由已知可得
解得
∴S8＝8a1＋d＝32．]
3．已知在等差数列{an}中，a1＝5，a10＝95，则其前10项和S10＝_______．
500 [S10＝＝500．]
4．已知等差数列{an}，a10＝10，其前10项和S10＝70，求公差d．
[解] 因为S10＝×10×(a1＋a10)＝×10×(a1＋10)＝70，所以a1＝4，因为a10＝a1＋9d＝10，所以d＝．
类型1 等差数列的前n项和公式的应用
【例1】 在等差数列{an}中，
(1)已知a2＝1，S9＝－45，求an；
(2)已知a3＋a8＝－12，求S10．
[思路点拨] (1)利用等差数列的通项公式与前n项和公式构建关于首项a1和公差d方程组求解；
(2)利用等差数列的性质与前n项和公式求解．
[解] (1)由S9＝－45，得9a1＋＝－45，即a1＋4d＝－5，①
由a2＝1，得a1＋d＝1，②
由①②解得，a1＝3，d＝－2，∴an＝3－2(n－1)＝－2n＋5．
(2)S10＝＝＝＝－60．
在第(1)问的的条件下，求Sn的最大值．
[解] 法一：∵Sn＝3n＋＝－n2＋4n＝－(n－2)2＋4，∴当n＝2时，Sn取最大值4．
法二：∵d＝－2<0，∴{an}是递减数列，
由an>0，得n<，又a3＝－1<0，
∴Sn的最大值是S2＝4．
1．用公式Sn＝na1＋求前n项和，则需求a1和d，可考虑用基本量法求解；用Sn＝求前n项和，则可将a1＋an看作一个整体，可考虑用性质法求解．前者是通法，后者需要观察项与项的关系，有一定的技巧．
2．求等差数列前n项和最值的方法：
(1)利用Sn＝An2＋Bn，通过二次函数y＝Ax2＋Bx的性质求解；
(2)求出正负转折项，利用数列的单调性确定前n项和的最值．
类型2 等差数列前n项和性质的应用
【例2】 已知Sn为等差数列{an}的前n项和，Sn＝m，Sm＝n(m≠n)，试求Sm＋n．
[思路点拨] 利用等差数列的有关性质求解．
[解] 法一：令Sn＝An2＋Bn，则
?A(n2－m2)＋B(n－m)＝m－n．
∵n≠m，∴A(n＋m)＋B＝－1，
∴Sm＋n＝A(m＋n)2＋B(m＋n)＝－(m＋n)．
法二：不妨设m＞n，
Sm－Sn＝an＋1＋an＋2＋an＋3＋…＋am－1＋am＝＝n－m．
∴a1＋am＋n＝an＋1＋am＝－2，
∴Sm＋n＝＝－(m＋n)．
法三：∵{an}是等差数列，∴为等差数列，
∴，，三点共线．
∴＝?Sm＋n＝－(m＋n)．
若数列{an}是等差数列，Sn为其前n项和，则：
(1)数列是公差为的等差数列；
(2)Sk
，S2k
－Sk
，S3k
－S2k
(k∈N＋)也成等差数列，公差为k2d．
(3)S2n＝n(a1＋a2n)＝…＝n(an＋an＋1)；S2n－1＝(2n－1)an．
[跟进训练]
1．等差数列{an}的前m项和为30，前2m项和为100，则它的前3m项和为( )
A．
70 B．
130 C．
140 D．
210
D [因为{an}是等差数列，所以Sm，S2m－Sm，S3m－S2m也成等差数列，
所以Sm＋(S3m－S2m)＝2(S2m－Sm)，即30＋(S3m－100)＝2(100－30)，
所以S3m＝210．]
类型3 等差数列的前n项和公式的实际应用
【例3】 我国南北朝时期的著作《张邱建算经》有这样一个问题：今有十等人，每等一人，宫赐金以等次差降之，上三人先入，得金四斤，持出，下四人后入，得金三斤，持出，中间三人未到者，亦依等次更给，问各得金几何？则据你对数学史的研究与数学问题的理解可知，两个人所得金相差数额绝对值的最小值是( )
A．斤
B．斤
C．斤
D．斤
C [设第n个人得金an斤，由题意可知{an}是等差数列，设公差为d，
则有
解得
则两个人所得金相差数额绝对值的最小值是斤．故选C．]
数列应用题的一般解法
(1)建模：根据题设条件，建立数列模型．
分析实际问题对象的结构特征，找出所含元素的数量关系，确定为何种数学模型．
(2)解模：利用相关的数列知识加以解决．
分清首项、公差、项数等，分清是求项还是求和，选用适当的方法求解．
(3)把相关问题的解客观化．
针对实际问题的约束条件修正，使其成为实际问题的解．
[跟进训练]
2．中国古诗词中，有一道“八子分绵”的数学名题：“九百九十六斤绵，赠分八子作盘缠，次第每人多十七，要将第八数来言”．题意是：把996斤绵分给8个儿子作盘缠，按照年龄从大到小的顺序依次分绵，年龄小的比年龄大的多17斤绵，那么第8个儿子分到的绵是( )
A．174斤
B．184斤
C．191斤
D．201斤
B [用a1，a2，…，a8表示8个儿子按照年龄从大到小得到的绵数，
由题意得数列a1，a2，…，a8是公差为17的等差数列，且这8项的和为996，
∴8a1＋×17＝996，解之得a1＝65．
∴a8＝65＋7×17＝184，即第8个儿子分到的绵是184斤．]
1．在等差数列的通项公式和前n项和公式中，共涉及五个量：a1，an，Sn，n，d，其中a1和d为基本量，已知其中的三个量，可以由其通项公式和前n项和公式建立方程组，求出另外的两个量，即“知三求二”，该解法体现了方程思想的应用．在解方程组时，注意整体代换的应用，以简化求解过程．
2．等差数列的判定方法
若一个数列的前n项和为Sn＝An2＋Bn，其中A，B是常数，则{an}是等差数列．
1．等差数列{an}中，a1＝2，d＝2，则S21＝( )
A．230 B．462 C．450 D．540
B [S21＝21×2＋×2＝42＋420＝462．]
2．如果在等差数列{an}中，a3＋a4＋a5＝12，那么S7等于( )
A．14
B．21
C．28
D．35
C [∵a3＋a4＋a5＝12，∴a4＝4．
∴S7＝＝7a4＝28．
]
3．设等差数列{an}的前n项和为Sn，若a2＋a7＋a8＋a13＝，则tan
S14＝( )
A．－
B．
C．－
D．
D [∵{an}是等差数列，且a2＋a7＋a8＋a13＝，
∴a7＋a8＝，∴S14＝＝7(a7＋a8)＝，
∴tan
S14＝tan
＝．]
4．全体正整数排成一个三角形数阵：
1
2 3
4 5 6
7 8 9 10
11 12 13 14 15
………………
按照以上排列的规律，第n行(n≥3)从左向右的第3个数为________．
[前(n－1)行共有正整数1＋2＋…＋(n－1)个，即个，
因此第n
行第3
个数是全体正整数中第个，即为．]
5．甲、乙两物体分别从相距70
m的两处同时相向运动，甲第1
min走2
m，以后每分钟比前1
min多走1
m，乙每分钟走5
m．
(1)甲、乙开始运动后几分钟相遇？
(2)如果甲、乙到达对方起点后立即折返，甲继续每分钟比前1
min多走1
m，乙继续每分钟走5
m，那么开始运动几分钟后第二次相遇？
[解] (1)设n
min后第一次相遇，依题意，有
2n＋＋5n＝70．
整理得n2＋13n－140＝0，解得n＝7，n＝－20(舍去)．
第一次相遇是在开始运动后7
min．
(2)设m
min后第二次相遇，依题意有2m＋＋5m＝3×70，整理得m2＋13m－6×70＝0．
解得m＝15，m＝－28(舍去)．
所以第二次相遇是在开始运动后15
min．
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课后素养落实(五) 等差数列的前n项和
(建议用时：40分钟)
一、选择题
1．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a4＝15，S5＝55，则过点P(3，a3)，Q(10，a10)直线的斜率为( )
A．4 B．－28 C．－4 D．－14
A [∵S5＝＝5a3＝55，
∴a3＝11，
∴公差d＝a4－a3＝15－11＝4，
∴直线PQ的斜率k＝＝4．]
2．等差数列{an}的前n项和为Sn，若a2＋a4＋a15的值为常数，则下列各数中也是常数的是( )
A．S7
B．S8
C．S13
D．S15
C [由a2＋a4＋a15是常数，可得a1＋6d＝a7是常数，所以S13＝＝13a7是常数，故选C．]
3．等差数列{an}的前n项之和为Sn，且＝，则＝( )
A．
B．
C．
D．
A [设S4＝m，则S8＝3m，S8－S4＝2m，
由于S4＝m，S8－S4＝2m，S12－S8＝3m，S16－S12＝4m，
相加可得S16＝10m，则＝．]
4．已知首项为正数的等差数列{an}满足：
a2
005＋a2
006>0，a2
005·a2
006<0，则使前n项和Sn>0成立的最大自然数n是( )
A．
4
009
B．4
010
C．4
011
D．4
012
B [由题意知：等差数列中，从第1项到第2
005项是正数，且从第2
006项开始为负数，
S4
010＝2
005(a1＋a4
010)＝2
005(a2
005＋a2
006)
>0，
S4
011＝＝4
011a2
006<0,
故n的最大值为4
010．]
5．已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，a2＝2，且对任意n>1，n∈N＋，满足Sn＋1＋Sn－1＝2(Sn＋1)，则S10的值为( )
A．90
B．91
C．96
D．100
B [∵对任意n>1，n∈N＋，满足Sn＋1＋Sn－1＝2(Sn＋1)，
∴Sn＋1－Sn＝Sn－Sn－1＋2，∴an＋1－an＝2．
∴数列{an}在n≥2时是等差数列，公差为2．又a1＝1，a2＝2，∴S10＝1＋9×2＋×2＝91．]
二、填空题
6．已知Sn为等差数列{an}的前n项和，a6＝100，则S11＝________．
1
100 [S11＝＝＝11a6＝1
100
．]
7．记Sn为等差数列{an}的前n项和．若a1≠0，a2＝3a1，则＝________．
4 [由a1≠0，a2＝3a1，可得d＝2a1，
所以S10＝10a1＋d＝100a1，S5＝5a1＋d＝25a1，
所以＝4．]
8．等差数列{an}与{bn}的前n项和分别为Sn和Tn，若＝，则等于________．
[＝＝＝＝＝＝．]
三、解答题
9．已知等差数列{an}，a1＝29，S10＝S20，问：这个数列的前多少项的和最大？并求最大值．
[解] 法一：由S20＝S10，得2a1＋29d＝0，又a1＝29，∴d＝－2，
∴an＝29＋(－2)(n－1)＝31－2n，
∴Sn＝＝－n2＋30n＝－(n－15)2＋225，
∴当n＝15时，Sn最大，最大值为225．
法二：由S20＝S10得a11＋a12＋…＋a20＝0，
即5(a15＋a16)＝0(
)
∵a1＝29>0，∴a15>0，a16<0，
故当n＝15时，Sn最大，由(
)得，2a1＋29d＝0，∴d＝－2，
∴a15＝29＋(－2)(15－1)＝1，
∴Sn的最大值为S15＝＝225．
10．若数列{an}的前n项和为Sn，且满足an＋2SnSn－1＝0(n≥2)，a1＝．
(1)求证：是等差数列；
(2)求数列{an}的通项公式．
[解] (1)证明：当n≥2时，由an＋2SnSn－1＝0，得Sn－Sn－1＝－2SnSn－1，
所以－＝2，又＝＝2，
故是首项为2，公差为2的等差数列．
(2)由(1)可得＝2n，∴Sn＝．
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝－＝＝－．
当n＝1时，a1＝不适合上式．
故数列{an}的通项公式为an＝
11．已知等差数列{an}的前n项和Sn，公差d≠0，≤1．记b1＝S2，bn＋1＝S2n＋2－S2n，n∈N
，下列等式不可能成立的是( )
A．2a4＝a2＋a6
B．2b4＝b2＋b6
C．a＝a2a8
D．b＝b2b8
D [设等差数列{an}的通项公式为an＝a1＋(n－1)d，则bn＋1－bn＝(S2n＋2－S2n)－(S2n－S2n－2)＝a2n＋2＋a2n＋1－(a2n＋a2n－1)＝4d(n≥2)，又b2－b1＝(S4－S2)－S2＝4d，所以{bn}是以2a1＋d为首项，4d为公差的等差数列，故bn＝b1＋(n－1)·4d＝2a1＋(4n－3)d．选项A，B由等差数列的性质知其正确．对于选项C，若a＝a2a8，则(a1＋3d)2＝(a1＋d)(a1＋7d)，即a1＝d，所以C正确；对于选项D，若b＝b2b8，则(2a1＋13d)2＝(2a1＋5d)·(2a1＋29d)，即a1＝d，不满足≤1，所以D错误，故选D．]
12．设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S3＝9，S6＝36，则a7＋a8＋a9等于( )
A．63 B．45 C．36 D．27
B [由{an}是等差数列，得S3，S6－S3，S9－S6为等差数列，即2(S6－S3)＝S3＋(S9－S6)，
得到S9－S6＝2S6－3S3＝45，所以a7＋a8＋a9＝45．]
13．(多选题)已知Sn是等差数列{an}(n∈N
)的前n项和，且S6>S7>S5，下列命题正确的是( )
A．d<0
B．S11>0
C．S12<0
D．数列{Sn}中的最大项为S11
AB [由S6＞S7得a7＜0，
由S6＞S5得a6＞0，由S7＞S5得a6＋a7＞0．
∵d＝a7－a6，∴d<0，
S11＝a1＋a2＋…＋a11＝(a1＋a11)＋(a2＋a10)＋…＋a6＝11a6>0，
S12＝(a1＋a2＋…＋a12)＝(a1＋a12)＋(a2＋a11)＋…＋(a6＋a7)＝6(a6＋a7)>0，
∵a6>0，a7<0，∴{Sn}中S6最大．
故正确的命题为AB．]
14．[一题两空]设等差数列{an}的前n项和为Sn，若a2＝－3，S5＝－10，则a5＝________，Sn的最小值为________．
0 －10 [由题意得a2＝a1＋d＝－3，S5＝5a1＋10d＝－10，
解得a1＝－4，d＝1，
所以a5＝a1＋4d＝0，
故an＝a1＋(n－1)d＝n－5．
令an≤0，则n≤5，即数列{an}中前4项为负，a5＝0，第6项及以后项为正．
∴Sn的最小值为S4＝S5＝－10．]
15．设等差数列{an}的前n项和为Sn，已知a3＝12，S12>0，S13<0，
(1)求公差d的取值范围；
(2)S1，S2，…，S12中哪一个值最大？并说明理由．
[解] (1)∵S12＞0，S13＜0，
∴即
又a3＝a1＋2d＝12，∴解得－＜d＜－3．
(2)由题意及等差数列的性质可得
∴a7＜0，a6＞0．
∴在数列{an}中，前6项为正，第7项起，以后各项为负，故S6最大．
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§2 等差数列
2.2 等差数列的前n项和
第一章 数列
情境导学·探新知
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合作探究·释疑难
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类型1
类型2
类型3
当堂达标·夯基础
NO.3
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THANK
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解析答案
反思领悟
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