§4 数列在日常经济生活中的应用
学
习
任
务
核
心
素
养
1．掌握单利、复利的概念．(重点)2．掌握零存整取、定期自动转存、分期付款等三种模型及应用．(重点、难点)
1．通过对单利、复利、零存整取、定期自动转存、分期付款等概念的学习，培养数学抽象素养．2．借助数列的应用，培养数学建模素养．
伴随着中国金融服务的完善以及人们消费习惯的改变，在国外流行的分期付款消费被引入国内，并迅速得到国内消费者的认可．采用分期付款方式消费的通常是当前支付能力较差，但有消费需求的年轻人，其消费的产品通常是笔记本电脑、手机、数码产品等．
分期付款方式通常由银行和分期付款供应商联合提供．银行为消费者提供相当于所购物品金额的个人消费贷款，消费者用贷款向供应商支付货款，同时供应商为消费者提供担保，承担不可撤销的债务连带责任．使用分期付款方式消费的年轻人通常被称为“分期族”．
你知道分期付款时每期还款的金额是依据什么算出来的吗？
[提示] 依据等差数列和等比数列为数学模型算出来的．
1．单利与复利
(1)单利计算公式
单利的计算是仅在原有本金上计算利息，对本金所产生的利息不再计算利息，本金为a元，每期利率为r，存期为n，则本利和S＝a(1＋nr)
．
(2)复利计算公式
复利的计算是不仅在原有本金上计算利息，而且对本金所产生的利息也计算利息，本金为a元，每期利率为r，存期为n，则本利和S＝a(1＋r)n．
2．三种常见模型
(1)零存整取模型；
(2)定期自动转存模型；
(3)分期付款模型．
1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)零存整取储蓄的数学模型是等差模型．
( )
(2)定期自动转存储蓄的数学模型等比模型．
( )
(3)在分期付款中，各期所付款额及各期所付款额生成的利息之和等于商品的售价．
( )
[答案] (1)√ (2)√ (3)×
2．一种细菌和一种病毒，每个细菌在每秒末能在杀死一个病毒的同时将自身分裂为2个．现在有一个这样的细菌和100个这样的病毒，问细菌将病毒全部杀死至少需要( )
A．6秒钟 B．7秒钟 C．8秒钟 D．9秒钟
B [由题意可得20＋21＋22＋…＋2n－1≥100，即≥100，解得n≥7，故选B．]
3．古代数学家杨辉在沈括的瞭积术的基础上想到，若由大小相等的圆球垛成类似于正四棱台的方垛，上底由a×a各球组成，以下各层的长、宽依次各增加一个球，共有n层，最下层(即下底)由b×b各球组成，杨辉给出求方垛中圆球总数的公式如下：
S＝，
根据以上材料，我们可以得到12＋22＋…＋n2＝________．
[令a＝1，b＝n得，S＝＝，
即12＋22＋…＋n2＝．]
4．植树节某班20名同学在一段直线公路一侧植树，每人植一棵，相邻两棵树相距10米，开始时需将树苗集中放置在某一树坑旁边，使每位同学从各自树坑出发前来领取树苗往返所走的路程总和最小，求这个最小值．
[解] 设树苗集中放置在第i号坑旁边，则20名同学返所走的路程总和为
l＝2[(i－1)＋(i－2)＋…＋2＋1＋1＋2＋…＋(19－i)＋(20－i)]×10
＝(i2－21i＋210)×20＝eq
\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(i－\f(21,2)))＋\f(399,4)))×20，
即i＝10或11时，lmin＝2
000(米)．
类型1 等差数列模型
【例1】 李先生为今年上高中的儿子办理了“教育储蓄”．从8月1号开始，每个月的1号都存入100元，存期三年．已知当年“教育储蓄”存款的月利率是2.7‰．问到期时，李先生一次可支取本息多少元？
[思路点拨] 解答本题可利用等差数列的前n项和公式来计算．
[解] 100×36＋100×2.7‰×＝3
779.82(元)．
1．本题实际上是一个“零存整取”问题，解答的关键是理解所求的本息为等差数列的求和问题．
2．等差数列在日常经济生活中的应用最基本的模型是“零存整取”，即利息按单利计算．
[跟进训练]
1．已知当年同档次的“零存整取”储蓄的月利率是1.725‰．问李先生办理“教育储蓄”比“零存整取”多收益多少元？(注：零存整取要收20%的利息税)
[解] 100×36＋100×1.725‰××(1－20%)＝3
691.908(元)．
3
779.82－3
691.908＝87.912(元)．
答：“教育储蓄”一次支取本息3
779.82元，比“零存整取”多
87.912元．
类型2 等比数列模型
【例2】 从社会效益和经济效益出发，某旅游县区计划投入资金进行生态环境建设，并以此发展旅游产业，根据规划，2010年投入800万元，以后每年投入将比上年减少，本年度当地旅游业收入估计为400万元，由于该项建设对旅游业的促进作用，预计今后的旅游业收入每年会比上年增加．
(1)设n年内(2010年为第一年)总投入为an万元，旅游业总收入为bn万元，写出an，bn的表达式；
(2)至少经过几年，旅游业的总收入才能超过总投入？
[思路点拨] (1)an与bn分别是两个等比数列的前n项和．(2)解不等式bn＞an即可．
[解] (1)第1年投入为800万元，第2年投入为800×万元……第n年投入为800×万元，所以n年内的总投入为an＝800＋800×＋…＋800×＝4
000×eq
\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,5)))))．
第1年旅游业收入为400万元，第2年旅游业收入为400×＝400×＝500万元……第n年旅游业收入为400×n－1＝400×万元，所以n年内旅游业总收入为bn＝400＋400×＋…＋400×＝1
600×eq
\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,4)))－1))万元．
(2)设至少经过n年旅游业总收入才能超过总投入，则bn－an＞0，即1
600×eq
\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,4)))－1))－4
000×eq
\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(4,5)))))＞0，
化简得2×＋5×－7＞0，设t＝，则不等式等价为5t2－7t＋2＞0，解得t＜或t＞1(舍去)．
即＜，解得n≥5，即至少经过5年旅游业的总收入才能超过总投入．
解决数列在实际应用中的问题关键是通过仔细审题，将实际问题转化为数列模型，运用等差数列和等比数列的知识解决问题，因此在做题过程中必须明确建立的是等差数列模型还是等比数列模型，明确是求n，还是求an，或是求Sn．
[跟进训练]
2．现在某企业进行技术改造，有两种方案：甲方案——一次性贷款10万元，第一年可获利1万元，以后每年比前一年增加30%的利润；乙方案——每年贷款1万元，第一年可获利1万元，以后每年都比前一年增加利润5千元，两种方案使用期都是10年，到期一次性还本付息．若银行贷款利息均按年息10%的复利计算，试比较两方案的优劣(计算时，精确到千元，并取1.110≈2.594，1.310≈13.79)．
[解] 甲方案10年共获利1＋(1＋30%)＋…＋(1＋30%)9＝≈42.63．
到期时，银行贷款本息为10(1＋10%)10≈25.94．
所以按甲方案扣除贷款本息后，净收益为42.63－25.94＝16.69(万元)．
乙方案10年共获利1＋1.5＋…＋(1＋9×0.5)＝＝32.5，
到期时，银行贷款本息为(1＋10%)＋(1＋10%)2＋…＋(1＋10%)10＝1.1×≈17.53，
所以按乙方案扣除贷款本息后，净收益为32.5－17.53＝14.97(万元)．
所以甲方案略优于乙方案．
类型3 分期付款问题
【例3】 职工小张年初向银行贷款2万元用于购房，银行贷款的年利率为10%，按复利计算，若这笔贷款要分10年等额还清，每年年初还一次，并且从借款后次年年初开始归还，问每年应还多少元？(精确到1元)
[思路点拨] 从以下两点考虑：
(1)每年按复利计算，即本年利息计入次年的本金生息．
(2)分期付款，各期所付的款以及到最后一次付款时所生的利息合计，应等于2万元及2万元到最后一次付款时所生的利息之和．
[解] 设每年还款x元，需10年还清，那么每年还款及利息情况如下：
第10年还款x元，此次欠款全部还清．
第9年还款x元，过1年欠款全部还清时，所付款连同利息之和为x(1＋10%)元．
第8年还款x元，过2年欠款全部还清时，所付款连同利息之和为x(1＋10%)2元．
……
第1年还款x元，过9年欠款全部还清时，所付款连同利息之和为x(1＋10%)9元．
根据题意可得：
x＋x(1＋10%)＋x(1＋10%)2＋…＋x(1＋10%)9＝20
000(1＋10%)10，
∴x＝≈3
255．
∴每年应还款3
255元．
分期付款的相关规定：
(1)在分期付款中，每月的利息均按复利计算；
(2)分期付款中规定每期所付款额相同；
(3)各期所付款额连同到最后一次付款所生的利息之和，等于商品售价及从购买到最后一次付款时的利息之和．
[跟进训练]
3．用分期付款方法购买电器一件，价格为1
150元，购买当天先付150元，以后每月这一天都交付50元，并加付欠款的利息，月利率为1%，分20次付完．若交付150元以后的第一个月开始算分期付款的第一个月，问分期付款的第十个月该交付多少钱？全部贷款付清后，买这件家电实际花多少钱？
[解] 购买时付150元，欠1
000元，每月付50元，分20次付清，设每月付款数顺次成数列{an}，则
a1＝50＋1
000×1%＝60(元)，
a2＝50＋(1
000－50)×1%＝59.5＝(60－0.5×1)(元)，
a3＝50＋(1
000－50×2)×1%＝59＝(60－0.5×2)(元)，…，
依次类推，
a10＝50＋(1
000－50×9)×1%＝55.5＝(60－0.5×9)(元)，
an＝60－0.5(n－1)＝－0.5n＋60.5(1≤n≤20)．
所以{an}组成以60为首项，－0.5为公差的等差数列，
所以总数＝S20＋150＝20a1＋＋150＝1
255(元)，
所以第十个月该交55.5元，全部付清实际花1
255元．
1．等差、等比数列的应用常见于：存款、贷款、购物(购房)分期付款、保险、资产折旧等问题，解决方法是建立数列模型，应用数列知识解决问题．
2．将实际问题转化为数列问题时应注意：
(1)分清是等差数列还是等比数列；
(2)分清是求an还是求Sn，特别要准确确定项数n；
(3)前后项关系的发现是数列建模的关键．
1．一个蜂巢里有1只蜜蜂，第1天，它飞出去，找回了5个伙伴；第2天，6只蜜蜂飞出去，各自找回了5个伙伴，……如果这个找伙伴的过程继续下去，第6天所有的蜜蜂都归巢后，蜂巢中蜜蜂的总数为( )
A．55
986 B．46
656 C．216 D．36
B [由已知得，每天蜂巢中的蜜蜂数构成首项为6，公比为6的等比数列，故第6天蜂巢中的蜜蜂数为66＝46
656．]
2．某储蓄所计划从2010年起，力争做到每年的吸储量比前一年增长8%，则2013年底该储蓄所的吸储量将比2010年的吸储量增加( )
A．24%
B．32%
C．(1.083－1)×100%
D．(1.084－1)×1.083
C [设2010年吸储量为a．
则2011年吸储量为a(1＋8%)，
2012年吸储量为a(1＋8%)2，
2013年吸储量为a(1＋8%)3，
∴2013年底比2010年增加(1.083－1)×100%．]
3．“嫦娥”奔月，举国欢庆，据科学计算，运载“嫦娥”飞船的“长征3号甲”火箭，点火1分钟内通过的路程为2
km，以后每分钟通过的路程增加2
km，在到达离地面240
km的高度时，火箭与飞船分离，则这一过程大约需要的时间是________分钟．
15 [设经过x分钟，到达离地面240
km的高度．由已知得每分钟行驶的路程组成首项为2，公差为2的等差数列，故有2x＋×2＝240，
即x2＋x－240＝0，
解得x＝15或x＝－16(舍)．
]
4．学校餐厅每天供应500名学生用餐，每星期一有A，B两种菜可供选择．调查资料表明，凡是在星期一选A种菜的，下星期一会有20%改选B种菜；而选B种菜的，下星期一会有30%改选A种菜．用an，bn分别表示在第n个星期选A的人数和选B的人数，如果a1＝300，求a10．
[解] 依题意，an＝0.8an－1＋0.3bn－1，an＋bn＝500，
∴an＝0.8an－1＋0.3(500－an－1)＝0.5an－1＋150，
∴an－300＝0.5(an－1－300)，
又∵a1－300＝0，
∴an－300＝0，
即an＝300，
∴a10＝300．
8/8课后素养落实(九) 数列在日常经济生活中的应用
(建议用时：40分钟)
一、选择题
1．有一座七层塔，每层所点灯的盏数都是上一层的两倍，这座塔一共点381盏灯，则底层所点灯的盏数是( )
A．190 B．191 C．192 D．193
C [设最上面一层有x盏，则第二层有2x盏，第三层有4x盏，第四层有8x盏，…，第七层有26x盏，
由题意知，x＋2x＋4x＋8x＋…＋26x＝381，即＝381，
解得x＝3，
故底层所点灯的盏数是26×3＝192．]
2．夏季高山上气温从山脚起每升高100米降低0.7
℃，已知山顶气温是14.1
℃，山脚的气温是26
℃，那么此山相对于山脚的高度是( )
A．1
500米
B．1
600米
C．1
700米
D．1
800米
C [由题意知高山上每升高100米的气温构成数列{an}，则{an}是等差数列，其中a1＝26，an＝14.1，d＝－0.7，
∴14.1＝26＋(n－1)×(－0.7)，
∴n＝18，
∴山高为(18－1)×100＝1
700(米)．]
3．某化工厂打算投入一条新的生产线，但需要经环保部门审批同意方可投入生产．已知该生产线连续生产n年的累计产量为f(n)＝n(n＋1)(2n＋1)吨，但如果年产量超过150吨，将会给环境造成危害．为保护环境，环保部门应给该厂这条生产线拟定最长的生产期限是( )
A．5年
B．6年
C．7年
D．8年
C [由已知可得第n年的产量an＝f(n)－f(n－1)＝3n2；当n＝1时也适合．据题意令an≥150?n≥5，即从第8年开始超过150，即这条生产线最多生产7年．]
4．
某小区现有住房的面积为a平方米，在改造过程中政府决定每年拆除b平方米旧住房，同时按当年住房面积的10%建设新住房，则n年后该小区的住房面积为( )
A．a·1.1n－nb
B．a·1.1n－10b(1.1n－1)
C．n(1.1a－1)
D．1.1n(a－b)
B [由an＋1＝an·1.1－b，
a0＝a，a1＝a·1.1－b，则a2＝a·1.12－1.1b－b，
a3＝a·1.13－1.12b－1.1b－b
＝a·1.13－b(1＋1.1＋1.12)，
…，
an＝1.1na－b(1＋1.1＋1.12＋…＋1.1n－1)
＝1.1na－b×＝1.1na－10(1.1n－1)b．]
5．“十二平均律”是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献．十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于．若第一个单音的频率为f，则第八个单音的频率为( )
A．f
B．f
C．f
D．f
D [由题意知十三个单音的频率依次构成首项为f，公比为的等比数列，设此数列为{an}，则a8＝f，即第八个单音的频率为f．]
二、填空题
6．某人为了观看2024年巴黎奥运会，从2020年起，每年的5月1日到银行存入a元的定期储蓄，若年利率为p且保持不变，并约定每年到期，存款的本息均自动转为新的一年的定期，到2024年的5月1日将所有存款及利息全部取出，则可取出钱(元)的总数为________．
[(1＋p)5－(1＋p)] [取出钱的总数应为a(1＋p)4＋a(1＋p)3＋a(1＋p)2＋a(1＋p)1
＝a(1＋p)[1＋(1＋p)＋(1＋p)2＋(1＋p)3]
＝a(1＋p)
＝[(1＋p)5－(1＋p)]．]
7．某露天剧场有28排座位，每相邻两排的座位数相同，第一排有24个座位，以后每隔一排增加两个座位，则全剧场共有座位________个．
1
036 [第1，2排座位总数记为a1＝48，第3，4排座位总数为a2＝48＋4＝52，…，依次成公差为4的等差数列{an}，其中n＝14，Sn＝14×48＋×4＝1
036．]
8．一元线性同余方程组问题最早可见于中国南北朝时期(公元5世纪)的数学著作《孙子算经》卷下第二十六题，叫作“物不知数”问题，原文如下：有物不知数，三三数之剩二，五五数之剩三，问物几何？即一个整数除以三余二，除以五余三，求这个整数．设这个整数为a，当a∈[2，2
019]时，符合条件的a共有________个．
135 [法一：由题设a＝3m＋2＝5n＋3，m，n∈N，
则3m＝5n＋1，m，n∈N，
当m＝5k时，n不存在；当m＝5k＋1时，n不存在；
当m＝5k＋2时，n＝3k＋1，满足题意；
当m＝5k＋3时，n不存在；
当m＝5k＋4时，n不存在．其中k∈N．
故2≤a＝15k＋8≤2
019，解得－≤k≤，
则k＝0，1，2，…，134，共135个．
即符合条件的a共有135个，
故答案为135．
法二：一个整数除以三余二，这个整数可以为2，5，8，11，14，17，20，23，26，29，32，35，38，…，
一个整数除以五余三，这个整数可以为3，8，13，18，23，28，33，38，…，则同时除以三余二、除以五余三的整数为8，23，38，…，构成首项为8，公差为15的等差数列，通项公式为an＝8＋15(n－1)＝15n－7，
由15n－7≤2
019得15n≤2
026，n≤135
，
因为n∈N＋，所以n＝1，2，3，…，135，共有135个．]
三、解答题
9．流行性感冒(简称流感)是由流感病毒引起的急性呼吸道传染病．某市去年11月份曾发生流感．据资料统计，11月1日，该市新的流感病毒感染者有20人，此后，每天的新感染者平均比前一天的新感染者增加50人．由于该市医疗部门采取措施，使该种病毒的传播得到控制．从某天起，每天的新感染者平均比前一天的新感染者减少30人．到11月30日止，该市在这30日内感染该病毒的患者总共有8
670人．问11月几日，该市感染此病毒的新患者人数最多？并求这一天的新患者人数．
[解] 设从11月1日起第n(n∈N＋，1≤n≤30)日感染此病毒的新患者人数最多，则从11月1日至第n日止，每日新患者人数依次构成一个等差数列，这个等差数列的首项为20，公差为50，
前n日的患者总人数即该数列前n项之和Sn＝20n＋·50＝25n2－5n．
从第n＋1日开始，至11月30日止，每日的新患者人数依次构成另一等差数列，这个等差数列的首项为[20＋(n－1)·50]－30＝50n－60，公差为－30，项数为(30－n)，
(30－n)日的患者总人数为T30－n＝(30－n)·(50n－60)＋(－30)＝(30－n)·(65n－495)＝－65n2＋2
445n－14
850．
依题意，Sn＋T30－n＝8
670，即(25n2－5n)＋(－65n2＋2
445n－14
850)＝8
670．
化简得n2－61n＋588＝0，解得n＝12或n＝49．
∵1≤n≤30．∴n＝12．
第12日的新患者人数为20＋(12－1)·50＝570．
∴11月12日，该市感染此病毒的新患者人数最多，且这一天的新患者人数为570人．
10．某地区原有森林木材存量为a，且每年增长率为25%，因生产建设的需要每年年底要砍伐的木材量为b，设an为n年后该地区森林木材存量．
(1)求an的表达式；
(2)为保护生态环境，防止水土流失，该地区每年的森林木材存量不少于a，如果b＝a，那么该地区今后会发生水土流失吗？若会，需要经过几年？(取lg
2≈0.301)
[解] (1)设第一年森林木材存量为a1，第n年后的森林木材存量为an，则a1＝a－b＝a－b，
a2＝a1－b＝a－b，
a3＝a2－b＝a－eq
\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,4)))＋\f(5,4)＋1))·b，
…
an＝a－eq
\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,4)))＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,4)))＋…＋1))·b＝a－4·eq
\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,4)))－1))·b(n∈N＋)．
(2)假设当b＝a时有an
∴a－4eq
\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,4)))－1))·a5，
∴n>＝≈7.2．
答：经过8年后该地区就开始水土流失．
11．中国古代著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见末日行里数，请公仔细算相还．”其意思为：有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地，请问最后一天走了( )
A．6里
B．12里
C．24里
D．96里
A [由题意可得，每天行走的路程构成等比数列，记作数列{an}，设等比数列{an}的首项为a1，公比为q，则q＝，依题意有＝378，解得a1＝192，则a6＝192×＝6，最后一天走了6里，故选A．]
12．某人在一年12个月中，每月10日向银行存入1
000元，假设银行的月利率为5‰(按单利计算)，则到第二年的元月10日，此项存款一年的利息之和为( )
A．5(1＋2＋3＋…＋12)元
B．5(1＋2＋3＋…＋11)元
C．1
000[5‰＋(5‰)2＋(5‰)3＋…＋(5‰)12]元
D．1
000[5‰＋(5‰)2＋(5‰)3＋…＋(5‰)11]元
A [1
000[1×5‰＋2×5‰＋3×5‰＋…＋12×5‰]＝5(1＋2＋3＋…＋12)(元)．
]
13．某工厂购买一台机器a万元，实行分期付款，每期付款b万元，每期为一个月，共付12次，如果月利率为5‰，按复利计算，则a，b应满足( )
A．b＝
B．b＝(1＋5‰)12
C．b＝(1＋5‰)
D．＜b＜(1＋5‰)12
D [∵b(1＋1.005＋1.0052＋…＋1.00511)＝(1＋5‰)12a，∴12b＜(1＋5‰)12a，
∴b＜(1＋5‰)12，又b＞．故选D．]
14．[一题两空]《孙子算经》中“物不知数”问题的解法，西方称之为“中国剩余定理”．这是一个关于整除的问题，现有这样一个整除问题：将1至2
020这2
020个数中，能被3除余1且被7除余1的数按从小到大的顺序排成一列，构成数列{an}，则此数列共有________项，这些项的和为________．
97 97
873 [能被3除余1且被7除余1的数就只能是被21除余1的数，故an＝21n－20，由1≤an≤2
020得1≤n≤97，又n∈N＋，故此数列共有97项，这些项的和为＝97
873．]
15．某国采用养老储备金制度．公民在就业的第一年就交纳养老储备金，数目为a1，以后每年交纳的数目均比上一年增加d(d>0)，因此，历年所交纳的储务金数目a1，a2，…是一个公差为d的等差数列，与此同时，国家给予优惠的计息政策，不仅采用固定利率，而且计算复利．这就是说，如果固定年利率为r(r>0)，那么，在第n年末，第一年所交纳的储备金就变为a1(1＋r)n－1，第二年所交纳的储备金就变为a2(1＋r)n－2，……，以Tn表示到第n年末所累计的储备金总额．
(1)写出Tn与Tn－1(n≥2)的递推关系式；
(2)求证：Tn＝An＋Bn，其中{An}是一个等比数列，{Bn}是一个等差数列．
[解] (1)根据题意知Tn＝Tn－1(1＋r)＋an(n≥2)．
(2)T1＝a1，对n≥2反复使用上述关系式，得
Tn＝Tn－1(1＋r)＋an＝Tn－2(1＋r)2＋an－1(1＋r)＋an＝…
＝a1(1＋r)n－1＋a2(1＋r)n－2＋…＋an－1(1＋r)＋an，①
在①式两端同乘1＋r，得
(1＋r)Tn＝a1(1＋r)n＋a2(1＋r)n－1＋…＋an－1(1＋r)2＋an(1＋r)，②
②－①，得rTn＝a1(1＋r)n＋d[(1＋r)n－1＋(1＋r)n－2＋…＋(1＋r)]－an
＝[(1＋r)n－1－r]＋a1(1＋r)n－an．
即Tn＝(1＋r)n－n－．
如果记An＝(1＋r)n，Bn＝－－n，
则Tn＝An＋Bn．
其中{An}是以(1＋r)为首项，以1＋r(r＞0)为公比的等比数列；{Bn}是以－－为首项，－为公差的等差数列．
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