中小学教育资源及组卷应用平台
§2 等差数列
2.1 等差数列的概念及其通项公式
第1课时 等差数列
学
习
任
务
核
心
素
养
1．理解等差数列的概念．(重点)2．掌握等差数列的判定方法．(难点)3．掌握等差数列的通项公式及通项公式的应用．(重点、难点)
1．通过对等差数列的有关概念的学习，培养数学抽象素养．2．借助等差数列通项公式的应用，培养数学运算素养．
1．先根据数列的特点填空，再思考一下这些数列的共同特点．
1,2，( )，4,5，…
2,5,8，( )，14，…
－2,3,8，( )，18，…
[提示] 后一项减前一项都等于常数．
2．对这样的数列，如何表示相邻两项的关系(an＋1与an)?
[提示] an＋1－an＝d(d为常数)．
1．等差数列的定义
文字语言
从第2项起，每一项与它的前一项的差都是同一个常数，称这样的数列为等差数列
符号语言
若an－an－1＝d(n≥2)，则数列{an}为等差数列
2．等差数列的通项公式
若首项是a1，公差是d，则等差数列{an}的通项公式为an＝a1＋(n－1)d．
(1)若把等差数列概念中“同一个”去掉，那么这个数列还是等差数列？
(2)若数列{an}的通项an＝
试问数列{an}是等差数列吗？
[提示] (1)一个数列从第
2项起，每一项与它前
一项的差都等于常数，若这些常数相等，则这个数列是等差数列；若这些常数不相等，则这个数列不是等差数列．
(2)不是．
1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)已知a3与a5，可以求出等差数列{an}的通项公式．
( )
(2)等差数列{an}的单调性是由公差d决定的．
( )
(3)数列{an}为等差数列的充要条件是其通项公式为n的一次函数．
( )
[答案] (1)√ (2)√ (3)×
2．已知等差数列{an}的通项公式an＝3－2n，则它的公差d为( )
A．2 B．3 C．－2 D．－3
[答案] C
3．等差数列{an}，a1＝7，a7＝1，则a5＝________．
3 [a1＝7，a7＝1，由an＝a1＋(n－1)d得1＝7＋6d，
∴d＝－1，
∴a5＝a1＋4d＝3．]
4．若an＝pn＋q(p，q为常数)，问{an}是否为等差数列？
[解] ∵an＝pn＋q，
∴an＋1＝p(n＋1)＋q，
∴an＋1－an＝p(常数)．
∴{an}是公差为p，首项为p＋q的等差数列．
类型1 等差数列的通项公式
【例1】 在等差数列{an}中，已知a5＝11，a8＝5，求通项公式an．
[思路点拨] 欲求an，只需求首项a1和公差d，故可利用a5＝11，a8＝5，建立关于a1和d的方程组求解．
[解] 设数列{an}的公差为d，
由a5＝11，a8＝5，得
即解得a1＝19，d＝－2，
所以数列{an}的通项公式an＝19＋(n－1)×(－2)＝21－2n．
首项a1和公差d是等差数列{an}的两个基本量，有关等差数列的问题，一般都可以通过求a1和d求解，但要注意公式的变形和整体代换的运用，以减少运算量．
[跟进训练]
1．在等差数列40,37,34，…中第一个负数项是( )
A．第13项
B．第14项
C．第15项
D．第16项
C [设数列{an}的公差为d，
由已知得：a1＝40，d＝37－40＝－3，
所以an＝40＋(n－1)×(－3)＝43－3n，
由an<0，得43－3n<0，解得n>，
所以第一个负数项是第15项．]
类型2 等差数列的判定
【例2】 如果数列{an}是等差数列，数列{bn}中，bn＝3an＋2，求证：{bn}是等差数列．
[思路点拨] 要证{bn}是等差数列，即要证bn＋1－bn为常数(n∈N＋)．
[证明] {an}为等差数列，设公差为d，则an＋1－an＝d(n∈N＋)，
由bn＝3an＋2，得bn＋1＝3an＋1＋2,
∴bn＋1－bn＝3(an＋1－an)＝3d(n∈N＋)是常数．
∴数列{bn}是等差数列．
1．用定义证明一个数列是等差数列，即证明an＋1－an＝d(d为常数)．
2．说明一个数列不是等差数列，只需说明存在p，q使ap＋1－ap≠aq＋1－aq即可．
[跟进训练]
2．已知数列{xn}满足xn＝．
(1)求证：是等差数列；
(2)当x1＝时，求x100．
[解]
(1)证明：当n≥2时，＝＝＋，
∴－＝，
∴是等差数列，公差为．
(2)由(1)知，
＝2＋(n－1)，
∴＝2＋(100－1)＝35，
∴x100＝．
类型3 等差数列的实际应用
【例3】 某市出租车的计价标准为1.2元/km，起步价为10元，即最初的4
km(不含4
km)计费10元，如果某人乘坐该市的出租车去往14
km处的目的地，且一路畅通，等候时间为0，那么需要支付多少车费？
[解]
根据题意，当该市出租车的行程大于或等于4
km时，每增加1
km，乘客需要支付1.2元．
所以，可以建立一个等差数列{an}来计算车费．
令a1＝11.2，表示4
km处的车费，公差d＝1.2，
那么当出租车行至14
km处时，n＝11，
此时需要支付车费a11＝11.2＋(11－1)×1.2＝23.2(元)．
即需要支付车费23.2元．
在实际问题中，若一组数依次成等数额增长或下降，则可考虑利用等差数列方法解决．在利用数列方法解决实际问题时，一定要分清首项、项数等关键问题．
[跟进训练]
3．在通常情况下，从地面到10
km高空，高度每增加1
km，气温就下降某一个固定数值．如果1
km高度的气温是8.5
℃，5
km高度的气温是－17.5
℃，求2
km,4
km,8
km高度的气温．
[解]
用{an}表示自下而上各高度气温组成的等差数列，则a1＝8.5，a5＝－17.5，
由a5＝a1＋4d＝8.5＋4d＝－17.5，解得d＝－6.5，
∴an＝15－6.5n．∴a2＝2，a4＝－11，a8＝－37，
即2
km,4
km,8
km高度的气温分别为2
℃，－11
℃，－37
℃．
1．等差数列的通项公式：
(1)等差数列的通项公式由首项和公差确定；
(2)在等差数列中，已知a1，n，d，an这四个量中的三个，可以求得另一个量．
2．等差数列的判定方法：
(1)定义法：an＋1－an＝d(常数)?{an}是等差数列．
(2)通项公式法：an＝kn＋b(k、b为常数)?{an}是等差数列．
1．等差数列，－，－，…的第10项为( )
A．－ B．－ C． D．
B [由a1＝，d＝－－＝－2，得an＝＋(n－1)(－2)＝－2n＋．
当n＝10时，a10＝－2×10＋＝－．]
2．在首项为81，公差为－7的等差数列中，值最接近零的项是( )
A．第11项
B．第12项
C．第13项
D．第14项
C [由an＝a1＋(n－1)d得an＝－7n＋88，
令an≥0，解得n≤＝12，而a12＝4，a13＝－3，故a13的值最接近零．]
3．等差数列的第1项是1，第7项是－1，则它的第4项是( )
A．0
B．1
C．2
D．3
A [a1＝1，a7＝－1，由an＝a1＋(n－1)d得，－1＝1＋6d，∴d＝－，
∴a4＝a1＋3d＝0．]
4．已知数列{an}的通项公式是an＝2n＋2，求证：数列{lg
an}是等差数列．
[证明] 设bn＝lg
an，则bn＋1－bn＝lg
an＋1－lg
an＝(n＋3)lg
2－(n＋2)lg
2
＝lg
2(常数)．
所以数列{bn}是等差数列，即数列{lg
an}是等差数列．
HYPERLINK
"http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
"
21世纪教育网(www.21cnjy.com)(共38张PPT)
§2 等差数列
2.1 等差数列的概念及其通项公式
第1课时 等差数列
第一章 数列
情境导学·探新知
NO.1
2
差
同一个常数
1
2
3
4
1
2
3
4
1
2
3
4
1
2
3
4
合作探究·释疑难
NO.2
类型1
类型2
类型3
当堂达标·夯基础
NO.3
1
2
3
4
1
2
3
4
1
2
3
4
1
2
3
4
1
2
3
4
谢谢观看
THANK
YOU!
点此进入
答案
点此进入
解析答案
反思领悟
●●●。中小学教育资源及组卷应用平台
课后素养落实(三) 等差数列
(建议用时：40分钟)
一、选择题
1．等差数列－3，－7，－11，…的通项公式为( )
A．4n－7 B．－4n－7 C．4n＋1 D．－4n＋1
D [∵a1＝－3，d＝(－7)－(－3)＝－4，
∴an＝－3－4(n－1)＝－4n＋1．]
2．已知在等差数列{an}中，首项a1＝4，公差d＝－2，则通项公式an等于( )
A．4－2n
B．2n－4
C．6－2n
D．2n－6
C [由等差数列的通项公式得an＝a1＋(n－1)d＝4＋(n－1)×(－2)＝－2n＋6．]
3．已知数列{an}是等差数列，若a3＋a11＝24，a4＝3，则数列{an}的公差等于( )
A．1
B．3
C．5
D．6
B [设{an}的首项为a1，公差为d，
∴解得d＝3．]
4．等差数列{an}的前三项分别是a－1，a＋1，a＋3，则该数列的通项公式为( )
A．an＝2n－5
B．an＝2n－1
C．an＝2n＋a－3
D．an＝2n＋a－1
C [由a1＝a－1，d＝(a＋1)－(a－1)＝2,
得an＝2n＋a－3．]
5．已知点(n，an)(n∈N＋)在直线3x－y－24＝0上，那么在数列{an}中有( )
A．a7＋a9>0
B．a7＋a9<0
C．a7＋a9＝0
D．a7·a9＝0
C [∵(n，an)在直线3x－y－24＝0，∴an＝3n－24，∴a7＝3×7－24＝－3，a9＝3×9－24＝3，∴a7＋a9＝0．]
二、填空题
6．等差数列－3,1,5，…的第15项为________．
53 [∵a1＝－3，d＝1－(－3)＝4，
∴an＝－3＋4(n－1)＝4n－7．
∴a15＝4×15－7＝53．]
7．在下面数表中，已知每行、每列中的数都成等差数列，那么位于下表中的第n行．第(n＋1)列的数是________．
n＋n2 [观察数表知，第n行的数组成以n为首项，以n为公差的等差数列，故第n行、第n＋1列的数是n＋n2．
]
8．在数列{an}中，a1＝3，且对任意大于1的正整数n，点(，
)在直线x－y－＝0上，则数列{an}的通项公式为an＝________．
3n2 [∵点(，)在直线x－y－＝0上，
∴－－＝0，即－＝(n≥2)．
则数列{}是以为首项，为公差的等差数列，
∴＝＋(n－1)＝n，∴数列{an}的通项公式为an＝3n2．]
三、解答题
9．在等差数列{an}中a1＝83,
a4＝98，则这个数列有多少项在300到500之间？
[解] ∵a4＝a1＋(4－1)d，
∴98＝83＋(4－1)d，解得d＝5，
∴an＝83＋5(n－1)＝5n＋78，
由300
∴在300到500之间有84－44＝40项．
10．在数列{an}中，a1＝1,3anan－1＋an－an－1＝0(n≥2)．
(1)求证：数列是等差数列；
(2)求数列{an}的通项．
[解] (1)证明：因为3anan－1＋an－an－1＝0(n≥2)，
整理得－＝3(n≥2)，
所以数列是以1为首项，3为公差的等差数列．
(2)由(1)可得＝1＋3(n－1)＝3n－2，所以an＝．
11．等差数列1，－1，－3，…，－89的项数是( )
A．92 B．47 C．46 D．45
C [由题意得an＝1＋(n－1)×(－2)＝－2n＋3，由an＝－89，得n＝46．]
12．在等差数列{an}中，a1＝4，a3＝3，则此数列的第一个负数项是( )
A．a9
B．a10
C．a11
D．a12
B [an＝4－(n－1)，由an<0，得n>9，
∴数列的第一个负数项是a10．]
13．(多选题)若数列{an}是等差数列，则下列结论正确的是( )
A．数列{an＋2}一定是等差数列
B．数列{an－2}一定是等差数列
C．数列{2an}是一定等差数列
D．数列一定是等差数列
ABCD [利用等差数列的定义易判断ABCD均是等差数列．]
14．[一题多空]在等差数列{an}中，a3＝10，a10＝31，则首项a1＝_________，公差d＝___________．
4 3 [由题意知解得a1＝4，d＝3．]
15．有两个等差数列2,6,10，…，及2,8,14，…，由这两个等差数列的公共项按从小到大的顺序组成一个新数列{an}，求数列{an}的通项公式．
[解] 记这两个数列分别为{bn}与{cn}，则
bn＝2＋4(n－1)＝4n－2，cn＝2＋6(n－1)＝6n－4，
由bp＝cq(p，q∈N＋)，得4p－2＝6q－4，
∴p＝q＋，当且仅当q为正奇数时，等式成立，
∴an＝c2n－1＝12n－10．
HYPERLINK
"http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
"
21世纪教育网(www.21cnjy.com)