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§7 导数的应用
7.1 实际问题中导数的意义
7.2 实际问题中的最值问题
学
习
任
务
核
心
素
养
1．体会导数在解决实际问题中的作用．(重点)2．能利用导数解决简单的实际问题．(难点)
通过导数在解决实际问题中的应用，培养数学建模及数学运算素养．
生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题通常称为最优化问题．这些问题的求解思路是什么？
[提示] 这些问题的求解思路是先建立函数模型，再求其最值，而导数是求函数的最值的有力工具．
1．解决实际问题的关键在于把“问题情境”译为“数学语言”，找出问题的主要关系，抽象成数学问题，然后用数学方法求解．
2．用导数解决优化问题的基本思路
上述解决优化问题的过程是一个典型的数学建模过程．
用导数求解生活中的优化问题时，应注意哪些问题？
[提示] (1)在求实际问题的最大(小)值时，一定要考虑实际问题的意义，不符合实际意义的值应舍去．
(2)在解决实际优化问题时，不仅要注意将问题中涉及的变量关系用函数关系表示，还应确定出函数关系式中自变量的定义区间．
(3)在实际问题中，有时会遇到函数在区间内只有一个点使f′(x)＝0的情形，如果函数在这点有极大(小)值，那么不与端点值比较，也可以知道这就是最大(小)值．
1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)在利用导数解决生活中的优化问题时，既要考虑变量的数学意义，又要关注其实际意义．
( )
(2)若s＝s(t)是物体的运动方程，则s′(t0)是在t＝t0时刻的瞬时速度．
( )
(3)若s＝s(t)是物体的运动方程，则[s′(t)]′是在t时刻的加速度．
( )
[答案] (1)√ (2)√ (3)√
2．如图，将直径为d的圆木锯成长方体横梁，横截面为矩形，横梁的强度同它的断面高的平方与宽x的积成正比(强度系数为k，k>0)．要将直径为d的圆木锯成强度最大的横梁，断面的宽x应为( )
横梁断面
A． B． C．d D．d
C [设断面高为h，则h2＝d2－x2．设横梁的强度函数为f(x)，则f(x)＝k·xh2＝k·x(d2－x2)，0令f′(x)＝k(d2－3x2)＝0，解得x＝d(舍去负值)．
当00，f(x)单调递增；
当d所以函数f(x)在定义域(0，d)内只有一个极大值点x＝d．
所以x＝d时，f(x)有最大值，故选C．]
3．做一个容积为256
dm3的方底无盖水箱，它的高为______dm时最省材料．
4 [设水箱底面边长为x
dm，则高为
dm，用料总面积S＝x2＋4··x＝x2＋，S′＝2x－，令S′＝0得x＝8，当0＜x＜8时，S′＜0，当x＞8时，S′＞0，
∴当x＝8时，S取得最小值，则高为4
dm．]
4．某考生在参加2020年高考数学科考试时，其解答完的题目数量y(单位：道)与所用时间x(单位：分钟)近似地满足函数关系y＝2．
(1)求x从0分钟变化到36分钟时，y关于x的平均变化率；
(2)求f′(64)，f′(100)，并解释它的实际意义．
[解] (1)x从0分钟变化到36分钟，y关于x的平均变化率为＝＝．
它表示该考生前36分钟平均每分钟解答完道题．
(2)∵f′(x)＝，
∴f′(64)＝，f′(100)＝．
它们分别表示该考生在第64分钟和第100分钟时每分钟可解答和道题．
类型1 导数在物理学中的应用
【例1】 如图所示，某人拉动一个物体前进，他所做的功W(单位：J)是时间t(单位：s)的函数，设这个函数可以表示为W(t)＝t3－6t2＋16t．
(1)求t从1
s变到3
s时，功W关于时间t的平均变化率，并解释它的实际意义；
(2)求W′(1)，W′(2)，并解释它们的实际意义．
[思路点拨] 弄清题意，根据物理中导数的意义解答：(1)功的平均变化率表示平均每秒做的功；(2)功率是功关于时间的导数．
[解] (1)当t从1
s变到3
s时，功W从W(1)＝11
J变到W(3)＝21
J，此时功W关于时间t的平均变化率为＝＝5(J/s)．
它表示从t＝1
s到t＝3
s这段时间，这个人平均每秒做功5
J．
(2)首先求W′(t)．根据导数公式和求导法则可得W′(t)＝3t2－12t＋16，
于是，W′(1)＝7
J/s，W′(2)＝4
J/s．
W′(1)和W′(2)分别表示t＝1
s和t＝2
s时，这个人每秒做的功分别为7
J和4
J．
1．函数y＝f(x)在x＝x0处的导数f′(x0)反映了函数在这点处的瞬时变化率，它揭示了事物在某时刻的变化状况，导数可以描述任何事物的瞬时变化率．
2．瞬时速度是运动物体的位移s(t)对于时间的导数，即v(t)＝s′(t)；瞬时加速度是运动物体的速度v(t)对于时间的导数，即a(t)＝v′(t)．
[跟进训练]
1．线段AB长10米，在它的两个端点处各有一个光源，线段AB上的点P距光源A
x米，已知点P受两个光源的总光照度I(x)＝＋，其单位为：勒克斯．
(1)当x从5变到8时，求点P处的总光照度关于点P与A的距离x的平均变化率，它代表什么实际意义？
(2)求I′(5)并解释它的实际意义．
[解] (1)当x从5变到8时，点P处的总光照度I关于点P与A的距离x的平均变化率为
＝＝＝0.005(勒克斯/米)，
它表示点P与光源A的距离从5米增加到8米的过程中，距离每增加1米，光照度平均增强0.005勒克斯．
(2)∵I(x)＝＋，
∴I′(x)＝8·(－2·x－3)＋＝－＋．
∴I′(5)＝－＋＝－＝－0.112(勒克斯/米)．
它表示点P与光源A距离5米时，点P受两光源总光照度减弱的速度为0.112勒克斯/米．
类型2 导数在日常生活中的应用
【例2】 某机械厂生产一种木材旋切机械，已知生产总利润c元与生产量x台之间的关系式为c(x)＝－2x2＋7
000x＋600．
(1)求产量为1
000台的总利润与平均利润；
(2)求产量由1
000台提高到1
500台时，总利润的平均改变量；
(3)求c′(1
000)与c′(1
500)，并说明它们的实际意义．
[思路点拨] (1)平均利润指平均每台所得利润；(2)总利润的平均改变量指c(x)的平均变化率；
(3)c′(x0)表示产量为x0台时，每多生产一台多获得的利润．
[解] (1)产量为1
000台时的总利润为
c(1
000)＝－2×1
0002＋7
000×1
000＋600＝5
000
600(元)，
平均利润为＝5
000.6(元)．
(2)当产量由1
000台提高到1
500台时，总利润的平均改变量为
＝＝2
000(元)．
(3)∵c′(x)＝(－2x2＋7
000x＋600)′＝－4x＋7
000，
∴c′(1
000)＝－4×1
000＋7
000＝3
000(元)．
c′(1
500)＝－4×1
500＋7
000＝1
000(元)．
c′(1
000)＝3
000表示当产量为1
000台时，每多生产一台机械可多获利3
000元．c′(1
500)＝1
000表示当产量为1
500台时，每多生产一台机械可多获利1
000元．
实际生活中的一些问题，如在生活和生产及科研中经常遇到的成本问题、用料问题、效率问题和利润等问题，在讨论其改变量时常用导数解决．
[跟进训练]
2．某企业每天的产品均能售出，售价为490元/吨，其每天成本C与每天产量q之间的函数为C(q)＝2
000＋450q＋0.02q2．
(1)写出收入函数；
(2)写出利润函数；
(3)求利润函数的导数，并说明其经济意义．
[解] 设收入函数为R(q)，利润函数为L(q)．
(1)收入函数为：R(q)＝490q．
(2)利润函数为：L(q)＝R(q)－C(q)＝490q－(2
000＋450q＋0.02q2)＝－2
000＋40q－0.02q2．
(3)利润函数的导数为：L′(q)＝(－2
000＋40q－0.02q2)′＝40－0.04q．
利润函数的导数称为边际利润，其经济意义为：当产量达到q时，再增加单位产量后利润的改变量．
类型3 生活中的优化问题
【例3】 某地政府为科技兴市，欲在如图所示的矩形ABCD的非农业用地中规划出一个高科技工业园区(图中阴影部分)，形状为直角梯形QPRE(线段EQ和RP为两个底边)，已知AB＝2
km，BC＝6
km，AE＝BF＝4
km，其中AF是以A为顶点、AD为对称轴的抛物线段．求该高科技工业园区的最大面积．
[解] 以A为原点，AB所在直线为x轴建立平面直角坐标系，如图，则A(0，0)，F(2，4)，由题意可设抛物线段所在抛物线的方程为y＝ax2(a>0)，由4＝a×22，得a＝1，则AF所在抛物线的方程为y＝x2，
又∵E(0，4)，C(2，6)，
∴EC所在直线的方程为y＝x＋4．
设P(x，x2)(0∴工业园区的面积S＝(4－x2＋4＋x－x2)·x＝－x3＋x2＋4x(0∴S′＝－3x2＋x＋4．
令S′＝0，得x＝或x＝－1(舍去)．
∵x＝∈(0，2)且S有唯一的极值点，
∴Smax＝，即该高科技工业园区的最大面积为
km2．
利用导数解决优化问题的一般步骤：
(1)抽象出实际问题的数学模型，列出函数关系式y＝f(x)．
(2)求函数f(x)的导数f′(x)，并解方程f′(x)＝0，即求函数可能的极值点．
(3)比较函数f(x)在区间端点的函数值和可能极值点的函数值的大小，得出函数f(x)的最大值或最小值．
(4)根据实际问题的意义给出答案．
[跟进训练]
3．某种商品每件的成本为9元，当售价为30元时，每星期可卖出432件．如果降低价格，销售量可以增加，且每星期多卖出的商品件数与商品单价的降低额x(单位：元，0≤x≤21)的平方成正比．已知商品单价降低2元时，每星期可多卖出24件．
(1)将一个星期的商品销售利润表示成x的函数；
(2)如何定价才能使一个星期的商品销售利润最大？
[解] (1)设商品降价x元，则多卖的商品数为kx2，若记商品在一个星期里的获利为f(x)，则有f(x)＝(30－x－9)(432＋kx2)＝(21－x)(432＋kx2)，
又由已知条件，24＝k×22，于是有k＝6．
所以f(x)＝－6x3＋126x2－432x＋9
072，x∈[0，21]．
(2)根据(1)，f′(x)＝－18x2＋252x－432＝－18(x－2)(x－12)．
令f′(x)＝0，即－18(x－2)(x－12)＝0，得x1＝2，x2＝12．
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化如下表：
x
0
(0，2)
2
(2，12)
12
(12，21)
21
f′(x)
－
0
＋
0
－
f(x)
9
072
↘
极小值
↗
极大值
↘
0
因为f(0)＝9
072664，所以x＝12时，f(x)取得最大值，
即当定价为30－12＝18(元)时，能使一个星期的商品销售利润最大．
1．要理解实际问题中导数的意义，首先要掌握导数的定义，然后依据导数的定义解释它在实际问题中的意义．
2．实际问题中导数的意义
(1)功关于时间的导数是功率．
(2)降雨量关于时间的导数是降雨强度．
(3)生产成本关于产量的导数是边际成本．
(4)路程关于时间的导数是速度，速度关于时间的导数是加速度．
1．某旅游者爬山的高度h(单位：m)关于时间t(单位：h)的函数关系式是h＝－100t2＋800t，则他在t＝2
h这一时刻的高度变化的速度是( )
A．500
m/h
B．1
000
m/h
C．400
m/h
D．1
200
m/h
C [∵h′＝－200t＋800，∴当t＝2
h时，h′(2)＝－200×2＋800＝400(m/h)．]
2．已知某生产厂家的年利润y(单位：万元)与年产量x(单位：万件)的函数关系式为y＝－x3＋81x－234，则使该生产厂家获取最大年利润的年产量为( )
A．13万件
B．11万件
C．9万件
D．7万件
C [y′＝－x2＋81，令y′＝0，解得x＝9(－9舍去)．当0＜x＜9时，y′＞0；当x＞9时，y′＜0，则当x＝9时，y取得最大值，故选C．]
3．将边长为1
m的正三角形薄铁皮，沿一条平行于某边的直线剪成两块，其中一块是梯形，记s＝，则s的最小值是________．
[如图，设DE＝x，则梯形的周长为3－x，梯形的面积为(x＋1)·(1－x)＝(1－x2)．
∴s＝＝·，x∈(0，1)，
设h(x)＝，h′(x)＝．
令h′(x)＝0，得x＝或x＝3(舍)，
∴h(x)最小值＝h＝8，
∴s最小值＝×8＝．]
4．[一题两空]某一做直线运动的物体，其位移s(m)与时间t(s)的关系是s＝3t－t2，则s′(0)＝________，它的实际意义是________．
3 初速度是3
m/s [∵s′＝3－2t，∴s′(0)＝3，它表示物体开始运动时的速度，即初速度是3
m/s．]
5．物体作自由落体运动，其方程为s(t)＝gt2．(其中位移单位：m，时间单位：s，g＝9.8
m/s2)
(1)计算当t从2
s变到4
s时位移s关于时间t的平均变化率，并解释它的意义；
(2)求当t＝2
s时的瞬时速度，并解释它的意义．
[解] (1)当t从2
s变到4
s时，位移s从s(2)变到s(4)，此时，位移s关于时间t的平均变化率为
＝＝9.8×3＝29.4(m/s)．
它表示物体从2
s到4
s这段时间平均每秒下落29.4
m．
(2)∵s′(t)＝gt，∴s′(2)＝2g＝19.6(m/s)．
它表示物体在t＝2
s时的速度为19.6
m/s．
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课后素养落实(十九) 导数的应用
(建议用时：40分钟)
一、选择题
1．质点运动的速度v(单位：m/s)是时间t(单位：s)的函数，且v＝v(t)，则v′(1)表示( )
A．t＝1
s时的速度
B．t＝1
s时的加速度
C．t＝1
s时的位移
D．t＝1
s的平均速度
B [v(t)的导数v′(t)表示t时刻的加速度，故选B．]
2．要做一个圆锥形漏斗，其母线长为20
cm，要使体积为最大，则其高应为( )
A．
cm
B．
cm
C．10
cm
D．5
cm
A [设圆锥底面半径为r，高为h，则h2＋r2＝202，
∴r＝
，
∴圆锥体积V＝πr2h＝π(400－h2)h＝π(400h－h3)，
令V′＝π(400－3h2)＝0得h＝，当h＜时，V′＞0；
当h＞时，V′＜0．
∴h＝时，V最大．]
3．圆的面积S关于半径r的函数是S＝πr2，那么在r＝3时面积的变化率是( )
A．6 B．9 C．9π D．6π
D [∵S′＝2πr，∴S′(3)＝2π×3＝6π．]
4．一个物体的运动方程为s＝1－t＋t2，其中s的单位是m，t的单位是s，那么物体在3
s末的瞬时速度是( )
A．7
m/s
B．6
m/s
C．5
m/s
D．8
m/s
C [s′(t)＝2t－1，∴s′(3)＝2×3－1＝5．]
5．某汽车的紧急刹车装置在遇到特别情况时需在2
s内完成刹车，其位移(单位：m)关于时间(单位：s)的函数为s(t)＝－t3－4t2＋20t＋15，则s′(1)的实际意义为( )
A．汽车刹车后1
s内的位移
B．汽车刹车后1
s内的平均速度
C．汽车刹车后1
s时的瞬时速度
D．汽车刹车后1
s时的位移
C [由导数的实际意义知，位移关于时间的瞬时变化率为该时刻的瞬时速度．]
二、填空题
6．[一题两空]正方形的周长y关于边长x的函数是y＝4x，则y′＝________，其实际意义是________．
[答案] 4 边长每增加1个单位长度，周长增加4个单位长度
7．某汽车的路程函数是s＝2t3－gt2(g＝10
m/s2)，则当t＝2
s时，汽车的加速度是________m/s2．
14 [∵v(t)＝s′(t)＝6t2－gt，∴a(t)＝v′(t)＝12t－g，
∴a(2)＝12×2－10＝14(m/s2)．]
8．一块正三角形的铁板的三个角上分别剪去三个全等的四边形，然后折成一个正三棱柱，尺寸如图所示．当x为________时，正三棱柱的体积最大，其最大值是________．
[V(x)＝(a－2x)2x，V′(x)＝(2x－a)(6x－a)，
令V′(x)＝0，得x＝，所以V(x)max＝．]
三、解答题
9．商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y(单位：千克)与销售价格x(单位：元/千克)满足关系式y＝＋10(x－6)2，其中3(1)求a的值；
(2)若该商品的成品为3元/千克，试确定销售价格x的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大．
[解] (1)因为x＝5时，y＝11，所以＋10＝11，a＝2．
(2)由(1)可知，该商品每日的销售量y＝＋10(x－6)2，
所以商场每日销售该商品所获得的利润
f(x)＝(x－3)＝2＋10(x－3)(x－6)2，3＜x＜6．
从而，f′(x)＝10[(x－6)2＋2(x－3)(x－6)]＝30(x－4)(x－6)，
于是，当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x
(3，4)
4
(4，6)
f′(x)
＋
0
－
f(x)
↗
极大值42
↘
由上表可得，x＝4是函数f(x)在区间(3，6)内的极大值点，也是最大值点，
所以，当x＝4时，函数f(x)取得最大值，且最大值等于42．
答：当销售价格为4元/千克时，商场每日销售该商品所获得的利润最大．
10．请你设计一个包装盒．如图所示，ABCD是边长为60
cm的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得A，B，C，D四个点重合于图中的点P，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒．E，F在AB上，是被切去的一个等腰直角三角形斜边的两个端点．设AE＝FB＝x(cm)．
(1)若广告商要求包装盒的侧面积S(cm2)最大，试问：x应取何值？
(2)某厂商要求包装盒的容积V(cm3)最大，试问：x应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值．
[解] 设包装盒的高为h(cm)，底面边长为a(cm)．
由已知得a＝x，h＝＝(30－x)，0＜x＜30．
(1)S＝4ah＝8x(30－x)＝－8(x－15)2＋1
800，
所以当x＝15时，S取得最大值．
(2)V＝a2h＝2(－x3＋30x2)，V′＝6x(20－x)．
由V′＝0得x＝0(舍去)或x＝20．
当x∈(0，20)时，V′＞0；当x∈(20，30)时，V′＜0．
所以当x＝20时，V取得极大值，也是最大值．
此时＝，即包装盒的高与底面边长的比值为．
11．如图，一个正五角星薄片(其对称轴与水面垂直)匀速地升出水面，记t时刻五角星露出水面部分的图形面积为S(t)(S(0)＝0)，则导函数y＝S′(t)的图象大致为( )
A B
C D
A [由题意知y＝S(t)为增函数，所以S′(t)＞0，排除B选项；当五角星刚好浮出一个角时，函数y＝S(t)的图象在这一时刻不连续，由此知选A．]
12．炼油厂某分厂将原油精炼为汽油，需对原油进行冷却和加热，如果第x小时，原油温度(单位：℃)为f(x)＝x3－x2＋8(0≤x≤5)，那么原油温度的瞬时变化率的最小值是( )
A．8 B． C．－1 D．－8
C [原油温度的瞬时变化率为f′(x)＝x2－2x＝(x－1)2－1(0≤x≤5)，所以当x＝1时，原油温度的瞬时变化率取得最小值－1．]
13．(多选题)为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗
，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层，某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元．该建筑物每年的能源消耗费用C(单位：万元)与隔热层厚度x(单位：cm)满足关系：C(x)＝(0≤x≤10)，若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元．设f(x)为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和，则下列结论正确的是( )
A．k＝40
B．f(x)＝＋6x(0≤x≤10)
C．前5年能源消耗费用之和在增加，后5年能源消耗费用之和在减少
D．当隔热层修建5
cm厚时，总费用达到最小值
ABD [由题设，每年能源消耗费用为C(x)＝，再由C(0)＝8得，k＝40，
因此C(x)＝，而建造费用为C1(x)＝6x．
最后得隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和为
f(x)＝20C(x)＋C1(x)＝20×＋6x＝＋6x(0≤x≤10)．
f
′(x)＝6－，令f
′(x)＝0，即＝6，
解得x＝5，x＝－(舍去)．
当0′(x)<0，当5′(x)>0，
故x＝5是f(x)的最小值点，对应的最小值为f(5)＝6×5＋＝70．
当隔热层修建5
cm厚时，总费用达到最小值70万元．]
14．[一题两空]某产品的销售收入y1(万元)是产量x(千台)的函数：y1＝17x2(x＞0)，生产成本y2(万元)是产量x(千台)的函数：y2＝2x3－x2(x＞0)，为使利润最大，应生产________千台，最大利润是________万元．
6 216 [设利润为y，则y＝y1－y2＝17x2－(2x3－x2)＝－2x3＋18x2(x＞0)，
∴y′＝－6x2＋36x＝－6x(x－6)．
令y′＝0，解得x＝0或x＝6，
经检验知x＝6既是函数的极大值点又是函数的最大值点．
∴最大利润是216万元．]
15．如图，有一矩形钢板ABCD缺损了一角(图中阴影部分)，边缘线OM上每一点到点D的距离都等于它到边AB的距离．工人师傅要将缺损的一角切割下来，使剩余部分成一个五边形，若AB＝1米，AD＝0.5米，问如何画切割线EF可使剩余部分五边形ABCEF的面积最大？
[解] 由题设知，边缘线OM是以点D为焦点，以直线AB为准线的抛物线的一部分．以O点为原点，AD所在直线为y轴建立如图所示的平面直角坐标系，则D，M，
所以边缘线OM所在抛物线的方程为：
y＝x2．
要使五边形ABCEF的面积最大，
则必有EF所在直线与抛物线相切，设切点为P(t，t2)，则直线EF的方程为：y＝2t(x－t)＋t2，即y＝2tx－t2，
由此可求得点E，F的坐标分别为，(0，－t2)，
所以S△DEF＝··＝·，
t∈，设f(t)＝S△DEF，
则f′(t)＝·＝
＝，
显然，函数f(t)在上是减函数，在上是增函数，
所以当t＝时，S△DEF取得最小值，相应地，五边形ABCEF的面积最大．
此时，点E，F的坐标分别为，，即沿直线EF画线段切割，可使五边形ABCEF的面积最大．
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§7 导数的应用
7.1 实际问题中导数的意义
7.2 实际问题中的最值问题
第二章 导数及其应用
情境导学·探新知
NO.1
数学建模
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合作探究·释疑难
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当堂达标·夯基础
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