高中数学必修四专题复习
图片预览
文档简介
专题一：三 角 函 数
【知识脉络】：
第一块：函数性质与图像
教学目标：
1、正弦、余弦、正切函数的性质，重点掌握上的函数的性质；
2、定义域、值域，重点能求正切函数的定义域；
3、能从图象上认识函数的各类性质，能用自己的语言把函数性质描述清楚，能写出来。
4、理解平移与伸缩
第二块：同角基本关系和诱导公式
同角基本关系就掌握好三个公式：
特别需要说明的是：平方关系中的开方运算，易错！
诱导公式的记忆方法很简单，联系两角和与差来记就行！如：
诱导公式的理解上，需从两角终边的位置关系来认识，如：
中涉及两个角是和，它们的位置是关于原点对称，象限对应关系是一、三或二、四，所以正切符号相同，直接取等号。其它类似。
第三块：三角变换
和差公式：
注意：
（1）、倍半关系是相对的，如：，，
等，根据题目的需要来确定倍角还是半角；
（2）几个常用的变式：
，其中的范围根据需要来确定
或，其中，的范围根据需要来确定
【题型示例】：第一部份“三角函数的图象与性质”
熟记定义、定义域、三角值的符号
1、若角的终边过点，则下列不等式正确的是（ ）
A、 B、
C、 D、
2、若角终边上有一点，则为（其中）
A、 B、 C、 D、
3、若，则位于
A、一、三象限 B、二、四象限 C、一、二象限 D、三、四象限
4、已知角终边上一点，且，则=
5、函数的定义域为
单调性：求单调区间是重点，三角的单调区间的求法是比较特殊的，掌握好例题所示的方法；另一类题型为比较大小，但都比较简单。
【例题1】（1）求函数的单调增区间
解：由得，。
所以，函数的单调增区间为：
（2）求函数的单调减区间 。
（3）求函数的单调区间 。
7、函数的一个减区间是 。
A、 B、 C、 D、
8、在内，使函数有意义的范围是
A、 B、 C、 D、
9、，则
A、 B、 C、 D、
10、若直线的斜率满足：，则直线的倾斜角的范围为
奇偶性：联系函数图像来理解奇偶性，即图像的对称性。
奇函数：，偶函数：
注意变化：如，。图像平移，可能会改变函数的奇偶性，也有可能不发生改变，如函数。观察图象，很容易得到正确的结论。
11、若函数为奇函数，则的值为（）
A、 B、 C、 D、
12、若函数为奇函数，则的值为（）
A、 B、 C、 D、
图像的对称性：注意观察图象，从图象上找出对称轴和对称中心的位置。
对称轴方程： 对称中心：
对称轴方程：· 对称中心：
理解：语义上，过顶点与X轴垂直的直线都是正、余弦函数的对称轴，而正、余弦曲线与X轴的每一个交点都是正、余弦函数的对称中心。
函数性质上看，若对称轴为，则必为函数的最大或最小值；若对称点为，则。注意，平移产生的变化。
13、函数的一条对称轴方程是
A、 B、 C、 D、
14、函数的一个对称中心是
A、 B、 C、 D、
15、函数的对称轴方程为 ，
对称中心为
值域和最值：
掌握好基本函数的值域和最值情况
（1）值域为，当时，；
当时，。
注解：联系图象或在象限内认识和记忆值域，效果会更好。
（2）的值域为，当时，；
当时，。
注解：联系图象或在象限内认识和记忆值域，效果会更好。
（3）的值域为，不存在最大值和最小值。
2、理解：函数值域会因定义域的改变而改变，掌握好下面例题所示的方法。
【例题2】若，求下列函数的值域：
（1） （2） （3）
16、若，求函数的值域，并求出函数取最大值时的的取值集合。
【题型示例】第二部分“同角基本关系和诱导公式”
诱导公式：主要功能是用于化“大角”（超出）为“小角”
公式：略
3、掌握两类基本型：
（1）关于或的二次函数型
【例题3】（1）求函数的最大值和最小值，并求出对应的的取值。
解：，若令，则
由得：
17、求函数的最大值和最小值，并求出对应的的取值。
（2）可转化为或
【例题4】、形如的函数可转化为上面的型
求下列函数的最值：
（1），
（2），
（3），
（4），
（5），
（6），
（7），
（8），
【例题5】借助三角变换转化成上面的型
求下列函数的最值：
已知函数
已知
已知函数f(x)=sin2x+sinxcosx+2cos2x,xR.
（4）已知向量，，
18、已知，（1）设，则为何值时，f(x)的最大值为4？（2）若，求的取值范围。
周期性：
（1）周期的符号形式：为非零常数。如，，所以为正弦函数的周期。其它一些函数也是有周期的：
（2）最小正周期：若为函数的周期，则也必为函数的周期，因此，函数的周期是有无数个的，其中正的最小的一个周期，称为函数的最小正周期，比如，正弦、余弦函数的最小正周期为，正切函数的最小正周期为
（3）最小正周期的计算公式：对于或，则；对于，则。特别注意：也只有上面三种形式下的三角函数才能使用最小正周期的计算公式！
19、求下列函数的最小正周期：
（1） （2）（3）
（4） （5） （6）
（7）（2007年广东高考）若函数，，则是（ ）
A、最小正周期为的偶函数 B、最小正周期为的奇函数
C、最小正周期为的偶函数 D、最小正周期为的奇函数
（8） （9） （10）
图像：
（1）关于“五点作图法”，以正弦函数为例进行说明。
第一、，
表一
0
0 1 0 0
此表是基础，请注意总结“五点”的规律或特征：
第二、请画出函数在一个周期上的草图。
处理思想，令，则，类比表一即可。
表二
0
0 1 0 0
得到“五点”分别为：
第三、画出函数在区间上的草图。
注意：与“第二”的区别，“第二”没有限定的取值范围，题中要求的“一个周期”可以自己设定，但“第三”中的范围是固定的.注意到这个给定的范围也正好是函数的一个周期。
问题：怎么求出“五点”呢？
分析：首先注意到，，这是函数的起点和终点，联系正弦曲线的变化规律，第二个点应该回到“平衡点”（类比与X轴的交点），第三个点应该是最低点，第四个点应该是“平衡点”，第五个点应该是最高点，第六个点就是终点。于是得到下表：
表三
0
2 1 1 2 3
（2）三类图象变换
第一、对称：知道几种常见的对称变换，不做深要求。
①与关于轴对称
②与关于轴对称
③与关于原点对称
④即为图象在轴下方的部分沿轴翻折，轴上方的图象不变化。
⑤即为图象轴右侧部分不变，左侧部分沿轴翻折形成。
第二、平移：只是位置变化，函数性质中除奇偶性外，其它性质不变。
横向平移：即。 为正则向左平移，为负则向右平移。
纵向平移：即 为正则向上平移，为负则向下平移。
第三、伸缩：有横向和纵向的伸缩，只要求掌握三角函数的伸缩变化。
横向伸缩：
若，则横向被压缩，导致周期变小； 若，则横向伸长，导致周期变大。
纵向伸缩：
若，则振幅变大； 若，则振幅变小。
【例题6】认识的图象
（1）几个名称：
符号
名称 振幅 周期 频率 相位 初相
（2）平移伸缩的认识：举例
变换过程：有两种，“先平移，再伸缩”和“先伸缩，再平移”
①先平移，再伸缩：
②先伸缩，再平移。
说明：若想更好、更清楚地认识这两个不同的过程（相同的结果），最好的办法就是用“五点法”作图，把上述过程中每一步都画一个图。
20、（1）仿上写出的变化过程
（2）为了得到函数的图象，只需将函数图像上的点（ ）
横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变 B、横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变
纵坐标伸长为原来的2倍，横坐标不变 D、纵坐标缩短为原来的倍，横坐标不变
（3）为了得到函数的图象，只需将的图象上每一个点（ ）
A、横坐标向左平移个单位长度 B、横坐标向右平移个单位长度
C、横坐标向左平移个单位长度 D、横坐标向右平移个单位长度
（4）为了得到函数的图像，只需将余弦函数图像上各点（ ）
A、向左平移个单位长度 B、向右平移个单位长度
C、向左平移个单位长度 D、向左平移个单位长度
（5）为了得到函数的图像，只需将函数的图像上各点（ ）
横坐标伸长为原来的倍，纵坐标不变 B、横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变
纵坐标伸长为原来的倍，横坐标不变 D、纵坐标缩短为原来的倍，横坐标不变
（6）将函数的图像上各点向右平移个单位长度，再把横坐标缩短为原来的一半，纵坐标伸长为原来的4倍，则所得到的图像的函数解析式为（ ）
A、 B、 C、 D、
（7）将函数的图像作怎样的变换可以得到函数的图像？写出的变换过程。
（8）有以下四种变换方式：
①向左平移个单位长度，现将每个点的横坐标缩短为原来的倍；
②向右平移个单位长度，再将每个点的横坐标缩短为原来的倍；
③每个点的横坐标缩短为原来的倍，再向右平移个单位长度；
④每个点的横坐标缩短为原来的倍，再向左平移个单位长度。
其中能将函数的图像变为函数的图像的是（ ）
A、①和④ B、①和③ C、②和④ D、②和③
（9）将函数的图像作怎样的变换可以得到函数的图像？
【单元过关练习】 A卷
满分：130分 时间：120分钟
一、选择题（每小题5分，共50分）
1、已知集合，则使成立的是（ ）
A、 B、 C、 D、
2、已知终边上一点，且，则（ ）
A、 B、 C、 D、
3、函数为（ ）
A、最小正周期为的奇函数 B、最小正周期为的偶函数
C、最小正周期为的奇函数 D、最小正周期为的偶函数
4、函数的最小值为（ ）
B、0 C、 D、2
6、函数的一条对称轴方程是（ ）
A、 B、 C、 D、
7、要得到函数的图像，只需将函数的图像（ ）
A、向左平移个单位 B、向右平移处单位
C、向左平移个单位 D、向右平移个单位
8、函数的一个单调增区间是（ ）
A、 B、 C、 D、
9、关于函数的四个论断中错误的是（ ）
A、最小正周期为 B、值域为
C、一个对称中心为 D、可由向右平移所得
10、在区间内使不等式：成立的角的范围是（ ）
A、 B、
C、 D、
二、填空题（每小题5分，共30分）
11、已知角的终边上一点，则 ， ；
12、函数的最小正周期为 ；
13、函数的最大值为 ，最小值为 ，
取最小值时的取值集合为 ；
14、函数的增区间为 ；
15、关于函数有四个论断：
①是偶函数；②最小正周期是；③值域为；④一个对称中心为
其中正确命题的序号是 （填上你认为所有正确的命题序号）
16、如果一个函数满足：，且，试写出一个这样的函数： 。
三、解答题
17、（10分）用“五点法”作出函数一个周期内的草图（要求列表）。
18、（12分）试用图像变换的两种方式写出：函数y = sinx的图像变换到函数y = sin (+)的图像的变换过程．
19、（14分）已知点是角终边上一点，且求的值；
设，以为半径，原点O为圆心作圆，与轴正半轴交于Q点，求的面积。
20、（14分）简谐振动
（1）求简谐振动的振幅、初相和频率；（2）若，求函数的最大值和最小值。
（3）要得到函数的图像，可由经过怎样的变换得到？试写出变换过程。
【单元过关练习】 B卷
一、选择题（每小题5分，共50分）
1、已知集合，，则（ ）
A、 B、
C、 D、
2、扇形的中心角为，半径为3，则扇形的弧长为（ ）A、 B、 C、 D、
3、已知为第三象限角，则所在的象限是 （ ）
A、第一或第二象限 B、第二或第三象限 C、第一或第三象限 D、第二或第四象限
4、时钟的分针经过40分钟时间旋转的角度是 （ ）
A、 B、 C、 D、
5、函数的值域是（ ）
A、 B、 C、 D、
6、角α的终边落在y=-x(x＞0)上，则sinα的值等于（ ）
A. ± B. C.± D. -
7、函数y＝+的定义域为（ ）
A.［2kπ,2kπ+］，k∈Z B.［2kπ+,2kπ+π］，k∈Z
C. ［2kπ-,2kπ］，k∈Z D. ［2kπ+π,2kπ+］，k∈Z
8、把函数的图像向右平移个单位，所得曲线的对应函数式（ ）
A. y=sin(3x-π) B.y=sin(3x+) C. y=sin(3x-) D.y=sin(3x+π)
9、函数的单调递增区间是（ ）
A、 B、 C、 D、
10、是定义在上的奇函数，且则（ ） A 、5 B、 C 、0 D 、
二、填空题（每小题5分，共30分）
11、 ；
12、若函数 的周期为4π，则的值为 ；
13、如果函数的最大值为，最小值为，则的值为 ；
14、写出函数的两条对称轴方程分别为 ；
15、函数的最大值为 ；
16、关于函数的四个论断：①存在，使成立；②对任意的，都有；③对任意的，都有；④函数的一个对称中心是。
其中正确的序号为 。
三、解答题
17、（14分）函数的部分图象如图所示，
求函数的解析式；
用“五点法” 画出函数在区间上的草图。
18、（14分）已知向量，，定义函数
求函数的最小正周期；求函数的单调区间；（3） 求函数的最值。
19、（16分）弹簧上挂着的小球做上下振动,它在时间t(秒)内离开平衡位置(就是静止时位置)的距离为h(厘米)由下面函数关系决定:.
①以t为横坐标, h为纵坐标作出这个函数的图象(0≤t≤π);
②求小球开始振动的位置;
③求小球上升到最高点和下降到最低点的位置;
④经过多少时间, 小球往返振动一次
20、（8分）已知 求的值．
专题一（副题）三角函数的图象和性质（一）
教学目标：
了解正弦、余弦、正切、余切函数的图象的画法，会用“五点法”画正弦、余弦函数和函数的简图；
理解的物理意义，掌握由函数的图象到函数的图象的变换原理;
掌握正弦、余弦、正切函数图象的对称轴或对称中心.
教学重点：函数的图象到函数的图象的变换方法．
一、知识点归纳：
“五点法”画正弦、余弦函数和函数的简图.
函数的图象到函数的图象的两种主要途径．
掌握正弦、余弦、正切函数图象的对称轴或对称中心.
会由三角函数图象求出相应的解析式.
二、知识点解析：
“五点法”画正弦、余弦函数和函数的简图，五个特殊点通常都是取三个平衡点，一个最高、一个最低点；
给出图象求的解析式的难点在于的确定，本质为待定系数法，基本方法是：①寻找特殊点（平衡点、最值点）代入解析式；②图象变换法，即考察已知图象可由哪个函数的图象经过变换得到的，通常可由平衡点或最值点确定周期，进而确定．
对称性:函数对称轴可由解出；对称
中心的横坐标是方程的解，对称中心的纵坐标为.( 即整体代换法)
函数对称轴可由解出；对称中心的纵坐标是方程的解，对称中心的横坐标为.( 即整体代换法)
函数对称中心的横坐标可由解出，对称中心的纵坐标为，函数不具有轴对称性.
时，，当时，有最大值，
当时,有最小值；时，与上述情况相反.
（三）典例分析：
问题1． 已知函数.
用“五点法”画出它的图象；求它的振幅、周期和初相；
说明该函数的图象可由的图象经过怎样的变换而得到.
问题2．(海南)函数在区的简图是
(天津文)函数
的部分图象如图所示，则函数表达式为
已知函数（）
的一段图象如下图所示，求该函数的解析式．
问题3．将函数的周期扩大到原来的倍，再将函数图象左移，得到图象对应解析式是
（山东文）要得到函数的图象，只需将函数
的图象 向右平移个单位；向右平移个单位；
向左平移个单位；向左平移个单位
（山东）为了得到函数的图象，可以将函数的图象
向右平移个单位长度 向右平移个单位长度
向左平移个单位长度 向左平移个单位长度
问题4．(福建)已知函数的最小正周期为，则
该函数的图象 关于点对称 关于直线对称
关于点对称 .关于直线对称
（山东）已知函数，则下列判断正确的是
此函数的最小正周期为，其图象的一个对称中心是
此函数的最小正周期为，其图象的一个对称中心是
此函数的最小正周期为，其图象的一个对称中心是
此函数的最小正周期为，其图象的一个对称中心是
问题5．（陕西）设函数，其中向量，，，且的图象经过点．（Ⅰ）求实数的值；（Ⅱ）求函数的最小值及此时值的集合．
（四）课外作业：
要得到的图象，只需将的图象
向左平移 向右平移 向左平移 向右平移
如果函数的图象关于直线对称，则
（五）走向高考：
（天津）要得到函数的图象，只需将函数的
图象上所有的点的
横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变）,再向左平行移动个单位长度
横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），再向右平行移动个单位长度
横坐标伸长到原来的倍（纵坐标不变），再向左平行移动个单位长度
横坐标伸长到原来的倍（纵坐标不变），再向右平行移动个单位长度
（江苏）为了得到函数的图像，只需把函数的图像上所有的点
向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变）
向右平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变）
向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的倍（纵坐标不变）
向右平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的倍（纵坐标不变）
(安徽)函数的图象为，
①图象关于直线对称；②函数在区间内是增函数；
③由的图象向右平移个单位长度可以得到图象．
以上三个论断中，正确论断的个数是
（安徽）将函数的图象按向量
平移，平移后的图象如图所示，
则平移后的图象所对应函数的解析式是
（福建）函数,
)的部分图象如图，则
（福建）已知函数的最小正周期为，则该函数的图象
关于点对称关于直线对称关于点对称关于直线对称
（广东文）已知简谐运动的图象经过点，则该简谐运动的最小正周期和初相分别为
，；，；，；，
（陕西）已知函数
（Ⅰ）求函数的最小正周期；（Ⅱ）求使函数取得最大值的集合.
（全国Ⅰ文）设函数图像的一条对称轴是直线.（Ⅰ）求；（Ⅱ）求函数的单调增区间；
（Ⅲ）画出函数在区间上的图像。
(全国)已知函数是上的偶函数，其图象关于点对称，且在区间上是单调函数。求的值。
三角函数的图象和性质（二）
教学目标：掌握三角函数的定义域、值域的求法；理解周期函数与最小正周期的意义，会求经过简单的恒等变形可化为或的三角函数的周期．
教学重点：求三角函数的定义域是研究其它一切性质的前提．
（一）知识点归纳：
三角函数的定义域、值域及周期如下表：
函数 定义域 值域 周期
（二）知识点解析：
求三角函数的定义域实质就是解三角不等式（组）．一般可用三角函数的图象或三角函数线确定三角不等式的解．列三角不等式，既要考虑分式的分母不能为零；偶次方根被开方数大于等于零；对数的真数大于零及底数大于零且不等于1，又要考虑三角函数本身的定义域；
求三角函数的值域的常用方法：①化为求代数函数的值域；②化为求的值域；③化为关于（或）的二次函数式；
三角函数的周期问题一般将函数式化为（其中为三角函数，）．
（三）典例分析：
问题1． 求下列函数的定义域:
； ；
问题2．求下列函数的值域：
；；；．
问题3．求下列函数的周期：
；；
问题4．已知函数的定义域为，值域为，求常数的值．
（四）课后作业：
求函数的定义域.
函数的定义域为
若方程有解，则
（江西）设函数，则为（ ）
周期函数，最小正周期为 周期函数，最小正周期为
周期函数，数小正周期为 非周期函数
（全国Ⅱ）函数的最小正周期是 2
函数的最小正周期为
函数的周期是
已知函数，求的定义域，判断它的奇偶性，并求其值域
（五）走向高考：
（四川）函数的最小正周期为
（上海）函数的最小正周期
（福建）已知函数在区间上的最小值是，则
的最小值等于
（安徽文）解不等式．
（天津）已知函数，．
（Ⅰ）求函数的最小正周期；
（Ⅱ）求函数在区间上的最小值和最大值．
（重庆）设．（Ⅰ）求的最大值及最小正周期；
（Ⅱ）若锐角满足，求的值．
专题二：平面向量及其运用
教学目标
考点1：向量的概念、向量的加法和减法、实数与向量的积.
考点2：向量的坐标运算、平面向量的数量积.
考点3：解斜三角形.
考点4：线段的定比分点、平移公式.
考点5：向量的运用.
基本概念检测：
＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿叫做向量；
＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿叫做共线向量（平行向量）；
＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿叫做相等向量；
＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿叫做单位向量.
向量加法法则是＿＿＿＿＿，＿＿＿＿＿＿＿＿.减法法则是＿＿＿＿＿＿＿＿.
6、设，，＿＿＿＿＿＿，它满足的运算性质有＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿.
a－ b＝＿＿＿＿＿＿，它满足的运算性质有＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿.
a＝＿＿＿＿＿＿，它满足的运算性质有＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿.
＝＿＿＿＿＝＿＿＿＿＿，它满足的运算性质有＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿.
cos< a, b>=____________=__________________.
a∥ b＿＿＿＿＝＿＿＿＿＿＿＿＿＿；a⊥ b＿＿＿＿＿＝＿＿＿＿＿＿＿.
正弦定理的内容是＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿.
余弦定理的内容是＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿.
9、定比分点坐标公式是＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿（其中＝＿＿＿＿＿＿）.
10、平移公式是 ____________________.
【重点难点热点】
问题1：向量的有关概念与运算
此类题经常出现在选择题与填空题中，在复习中要充分理解平面向量的相关概念，熟练掌握向量的坐标运算、数量积运算，掌握两向量共线、垂直的充要条件.
例1：已知a是以点A(3,－1)为起点，且与向量b = (－3,4)平行的单位向量，则向量a的终点坐标是 .
思路分析：与a平行的单位向量e=±
方法一：设向量a的终点坐标是(x,y),则a =(x-3,y+1)，则题意可知
，故填 (,-)或(,-)
方法二 与向量b = (-3,4)平行的单位向量是±(-3,4)，故可得a＝±(-,)，从而向量a的终点坐标是(x,y)= a－(3,－1),便可得结果.
点评：向量的概念较多，且容易混淆，在学习中要分清、理解各概念的实质，注意区分共线向量、平行向量、同向向量、反向向量、单位向量等概念.
例2：已知| a |=1,| b |=1，a与b的夹角为60°, x =2a－b，y=3b－a,则x与y的夹角是多少？
思路分析：要计算x与y的夹角θ，需求出|x|,|y|,x·y的值.计算时要注意计算的准确性.
解：由已知|a|=|b|=1，a与b的夹角α为60°,得a·b=|a||b|cosα=.
要计算x与y的夹角θ，需求出|x|，|y|，x·y的值.
∵|x|2=x2=(2a－b)2=4a2－4a·b+b2=4－4×+1=3，
|y|2=y2=(3b－a)2=9b2－6b·a+a2=9－6×+1=7.
x·y=(2a－b)·(3b－a)=6a·b－2a2－3b2+a·b
=7a·b－2a2－3b2 =7×－2－3=－，
又∵x·y=|x||y|cosθ，即－=×cosθ，
∴cosθ=－，θ=π－arccos.即x与y的夹角是π－arccos
点评：①本题利用模的性质|a|2=a2，②在计算x,y的模时，还可以借助向量加法、减法的几何意义获得：如图所示，设=b, =a, =2a,∠BAC=60°.由向量减法的几何意义，得=－=2a－b.由余弦定理易得||=，即|x|=，同理可得|y|=.
问题2：平面向量与函数、不等式的综合运用
当平面向量给出的形式中含有未知数时，由向量平行或垂直的充要条件可以得到关于该未知数的关系式.在此基础上，可以设计出有关函数、不等式的综合问题.此类题的解题思路是转化为代数运算，其转化途径主要有两种：①利用向量平行或垂直的充要条件，②利用向量数量积的公式和性质.
例3．已知平面向量a＝(，－1)，b＝(, ).
(1) 若存在实数k和t，便得x＝a＋(t2－3)b, y＝－ka＋tb，且x⊥y，试求函数的关系式k＝f(t)；
(2) 根据(1)的结论，确定k＝f(t)的单调区间.
思路分析：①欲求函数关系式k=f(t)，只需找到k与t之间的等量关系，k与t之间的等量关系怎么得到？②求函数单调区间有哪些方法？（导数法、定义法）导数法是求单调区间的简捷有效的方法？
解：（1）法一：由题意知x＝(,),
y＝(t－k，t＋k)，又x⊥y
故x · y＝×（t－k）＋×(t＋k)＝0.
整理得：t3－3t－4k＝0，即k＝t3－t.
法二：∵a＝(，－1)，b＝(, ), ∴. ＝2，＝1且a⊥b
∵x⊥y，∴x · y＝0，即－k2＋t(t2－3)2＝0，∴t3－3t－4k＝0,即k＝t3－t
(2) 由(1)知：k＝f(t) ＝t3－t ∴kˊ＝fˊ(t) ＝t3－,
令kˊ＜0得－1＜t＜1；令kˊ＞0得t＜－1或t＞1.
故k＝f(t)的单调递减区间是(－1, 1 )，单调递增区间是（－∞，－1）和（1，＋∞）.
点评： 第（1）问中两种解法是解决向量垂直的两种常见的方法：一是先利用向量的坐标运算分别求得两个向量的坐标，再利用向量垂直的充要条件；二是直接利用向量垂直的充要条件，其过程要用到向量的数量积公式及求模公式，达到同样的求解目的（但运算过程大大简化，值得注意）.第（2）问中求函数的极值运用的是求导的方法，这是新旧知识交汇点处的综合运用.
演变3： 已知平面向量＝(，－1)，＝(，)，若存在不为零的实数k和角α，使向量＝＋(sinα－3), ＝－k＋(sinα),且⊥，试求实数k 的取值范围.
点拨与提示：将例题中的t略加改动，旧题新掘，出现了意想不到的效果，很好地考查了向量与三角函数、不等式综合运用能力.
演变4：已知向量，若正数k和t使得向量
垂直，求k的最小值.
点拨与提示：（1）利用向量垂直的充要条件找到k与t之间的等量关系.（2）利用均值不等式求最值.
问题3：平面向量与三角函数的综合运用
向量与三角函数结合，题目新颖而又精巧，既符合在知识的“交汇处”构题，又加强了对双基的考查.
例4．设函数f (x)＝a · b，其中向量a＝(2cosx , 1), b＝(cosx,sin2x), x∈R.
（1）若f(x)＝1－且x∈[－，]，求x；
（2）若函数y＝2sin2x的图象按向量c＝(m , n) (﹤)平移后得到函数y＝f(x)的图象，求实数m、n的值.
思路分析：本题主要考查平面向量的概念和计算、平移公式以及三角函数的恒等变换等基本技能，
解： (1)依题设，f(x)＝（2cosx，1）·(cosx,sin2x)
＝2cos2x＋sin2x＝1＋2sin(2x＋)
由1＋2sin(2x＋)=1－，得sin(2x＋)＝－.
∵－≤x≤ , ∴－≤2x＋≤,
∴2x＋=－, 即x＝－.
（2）函数y＝2sin2x的图象按向量c＝（m , n）平移后得到函数y＝2sin2(x－m)+n的图象，即函数y＝f(x)的图象.
由(1)得f (x)＝ ∵＜， ∴m＝－，n＝1.
点评： ①把函数的图像按向量平移，可以看成是C上任一点按向量平移，由这些点平移后的对应点所组成的图象是Cˊ，明确了以上点的平移与整体图象平移间的这种关系，也就找到了此问题的解题途径.②一般地，函数y＝f (x)的图象按向量a＝(h , k)平移后的函数解析式为y－k＝f（x－h）
演变5：已知a=（cosα，sinα）,b=（cosβ,sinβ）(0<α<β<π)，
（1）求证： a+b与a-b互相垂直；
（2）若ka+b与a-kb的模大小相等(k∈R且k≠0)，求β－α
【临阵磨枪】
1．已知向量（ ）
A 30° B 60° C 120° D 150°
2．已知点M1（6，2）和M2（1，7），直线与线段M1M2的交点分有向线段M1M2的比为3：2，则的值为 （ ）
A B C D 4
3．已知a,b是非零向量且满足（a－2b）⊥a，（b－2a）⊥b，则a与b的夹角是（ ）
A B C D
4．已知向量=(2，0),向量=（2，2），向量=（），则向量与向量的夹角的范围为 （ ）
A ［0，］ B ［，］ C ［，］ D ［，］
5．设坐标原点为O，抛物线y2=2x与过焦点的直线交于A，B两点，则·=（ ）
A B C 3 D －3
6．O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足=+λ()，，则点P的轨迹一定通过△ABC的（ ）
A 外心 B 内心 C 重心 D 垂心
7．点在平面上作匀速直线运动，速度向量（即点的运动方向与相同，且每秒移动的距离为个单位）．设开始时点的坐标为（－１０，１０），则５秒后点的坐标为（ ）
A （-2，4） B （-30，25） C （10，-5） D （5，-10）
8．已知向量≠，||＝1，对任意t∈R，恒有|－t|≥|－|，则（ ）
A ⊥ B ⊥(－) C ⊥(－) D (＋)⊥(－)
9．P是△ABC所在平面上一点，若，则P是△ABC的（D ）
A 外心 B 内心 C 重心 D 垂心
10．△ABC中，若a4+b4+c4=2c2(a2+b2)，则∠C度数是：
A 600 B 450或1350 C 1200 D 300
11．已知向量a=()，向量b=()，则|2a－b|的最大值是
12．把函数y=2x2－4x＋5的图像按向量a平移，得到y=2x2的图像，且a⊥b，c=(1,－1)，b·c=4，则b=
13．已知平面上三点A、B、C满足||=3,||=4，||=5,则的值等于 .
14．在中，O为中线AM上一个动点，若AM=2，则的最小值是_____.
15．已知向量a＝(sinθ，1)，b＝(1，cosθ)，－＜θ＜．
（Ⅰ）若a⊥b，求θ；（Ⅱ）求｜a＋b｜的最大值．
16．06年江西卷）如图，已知△ABC是边长为1的正三角形，M、N分别是
边AB、AC上的点，线段MN经过△ABC的中心G，
设MGA＝（）
试将△AGM、△AGN的面积（分别记为S1与S2）
表示为的函数
求y＝的最大值与最小值
高考真题
安徽2011（14）已知向量a，b满足（a+2b）·（a-b）=－6，且，，则a与b的夹角为 .
安徽2010 16、（本小题满分12分）
的面积是30，内角所对边长分别为，。
(Ⅰ)求；
(Ⅱ)若，求的值。
安徽2009（14）在平行四边形ABCD中，E和F分别是边CD和BC的中点，或=+,其中,R ,则+= _________.
定义
函数性质
图像
定义
域
值
域
奇偶性
单调性
周
期
对称性
形 状
平 移
伸 缩
x
6
y
o
-
-1
2
3
4
5
-2
-3
-4
1
x
6
y
o
-
-1
2
3
4
5
-2
-3
-4
1
【知识脉络】：
第一块：函数性质与图像
教学目标：
1、正弦、余弦、正切函数的性质，重点掌握上的函数的性质；
2、定义域、值域，重点能求正切函数的定义域；
3、能从图象上认识函数的各类性质，能用自己的语言把函数性质描述清楚，能写出来。
4、理解平移与伸缩
第二块：同角基本关系和诱导公式
同角基本关系就掌握好三个公式：
特别需要说明的是：平方关系中的开方运算，易错！
诱导公式的记忆方法很简单，联系两角和与差来记就行！如：
诱导公式的理解上，需从两角终边的位置关系来认识，如：
中涉及两个角是和，它们的位置是关于原点对称，象限对应关系是一、三或二、四，所以正切符号相同，直接取等号。其它类似。
第三块：三角变换
和差公式：
注意：
（1）、倍半关系是相对的，如：，，
等，根据题目的需要来确定倍角还是半角；
（2）几个常用的变式：
，其中的范围根据需要来确定
或，其中，的范围根据需要来确定
【题型示例】：第一部份“三角函数的图象与性质”
熟记定义、定义域、三角值的符号
1、若角的终边过点，则下列不等式正确的是（ ）
A、 B、
C、 D、
2、若角终边上有一点，则为（其中）
A、 B、 C、 D、
3、若，则位于
A、一、三象限 B、二、四象限 C、一、二象限 D、三、四象限
4、已知角终边上一点，且，则=
5、函数的定义域为
单调性：求单调区间是重点，三角的单调区间的求法是比较特殊的，掌握好例题所示的方法；另一类题型为比较大小，但都比较简单。
【例题1】（1）求函数的单调增区间
解：由得，。
所以，函数的单调增区间为：
（2）求函数的单调减区间 。
（3）求函数的单调区间 。
7、函数的一个减区间是 。
A、 B、 C、 D、
8、在内，使函数有意义的范围是
A、 B、 C、 D、
9、，则
A、 B、 C、 D、
10、若直线的斜率满足：，则直线的倾斜角的范围为
奇偶性：联系函数图像来理解奇偶性，即图像的对称性。
奇函数：，偶函数：
注意变化：如，。图像平移，可能会改变函数的奇偶性，也有可能不发生改变，如函数。观察图象，很容易得到正确的结论。
11、若函数为奇函数，则的值为（）
A、 B、 C、 D、
12、若函数为奇函数，则的值为（）
A、 B、 C、 D、
图像的对称性：注意观察图象，从图象上找出对称轴和对称中心的位置。
对称轴方程： 对称中心：
对称轴方程：· 对称中心：
理解：语义上，过顶点与X轴垂直的直线都是正、余弦函数的对称轴，而正、余弦曲线与X轴的每一个交点都是正、余弦函数的对称中心。
函数性质上看，若对称轴为，则必为函数的最大或最小值；若对称点为，则。注意，平移产生的变化。
13、函数的一条对称轴方程是
A、 B、 C、 D、
14、函数的一个对称中心是
A、 B、 C、 D、
15、函数的对称轴方程为 ，
对称中心为
值域和最值：
掌握好基本函数的值域和最值情况
（1）值域为，当时，；
当时，。
注解：联系图象或在象限内认识和记忆值域，效果会更好。
（2）的值域为，当时，；
当时，。
注解：联系图象或在象限内认识和记忆值域，效果会更好。
（3）的值域为，不存在最大值和最小值。
2、理解：函数值域会因定义域的改变而改变，掌握好下面例题所示的方法。
【例题2】若，求下列函数的值域：
（1） （2） （3）
16、若，求函数的值域，并求出函数取最大值时的的取值集合。
【题型示例】第二部分“同角基本关系和诱导公式”
诱导公式：主要功能是用于化“大角”（超出）为“小角”
公式：略
3、掌握两类基本型：
（1）关于或的二次函数型
【例题3】（1）求函数的最大值和最小值，并求出对应的的取值。
解：，若令，则
由得：
17、求函数的最大值和最小值，并求出对应的的取值。
（2）可转化为或
【例题4】、形如的函数可转化为上面的型
求下列函数的最值：
（1），
（2），
（3），
（4），
（5），
（6），
（7），
（8），
【例题5】借助三角变换转化成上面的型
求下列函数的最值：
已知函数
已知
已知函数f(x)=sin2x+sinxcosx+2cos2x,xR.
（4）已知向量，，
18、已知，（1）设，则为何值时，f(x)的最大值为4？（2）若，求的取值范围。
周期性：
（1）周期的符号形式：为非零常数。如，，所以为正弦函数的周期。其它一些函数也是有周期的：
（2）最小正周期：若为函数的周期，则也必为函数的周期，因此，函数的周期是有无数个的，其中正的最小的一个周期，称为函数的最小正周期，比如，正弦、余弦函数的最小正周期为，正切函数的最小正周期为
（3）最小正周期的计算公式：对于或，则；对于，则。特别注意：也只有上面三种形式下的三角函数才能使用最小正周期的计算公式！
19、求下列函数的最小正周期：
（1） （2）（3）
（4） （5） （6）
（7）（2007年广东高考）若函数，，则是（ ）
A、最小正周期为的偶函数 B、最小正周期为的奇函数
C、最小正周期为的偶函数 D、最小正周期为的奇函数
（8） （9） （10）
图像：
（1）关于“五点作图法”，以正弦函数为例进行说明。
第一、，
表一
0
0 1 0 0
此表是基础，请注意总结“五点”的规律或特征：
第二、请画出函数在一个周期上的草图。
处理思想，令，则，类比表一即可。
表二
0
0 1 0 0
得到“五点”分别为：
第三、画出函数在区间上的草图。
注意：与“第二”的区别，“第二”没有限定的取值范围，题中要求的“一个周期”可以自己设定，但“第三”中的范围是固定的.注意到这个给定的范围也正好是函数的一个周期。
问题：怎么求出“五点”呢？
分析：首先注意到，，这是函数的起点和终点，联系正弦曲线的变化规律，第二个点应该回到“平衡点”（类比与X轴的交点），第三个点应该是最低点，第四个点应该是“平衡点”，第五个点应该是最高点，第六个点就是终点。于是得到下表：
表三
0
2 1 1 2 3
（2）三类图象变换
第一、对称：知道几种常见的对称变换，不做深要求。
①与关于轴对称
②与关于轴对称
③与关于原点对称
④即为图象在轴下方的部分沿轴翻折，轴上方的图象不变化。
⑤即为图象轴右侧部分不变，左侧部分沿轴翻折形成。
第二、平移：只是位置变化，函数性质中除奇偶性外，其它性质不变。
横向平移：即。 为正则向左平移，为负则向右平移。
纵向平移：即 为正则向上平移，为负则向下平移。
第三、伸缩：有横向和纵向的伸缩，只要求掌握三角函数的伸缩变化。
横向伸缩：
若，则横向被压缩，导致周期变小； 若，则横向伸长，导致周期变大。
纵向伸缩：
若，则振幅变大； 若，则振幅变小。
【例题6】认识的图象
（1）几个名称：
符号
名称 振幅 周期 频率 相位 初相
（2）平移伸缩的认识：举例
变换过程：有两种，“先平移，再伸缩”和“先伸缩，再平移”
①先平移，再伸缩：
②先伸缩，再平移。
说明：若想更好、更清楚地认识这两个不同的过程（相同的结果），最好的办法就是用“五点法”作图，把上述过程中每一步都画一个图。
20、（1）仿上写出的变化过程
（2）为了得到函数的图象，只需将函数图像上的点（ ）
横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变 B、横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变
纵坐标伸长为原来的2倍，横坐标不变 D、纵坐标缩短为原来的倍，横坐标不变
（3）为了得到函数的图象，只需将的图象上每一个点（ ）
A、横坐标向左平移个单位长度 B、横坐标向右平移个单位长度
C、横坐标向左平移个单位长度 D、横坐标向右平移个单位长度
（4）为了得到函数的图像，只需将余弦函数图像上各点（ ）
A、向左平移个单位长度 B、向右平移个单位长度
C、向左平移个单位长度 D、向左平移个单位长度
（5）为了得到函数的图像，只需将函数的图像上各点（ ）
横坐标伸长为原来的倍，纵坐标不变 B、横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变
纵坐标伸长为原来的倍，横坐标不变 D、纵坐标缩短为原来的倍，横坐标不变
（6）将函数的图像上各点向右平移个单位长度，再把横坐标缩短为原来的一半，纵坐标伸长为原来的4倍，则所得到的图像的函数解析式为（ ）
A、 B、 C、 D、
（7）将函数的图像作怎样的变换可以得到函数的图像？写出的变换过程。
（8）有以下四种变换方式：
①向左平移个单位长度，现将每个点的横坐标缩短为原来的倍；
②向右平移个单位长度，再将每个点的横坐标缩短为原来的倍；
③每个点的横坐标缩短为原来的倍，再向右平移个单位长度；
④每个点的横坐标缩短为原来的倍，再向左平移个单位长度。
其中能将函数的图像变为函数的图像的是（ ）
A、①和④ B、①和③ C、②和④ D、②和③
（9）将函数的图像作怎样的变换可以得到函数的图像？
【单元过关练习】 A卷
满分：130分 时间：120分钟
一、选择题（每小题5分，共50分）
1、已知集合，则使成立的是（ ）
A、 B、 C、 D、
2、已知终边上一点，且，则（ ）
A、 B、 C、 D、
3、函数为（ ）
A、最小正周期为的奇函数 B、最小正周期为的偶函数
C、最小正周期为的奇函数 D、最小正周期为的偶函数
4、函数的最小值为（ ）
B、0 C、 D、2
6、函数的一条对称轴方程是（ ）
A、 B、 C、 D、
7、要得到函数的图像，只需将函数的图像（ ）
A、向左平移个单位 B、向右平移处单位
C、向左平移个单位 D、向右平移个单位
8、函数的一个单调增区间是（ ）
A、 B、 C、 D、
9、关于函数的四个论断中错误的是（ ）
A、最小正周期为 B、值域为
C、一个对称中心为 D、可由向右平移所得
10、在区间内使不等式：成立的角的范围是（ ）
A、 B、
C、 D、
二、填空题（每小题5分，共30分）
11、已知角的终边上一点，则 ， ；
12、函数的最小正周期为 ；
13、函数的最大值为 ，最小值为 ，
取最小值时的取值集合为 ；
14、函数的增区间为 ；
15、关于函数有四个论断：
①是偶函数；②最小正周期是；③值域为；④一个对称中心为
其中正确命题的序号是 （填上你认为所有正确的命题序号）
16、如果一个函数满足：，且，试写出一个这样的函数： 。
三、解答题
17、（10分）用“五点法”作出函数一个周期内的草图（要求列表）。
18、（12分）试用图像变换的两种方式写出：函数y = sinx的图像变换到函数y = sin (+)的图像的变换过程．
19、（14分）已知点是角终边上一点，且求的值；
设，以为半径，原点O为圆心作圆，与轴正半轴交于Q点，求的面积。
20、（14分）简谐振动
（1）求简谐振动的振幅、初相和频率；（2）若，求函数的最大值和最小值。
（3）要得到函数的图像，可由经过怎样的变换得到？试写出变换过程。
【单元过关练习】 B卷
一、选择题（每小题5分，共50分）
1、已知集合，，则（ ）
A、 B、
C、 D、
2、扇形的中心角为，半径为3，则扇形的弧长为（ ）A、 B、 C、 D、
3、已知为第三象限角，则所在的象限是 （ ）
A、第一或第二象限 B、第二或第三象限 C、第一或第三象限 D、第二或第四象限
4、时钟的分针经过40分钟时间旋转的角度是 （ ）
A、 B、 C、 D、
5、函数的值域是（ ）
A、 B、 C、 D、
6、角α的终边落在y=-x(x＞0)上，则sinα的值等于（ ）
A. ± B. C.± D. -
7、函数y＝+的定义域为（ ）
A.［2kπ,2kπ+］，k∈Z B.［2kπ+,2kπ+π］，k∈Z
C. ［2kπ-,2kπ］，k∈Z D. ［2kπ+π,2kπ+］，k∈Z
8、把函数的图像向右平移个单位，所得曲线的对应函数式（ ）
A. y=sin(3x-π) B.y=sin(3x+) C. y=sin(3x-) D.y=sin(3x+π)
9、函数的单调递增区间是（ ）
A、 B、 C、 D、
10、是定义在上的奇函数，且则（ ） A 、5 B、 C 、0 D 、
二、填空题（每小题5分，共30分）
11、 ；
12、若函数 的周期为4π，则的值为 ；
13、如果函数的最大值为，最小值为，则的值为 ；
14、写出函数的两条对称轴方程分别为 ；
15、函数的最大值为 ；
16、关于函数的四个论断：①存在，使成立；②对任意的，都有；③对任意的，都有；④函数的一个对称中心是。
其中正确的序号为 。
三、解答题
17、（14分）函数的部分图象如图所示，
求函数的解析式；
用“五点法” 画出函数在区间上的草图。
18、（14分）已知向量，，定义函数
求函数的最小正周期；求函数的单调区间；（3） 求函数的最值。
19、（16分）弹簧上挂着的小球做上下振动,它在时间t(秒)内离开平衡位置(就是静止时位置)的距离为h(厘米)由下面函数关系决定:.
①以t为横坐标, h为纵坐标作出这个函数的图象(0≤t≤π);
②求小球开始振动的位置;
③求小球上升到最高点和下降到最低点的位置;
④经过多少时间, 小球往返振动一次
20、（8分）已知 求的值．
专题一（副题）三角函数的图象和性质（一）
教学目标：
了解正弦、余弦、正切、余切函数的图象的画法，会用“五点法”画正弦、余弦函数和函数的简图；
理解的物理意义，掌握由函数的图象到函数的图象的变换原理;
掌握正弦、余弦、正切函数图象的对称轴或对称中心.
教学重点：函数的图象到函数的图象的变换方法．
一、知识点归纳：
“五点法”画正弦、余弦函数和函数的简图.
函数的图象到函数的图象的两种主要途径．
掌握正弦、余弦、正切函数图象的对称轴或对称中心.
会由三角函数图象求出相应的解析式.
二、知识点解析：
“五点法”画正弦、余弦函数和函数的简图，五个特殊点通常都是取三个平衡点，一个最高、一个最低点；
给出图象求的解析式的难点在于的确定，本质为待定系数法，基本方法是：①寻找特殊点（平衡点、最值点）代入解析式；②图象变换法，即考察已知图象可由哪个函数的图象经过变换得到的，通常可由平衡点或最值点确定周期，进而确定．
对称性:函数对称轴可由解出；对称
中心的横坐标是方程的解，对称中心的纵坐标为.( 即整体代换法)
函数对称轴可由解出；对称中心的纵坐标是方程的解，对称中心的横坐标为.( 即整体代换法)
函数对称中心的横坐标可由解出，对称中心的纵坐标为，函数不具有轴对称性.
时，，当时，有最大值，
当时,有最小值；时，与上述情况相反.
（三）典例分析：
问题1． 已知函数.
用“五点法”画出它的图象；求它的振幅、周期和初相；
说明该函数的图象可由的图象经过怎样的变换而得到.
问题2．(海南)函数在区的简图是
(天津文)函数
的部分图象如图所示，则函数表达式为
已知函数（）
的一段图象如下图所示，求该函数的解析式．
问题3．将函数的周期扩大到原来的倍，再将函数图象左移，得到图象对应解析式是
（山东文）要得到函数的图象，只需将函数
的图象 向右平移个单位；向右平移个单位；
向左平移个单位；向左平移个单位
（山东）为了得到函数的图象，可以将函数的图象
向右平移个单位长度 向右平移个单位长度
向左平移个单位长度 向左平移个单位长度
问题4．(福建)已知函数的最小正周期为，则
该函数的图象 关于点对称 关于直线对称
关于点对称 .关于直线对称
（山东）已知函数，则下列判断正确的是
此函数的最小正周期为，其图象的一个对称中心是
此函数的最小正周期为，其图象的一个对称中心是
此函数的最小正周期为，其图象的一个对称中心是
此函数的最小正周期为，其图象的一个对称中心是
问题5．（陕西）设函数，其中向量，，，且的图象经过点．（Ⅰ）求实数的值；（Ⅱ）求函数的最小值及此时值的集合．
（四）课外作业：
要得到的图象，只需将的图象
向左平移 向右平移 向左平移 向右平移
如果函数的图象关于直线对称，则
（五）走向高考：
（天津）要得到函数的图象，只需将函数的
图象上所有的点的
横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变）,再向左平行移动个单位长度
横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），再向右平行移动个单位长度
横坐标伸长到原来的倍（纵坐标不变），再向左平行移动个单位长度
横坐标伸长到原来的倍（纵坐标不变），再向右平行移动个单位长度
（江苏）为了得到函数的图像，只需把函数的图像上所有的点
向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变）
向右平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变）
向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的倍（纵坐标不变）
向右平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的倍（纵坐标不变）
(安徽)函数的图象为，
①图象关于直线对称；②函数在区间内是增函数；
③由的图象向右平移个单位长度可以得到图象．
以上三个论断中，正确论断的个数是
（安徽）将函数的图象按向量
平移，平移后的图象如图所示，
则平移后的图象所对应函数的解析式是
（福建）函数,
)的部分图象如图，则
（福建）已知函数的最小正周期为，则该函数的图象
关于点对称关于直线对称关于点对称关于直线对称
（广东文）已知简谐运动的图象经过点，则该简谐运动的最小正周期和初相分别为
，；，；，；，
（陕西）已知函数
（Ⅰ）求函数的最小正周期；（Ⅱ）求使函数取得最大值的集合.
（全国Ⅰ文）设函数图像的一条对称轴是直线.（Ⅰ）求；（Ⅱ）求函数的单调增区间；
（Ⅲ）画出函数在区间上的图像。
(全国)已知函数是上的偶函数，其图象关于点对称，且在区间上是单调函数。求的值。
三角函数的图象和性质（二）
教学目标：掌握三角函数的定义域、值域的求法；理解周期函数与最小正周期的意义，会求经过简单的恒等变形可化为或的三角函数的周期．
教学重点：求三角函数的定义域是研究其它一切性质的前提．
（一）知识点归纳：
三角函数的定义域、值域及周期如下表：
函数 定义域 值域 周期
（二）知识点解析：
求三角函数的定义域实质就是解三角不等式（组）．一般可用三角函数的图象或三角函数线确定三角不等式的解．列三角不等式，既要考虑分式的分母不能为零；偶次方根被开方数大于等于零；对数的真数大于零及底数大于零且不等于1，又要考虑三角函数本身的定义域；
求三角函数的值域的常用方法：①化为求代数函数的值域；②化为求的值域；③化为关于（或）的二次函数式；
三角函数的周期问题一般将函数式化为（其中为三角函数，）．
（三）典例分析：
问题1． 求下列函数的定义域:
； ；
问题2．求下列函数的值域：
；；；．
问题3．求下列函数的周期：
；；
问题4．已知函数的定义域为，值域为，求常数的值．
（四）课后作业：
求函数的定义域.
函数的定义域为
若方程有解，则
（江西）设函数，则为（ ）
周期函数，最小正周期为 周期函数，最小正周期为
周期函数，数小正周期为 非周期函数
（全国Ⅱ）函数的最小正周期是 2
函数的最小正周期为
函数的周期是
已知函数，求的定义域，判断它的奇偶性，并求其值域
（五）走向高考：
（四川）函数的最小正周期为
（上海）函数的最小正周期
（福建）已知函数在区间上的最小值是，则
的最小值等于
（安徽文）解不等式．
（天津）已知函数，．
（Ⅰ）求函数的最小正周期；
（Ⅱ）求函数在区间上的最小值和最大值．
（重庆）设．（Ⅰ）求的最大值及最小正周期；
（Ⅱ）若锐角满足，求的值．
专题二：平面向量及其运用
教学目标
考点1：向量的概念、向量的加法和减法、实数与向量的积.
考点2：向量的坐标运算、平面向量的数量积.
考点3：解斜三角形.
考点4：线段的定比分点、平移公式.
考点5：向量的运用.
基本概念检测：
＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿叫做向量；
＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿叫做共线向量（平行向量）；
＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿叫做相等向量；
＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿叫做单位向量.
向量加法法则是＿＿＿＿＿，＿＿＿＿＿＿＿＿.减法法则是＿＿＿＿＿＿＿＿.
6、设，，＿＿＿＿＿＿，它满足的运算性质有＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿.
a－ b＝＿＿＿＿＿＿，它满足的运算性质有＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿.
a＝＿＿＿＿＿＿，它满足的运算性质有＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿.
＝＿＿＿＿＝＿＿＿＿＿，它满足的运算性质有＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿.
cos< a, b>=____________=__________________.
a∥ b＿＿＿＿＝＿＿＿＿＿＿＿＿＿；a⊥ b＿＿＿＿＿＝＿＿＿＿＿＿＿.
正弦定理的内容是＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿.
余弦定理的内容是＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿.
9、定比分点坐标公式是＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿（其中＝＿＿＿＿＿＿）.
10、平移公式是 ____________________.
【重点难点热点】
问题1：向量的有关概念与运算
此类题经常出现在选择题与填空题中，在复习中要充分理解平面向量的相关概念，熟练掌握向量的坐标运算、数量积运算，掌握两向量共线、垂直的充要条件.
例1：已知a是以点A(3,－1)为起点，且与向量b = (－3,4)平行的单位向量，则向量a的终点坐标是 .
思路分析：与a平行的单位向量e=±
方法一：设向量a的终点坐标是(x,y),则a =(x-3,y+1)，则题意可知
，故填 (,-)或(,-)
方法二 与向量b = (-3,4)平行的单位向量是±(-3,4)，故可得a＝±(-,)，从而向量a的终点坐标是(x,y)= a－(3,－1),便可得结果.
点评：向量的概念较多，且容易混淆，在学习中要分清、理解各概念的实质，注意区分共线向量、平行向量、同向向量、反向向量、单位向量等概念.
例2：已知| a |=1,| b |=1，a与b的夹角为60°, x =2a－b，y=3b－a,则x与y的夹角是多少？
思路分析：要计算x与y的夹角θ，需求出|x|,|y|,x·y的值.计算时要注意计算的准确性.
解：由已知|a|=|b|=1，a与b的夹角α为60°,得a·b=|a||b|cosα=.
要计算x与y的夹角θ，需求出|x|，|y|，x·y的值.
∵|x|2=x2=(2a－b)2=4a2－4a·b+b2=4－4×+1=3，
|y|2=y2=(3b－a)2=9b2－6b·a+a2=9－6×+1=7.
x·y=(2a－b)·(3b－a)=6a·b－2a2－3b2+a·b
=7a·b－2a2－3b2 =7×－2－3=－，
又∵x·y=|x||y|cosθ，即－=×cosθ，
∴cosθ=－，θ=π－arccos.即x与y的夹角是π－arccos
点评：①本题利用模的性质|a|2=a2，②在计算x,y的模时，还可以借助向量加法、减法的几何意义获得：如图所示，设=b, =a, =2a,∠BAC=60°.由向量减法的几何意义，得=－=2a－b.由余弦定理易得||=，即|x|=，同理可得|y|=.
问题2：平面向量与函数、不等式的综合运用
当平面向量给出的形式中含有未知数时，由向量平行或垂直的充要条件可以得到关于该未知数的关系式.在此基础上，可以设计出有关函数、不等式的综合问题.此类题的解题思路是转化为代数运算，其转化途径主要有两种：①利用向量平行或垂直的充要条件，②利用向量数量积的公式和性质.
例3．已知平面向量a＝(，－1)，b＝(, ).
(1) 若存在实数k和t，便得x＝a＋(t2－3)b, y＝－ka＋tb，且x⊥y，试求函数的关系式k＝f(t)；
(2) 根据(1)的结论，确定k＝f(t)的单调区间.
思路分析：①欲求函数关系式k=f(t)，只需找到k与t之间的等量关系，k与t之间的等量关系怎么得到？②求函数单调区间有哪些方法？（导数法、定义法）导数法是求单调区间的简捷有效的方法？
解：（1）法一：由题意知x＝(,),
y＝(t－k，t＋k)，又x⊥y
故x · y＝×（t－k）＋×(t＋k)＝0.
整理得：t3－3t－4k＝0，即k＝t3－t.
法二：∵a＝(，－1)，b＝(, ), ∴. ＝2，＝1且a⊥b
∵x⊥y，∴x · y＝0，即－k2＋t(t2－3)2＝0，∴t3－3t－4k＝0,即k＝t3－t
(2) 由(1)知：k＝f(t) ＝t3－t ∴kˊ＝fˊ(t) ＝t3－,
令kˊ＜0得－1＜t＜1；令kˊ＞0得t＜－1或t＞1.
故k＝f(t)的单调递减区间是(－1, 1 )，单调递增区间是（－∞，－1）和（1，＋∞）.
点评： 第（1）问中两种解法是解决向量垂直的两种常见的方法：一是先利用向量的坐标运算分别求得两个向量的坐标，再利用向量垂直的充要条件；二是直接利用向量垂直的充要条件，其过程要用到向量的数量积公式及求模公式，达到同样的求解目的（但运算过程大大简化，值得注意）.第（2）问中求函数的极值运用的是求导的方法，这是新旧知识交汇点处的综合运用.
演变3： 已知平面向量＝(，－1)，＝(，)，若存在不为零的实数k和角α，使向量＝＋(sinα－3), ＝－k＋(sinα),且⊥，试求实数k 的取值范围.
点拨与提示：将例题中的t略加改动，旧题新掘，出现了意想不到的效果，很好地考查了向量与三角函数、不等式综合运用能力.
演变4：已知向量，若正数k和t使得向量
垂直，求k的最小值.
点拨与提示：（1）利用向量垂直的充要条件找到k与t之间的等量关系.（2）利用均值不等式求最值.
问题3：平面向量与三角函数的综合运用
向量与三角函数结合，题目新颖而又精巧，既符合在知识的“交汇处”构题，又加强了对双基的考查.
例4．设函数f (x)＝a · b，其中向量a＝(2cosx , 1), b＝(cosx,sin2x), x∈R.
（1）若f(x)＝1－且x∈[－，]，求x；
（2）若函数y＝2sin2x的图象按向量c＝(m , n) (﹤)平移后得到函数y＝f(x)的图象，求实数m、n的值.
思路分析：本题主要考查平面向量的概念和计算、平移公式以及三角函数的恒等变换等基本技能，
解： (1)依题设，f(x)＝（2cosx，1）·(cosx,sin2x)
＝2cos2x＋sin2x＝1＋2sin(2x＋)
由1＋2sin(2x＋)=1－，得sin(2x＋)＝－.
∵－≤x≤ , ∴－≤2x＋≤,
∴2x＋=－, 即x＝－.
（2）函数y＝2sin2x的图象按向量c＝（m , n）平移后得到函数y＝2sin2(x－m)+n的图象，即函数y＝f(x)的图象.
由(1)得f (x)＝ ∵＜， ∴m＝－，n＝1.
点评： ①把函数的图像按向量平移，可以看成是C上任一点按向量平移，由这些点平移后的对应点所组成的图象是Cˊ，明确了以上点的平移与整体图象平移间的这种关系，也就找到了此问题的解题途径.②一般地，函数y＝f (x)的图象按向量a＝(h , k)平移后的函数解析式为y－k＝f（x－h）
演变5：已知a=（cosα，sinα）,b=（cosβ,sinβ）(0<α<β<π)，
（1）求证： a+b与a-b互相垂直；
（2）若ka+b与a-kb的模大小相等(k∈R且k≠0)，求β－α
【临阵磨枪】
1．已知向量（ ）
A 30° B 60° C 120° D 150°
2．已知点M1（6，2）和M2（1，7），直线与线段M1M2的交点分有向线段M1M2的比为3：2，则的值为 （ ）
A B C D 4
3．已知a,b是非零向量且满足（a－2b）⊥a，（b－2a）⊥b，则a与b的夹角是（ ）
A B C D
4．已知向量=(2，0),向量=（2，2），向量=（），则向量与向量的夹角的范围为 （ ）
A ［0，］ B ［，］ C ［，］ D ［，］
5．设坐标原点为O，抛物线y2=2x与过焦点的直线交于A，B两点，则·=（ ）
A B C 3 D －3
6．O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足=+λ()，，则点P的轨迹一定通过△ABC的（ ）
A 外心 B 内心 C 重心 D 垂心
7．点在平面上作匀速直线运动，速度向量（即点的运动方向与相同，且每秒移动的距离为个单位）．设开始时点的坐标为（－１０，１０），则５秒后点的坐标为（ ）
A （-2，4） B （-30，25） C （10，-5） D （5，-10）
8．已知向量≠，||＝1，对任意t∈R，恒有|－t|≥|－|，则（ ）
A ⊥ B ⊥(－) C ⊥(－) D (＋)⊥(－)
9．P是△ABC所在平面上一点，若，则P是△ABC的（D ）
A 外心 B 内心 C 重心 D 垂心
10．△ABC中，若a4+b4+c4=2c2(a2+b2)，则∠C度数是：
A 600 B 450或1350 C 1200 D 300
11．已知向量a=()，向量b=()，则|2a－b|的最大值是
12．把函数y=2x2－4x＋5的图像按向量a平移，得到y=2x2的图像，且a⊥b，c=(1,－1)，b·c=4，则b=
13．已知平面上三点A、B、C满足||=3,||=4，||=5,则的值等于 .
14．在中，O为中线AM上一个动点，若AM=2，则的最小值是_____.
15．已知向量a＝(sinθ，1)，b＝(1，cosθ)，－＜θ＜．
（Ⅰ）若a⊥b，求θ；（Ⅱ）求｜a＋b｜的最大值．
16．06年江西卷）如图，已知△ABC是边长为1的正三角形，M、N分别是
边AB、AC上的点，线段MN经过△ABC的中心G，
设MGA＝（）
试将△AGM、△AGN的面积（分别记为S1与S2）
表示为的函数
求y＝的最大值与最小值
高考真题
安徽2011（14）已知向量a，b满足（a+2b）·（a-b）=－6，且，，则a与b的夹角为 .
安徽2010 16、（本小题满分12分）
的面积是30，内角所对边长分别为，。
(Ⅰ)求；
(Ⅱ)若，求的值。
安徽2009（14）在平行四边形ABCD中，E和F分别是边CD和BC的中点，或=+,其中,R ,则+= _________.
定义
函数性质
图像
定义
域
值
域
奇偶性
单调性
周
期
对称性
形 状
平 移
伸 缩
x
6
y
o
-
-1
2
3
4
5
-2
-3
-4
1
x
6
y
o
-
-1
2
3
4
5
-2
-3
-4
1