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考点过关练2 一元二次函数、方程和不等式
考试要求
1．能利用不等式的性质进行数或式的大小比较或不等式的证明；2．会用基本不等式求解实际应用题；3．掌握一元二次不等式的解法及实际应用．
[题组冲关]
题组一 不等式的性质及应用
1．已知a，b，c∈R，则“a>b”是“ac2>bc2”的( )
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
2．下列结论成立的是( )
A．若ac>bc，则a>b
B．若a>b，则a2>b2
C．若a>b，c
b＋d
D．若a>b，c>d，则a－d>b－c
3．若x∈R，y∈R，则( )
A．x2＋y2>2xy－1
B．x2＋y2＝2xy－1
C．x2＋y2<2xy－1
D．x2＋y2≤2xy－1
4．若a，b，c∈R，且a>b，则下列不等式一定成立的是( )
A．a＋c≥b－c
B．(a－b)c2≥0
C．ac>bc
D．≤
5．若<<0，则下列结论不正确的是( )
A．a2B．abC．a＋b<0
D．|a|＋|b|>|a＋b|
6．已知a，b，c，d∈R，则下列命题必成立的是( )
A．若a>b，c>b，则a>c
B．若a>－b，则c－aC．若a>b，c
D．若a2>b2，则－a<－b
7．若x∈R，则与的大小关系为________．
8．已知1<α<3，－4<
β
<2，若z＝α－β，则z的取值范围是________．
9．当m>1时，m3与m2－m＋1的大小关系为________．
题组二 基本不等式及应用
10．已知x>0，则＋x的最小值为( )
A．6 B．5 C．4 D．3
11．设x，y满足x＋y＝40，且x，y都是正数，则xy的最大值是( )
A．400 B．100 C．40 D．20
12．设a，b为正数，且a＋b≤4，则( )
A．＋≤1 B．＋≥2 C．ab≤4 D．ab≥8
13．已知t>0，则函数y＝的最小值为________．
14．已知x>0，y>0，＋＝1，则x＋y的最小值为________．
15．已知a＞b＞c，则与的大小关系是________．
题组三 一元二次不等式的解法及应用
16．设集合S＝{x|(x－2)(x－3)≥0}，T＝{x|x>0}，则S∩T＝( )
A．{x|2≤x≤3}
B．{x|x≤2或x≥3}
C．{x|x≥3}
D．{x|017．不等式2x2－x－1>0的解集是( )
A．
B．{x|x>1}
C．{x|x<1或x>2}
D．
18．不等式－2x2＋x＋3<0的解集是( )
A．{x|x<－1}
B．
C．
D．
19．二次不等式ax2＋bx＋c<0的解集是全体实数的条件是( )
A． B． C． D．
20．下列四个不等式：①－x2＋x＋1≥0；②x2－2x＋>0；③x2＋6x＋10>0；④2x2－3x＋4<1．其中解集为R的是( )
A．① B．② C．③ D．④
21．若关于x的不等式ax2＋bx－2<0的解集为，则ab＝( )
A．－28 B．－26 C．28 D．26
22．关于x的不等式x2＋ax＋4<0的解集不是空集，则实数a的取值范围是( )
A．－4≤a≤4
B．－4C．a≥4或a≤－4
D．a<－4或a>4
23．若a<0，则关于x的不等式a(x＋1)<0的解集为________．
24．若关于x的不等式(k－1)x2＋(k－1)x－1<0恒成立，则实数k的取值范围是________．
25．若不等式ax2＋5x＋c>0的解集为，则a，c的值分别为________，________．
26．某文具店购进一批新型台灯，若按每盏台灯15元的价格销售，每天能卖出30盏；若售价每提高1元，日销售量将减少2盏．为了使这批台灯每天能获得400元以上的销售收入，这批台灯的销售价格应定为多少元？
[核心精要]
一、不等式的性质的应用
1．判断不等式是否成立，主要有利用不等式的性质和特殊值验证两种方法，特别是对于有一定条件限制的选择题，用特殊值验证的方法更简单．
2．比较法是不等式性质证明的理论依据，是不等式证明的主要方法之一．比较法之一作差法的主要步骤为作差—变形—判断正负．
学习心得：_____________________________________________________
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二、利用基本不等式求最值的方法
1．使用基本不等式求最值，“一正”“二定”“三相等”三个条件缺一不可．
2．基本不等式具有将“和式”转化为“积式”与将“积式”转化为“和式”的放缩功能，常常用于比较数(式)的大小或证明不等式，解决问题的关键是分析不等式两边的结构特点，选择好利用基本不等式的切入点．
3．对于基本不等式，不仅要记住原始形式，而且还要掌握它的几种变形形式及公式的逆用等．
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三、不等式的恒成立问题的解法及“三个二次的应用”
1．“三个二次”的关系是解一元二次不等式的理论基础；一般可把a＜0的情形转化为a＞0时的情形．
2．在解决不等式ax2＋bx＋c>0(或≥0)对于一切x∈R恒成立问题时，当二次项系数含有字母时，需要对二次项系数a进行讨论，并研究当a＝0时是否满足题意．
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考点过关练2 一元二次函数、方程和不等式
考试要求
1．能利用不等式的性质进行数或式的大小比较或不等式的证明；2．会用基本不等式求解实际应用题；3．掌握一元二次不等式的解法及实际应用．
[题组冲关]
题组一 不等式的性质及应用
1．已知a，b，c∈R，则“a>b”是“ac2>bc2”的( )
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
B a>bac2>bc2，∵当c2＝0时，ac2＝bc2；反之，ac2>bc2?a>b．
2．下列结论成立的是( )
A．若ac>bc，则a>b
B．若a>b，则a2>b2
C．若a>b，cb＋d
D．若a>b，c>d，则a－d>b－c
D 对于A，当c<0时，A不成立；对于B，取a＝－1，b＝－2时，B不成立；对于C，a>b，cd，所以－d>－c，又a>b，所以a－d>b－c，因此D成立．故选D．
3．若x∈R，y∈R，则( )
A．x2＋y2>2xy－1
B．x2＋y2＝2xy－1
C．x2＋y2<2xy－1
D．x2＋y2≤2xy－1
A 因为x2＋y2－(2xy－1)＝x2－2xy＋y2＋1＝(x－y)2＋1>0，所以x2＋y2>2xy－1．故选A．
4．若a，b，c∈R，且a>b，则下列不等式一定成立的是( )
A．a＋c≥b－c
B．(a－b)c2≥0
C．ac>bc
D．≤
B 由a，b，c∈R，且a>b，可得a－b>0，且c2≥0，所以(a－b)c2≥0．
5．若<<0，则下列结论不正确的是( )
A．a2B．abC．a＋b<0
D．|a|＋|b|>|a＋b|
D ∵<<0，∴ba2，ab6．已知a，b，c，d∈R，则下列命题必成立的是( )
A．若a>b，c>b，则a>c
B．若a>－b，则c－aC．若a>b，c
D．若a2>b2，则－a<－b
B 选项A，若a＝4，b＝2，c＝5，显然不成立；选项C不满足倒数不等式的条件，如a>b>0，c<0b>0时才成立，否则如a＝－1，b＝0时不成立．故选B．
7．若x∈R，则与的大小关系为________．
≤ ∵－＝＝≤0，
∴≤．
8．已知1<α<3，－4<
β
<2，若z＝α－β，则z的取值范围是________．
∵1<α<3，∴<α<．又－4<β<2，
∴－2<－β<4．∴－<α－β<，即－9．当m>1时，m3与m2－m＋1的大小关系为________．
m3＞m2－m＋1 m3－(m2－m＋1)＝m3－m2＋m－1＝m2(m－1)＋(m－1)＝(m－1)·(m2＋1)．
∵m>1，∴(m－1)(m2＋1)>0，即m3>m2－m＋1．
题组二 基本不等式及应用
10．已知x>0，则＋x的最小值为( )
A．6 B．5 C．4 D．3
A ∵x>0，∴＋x≥2＝6，当且仅当x＝，即x＝3时取得最小值6．
11．设x，y满足x＋y＝40，且x，y都是正数，则xy的最大值是( )
A．400 B．100 C．40 D．20
A ∵≤(x>0，y>0)，∴xy≤＝＝400，当且仅当x＝y＝20时，等号成立．
12．设a，b为正数，且a＋b≤4，则( )
A．＋≤1 B．＋≥2 C．ab≤4 D．ab≥8
C ∵a，b为正数，且a＋b≥2，
∴ab≤≤4，当且仅当a＝b＝2时取等号．
13．已知t>0，则函数y＝的最小值为________．
－2 ∵t>0，∴y＝＝t＋－4≥2－4＝－2，当且仅当t＝1时取等号．
14．已知x>0，y>0，＋＝1，则x＋y的最小值为________．
16 ∵＋＝1，∴x＋y＝(x＋y)·＝1＋＋＋9＝＋＋10，又∵x>0，y>0，∴＋＋10≥2＋10＝16，当且仅当＝，即y＝3x时，等号成立．由得即当x＝4，y＝12时，x＋y取得最小值16．
15．已知a＞b＞c，则与的大小关系是________．
≤ 因为a＞b＞c，所以a－b＞0，b－c＞0．
所以＝≥，
当且仅当a－b＝b－c时，等号成立．
题组三 一元二次不等式的解法及应用
16．设集合S＝{x|(x－2)(x－3)≥0}，T＝{x|x>0}，则S∩T＝( )
A．{x|2≤x≤3}
B．{x|x≤2或x≥3}
C．{x|x≥3}
D．{x|0D 集合S＝{x|x≤2或x≥3}，结合数轴，可得S∩T＝{x|017．不等式2x2－x－1>0的解集是( )
A．
B．{x|x>1}
C．{x|x<1或x>2}
D．
D ∵2x2－x－1＝(2x＋1)(x－1)，∴由2x2－x－1>0得(2x＋1)(x－1)>0，解得x<－或x>1．∴不等式的解集为．
18．不等式－2x2＋x＋3<0的解集是( )
A．{x|x<－1}
B．
C．
D．
D 不等式－2x2＋x＋3<0可化为2x2－x－3>0，即2x2－x－3＝(2x－3)(x＋1)＞0．解得x＞或x＜－1．
所以不等式－2x2＋x＋3<0的解集是．故选D．
19．二次不等式ax2＋bx＋c<0的解集是全体实数的条件是( )
A． B． C． D．
D 结合二次函数的图象，可知若ax2＋bx＋c<0，则
20．下列四个不等式：①－x2＋x＋1≥0；②x2－2x＋>0；③x2＋6x＋10>0；④2x2－3x＋4<1．其中解集为R的是( )
A．① B．② C．③ D．④
C ①显然不可能；②中Δ＝(－2)2－4×>0，解集不为R；③中Δ＝62－4×10<0，a＞0，满足条件；④中不等式可化为2x2－3x＋3<0，所对应的二次函数的图象开口向上，显然不可能．故选C．
21．若关于x的不等式ax2＋bx－2<0的解集为，则ab＝( )
A．－28 B．－26 C．28 D．26
C ∵x＝－2，是方程ax2＋bx－2＝0的两根，
∴∴a＝4，b＝7．∴ab＝28．
22．关于x的不等式x2＋ax＋4<0的解集不是空集，则实数a的取值范围是( )
A．－4≤a≤4
B．－4C．a≥4或a≤－4
D．a<－4或a>4
D 不等式x2＋ax＋4<0的解集不是空集，只需Δ＝a2－16>0，
∴a<－4或a>4，故选D．
23．若a<0，则关于x的不等式a(x＋1)<0的解集为________．
因为a<0，所以原不等式等价于(x＋1)·>0，方程(x＋1)＝0的两根为－1，－，显然－>0>－1，所以原不等式的解集为．
24．若关于x的不等式(k－1)x2＋(k－1)x－1<0恒成立，则实数k的取值范围是________．
{k|－3当k≠1时，由题意得解得－3因此实数k的取值范围为{k|－325．若不等式ax2＋5x＋c>0的解集为，则a，c的值分别为________，________．
－6 －1 由题意知，方程ax2＋5x＋c＝0的两根为x1＝，x2＝，由根与系数的关系得x1＋x2＝＋＝－，x1x2＝×＝，解得a＝－6，c＝－1．
26．某文具店购进一批新型台灯，若按每盏台灯15元的价格销售，每天能卖出30盏；若售价每提高1元，日销售量将减少2盏．为了使这批台灯每天能获得400元以上的销售收入，这批台灯的销售价格应定为多少元？
[解] 设每盏台灯售价x元，则x≥15，并且日销售收入为x[30－2(x－15)]．
由题意知，当x≥15时，有x[30－2(x－15)]>400，
解得15≤x<20．
所以为了使这批台灯每天获得400元以上的销售收入，这批台灯的销售价格x应满足条件15≤x<20．
[核心精要]
一、不等式的性质的应用
1．判断不等式是否成立，主要有利用不等式的性质和特殊值验证两种方法，特别是对于有一定条件限制的选择题，用特殊值验证的方法更简单．
2．比较法是不等式性质证明的理论依据，是不等式证明的主要方法之一．比较法之一作差法的主要步骤为作差—变形—判断正负．
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二、利用基本不等式求最值的方法
1．使用基本不等式求最值，“一正”“二定”“三相等”三个条件缺一不可．
2．基本不等式具有将“和式”转化为“积式”与将“积式”转化为“和式”的放缩功能，常常用于比较数(式)的大小或证明不等式，解决问题的关键是分析不等式两边的结构特点，选择好利用基本不等式的切入点．
3．对于基本不等式，不仅要记住原始形式，而且还要掌握它的几种变形形式及公式的逆用等．
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三、不等式的恒成立问题的解法及“三个二次的应用”
1．“三个二次”的关系是解一元二次不等式的理论基础；一般可把a＜0的情形转化为a＞0时的情形．
2．在解决不等式ax2＋bx＋c>0(或≥0)对于一切x∈R恒成立问题时，当二次项系数含有字母时，需要对二次项系数a进行讨论，并研究当a＝0时是否满足题意．
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