考点过关练4 函数的基本性质
考试要求
1．理解函数单调性的含义；2．会用定义法证明一个函数的单调性；3．能用单调性进行大小比较，以及求最值(值域)；4．理解奇偶性的定义，会判断一个函数的奇偶性；5．能用函数单调性、奇偶性等性质解决实际问题．
[题组冲关]
题组一 函数的单调性
1．对于函数f
(x)的定义域内的某两个数x1与x2，当x1>x2时，有f
(x1)>f
(x2)，那么函数f
(x)( )
A．单调递增
B．单调递减
C．单调性无法判断
D．以上都不对
2．对于y＝x2，下面说法正确的是( )
A．递增函数
B．递减函数
C．先递增后递减函数
D．先递减后递增函数
3．对于函数y＝－，下面说法正确的是( )
A．定义域上单调递增
B．定义域上单调递减
C．在(－∞，0)上单调递减
D．在(1，＋∞)上单调递增
4．函数f
(x)＝x2＋2x＋5的单调递增区间是( )
A．(－∞，1)
B．(－∞，－1)
C．(－1，＋∞)
D．(1，＋∞)
5．下列函数在(0，＋∞)上是减函数的是( )
A．y＝x＋1 B．y＝ln
x C．y＝ D．y＝－
6．二次函数f
(x)＝4x2－mx＋5在区间(－∞，2]上是减函数，在(2，＋∞)上为增函数，则m＝________．
题组二 函数的最值(值域)
7．函数f
(x)＝的最大值是( )
A．0 B．1 C．2 D．
8．f
(x)＝的最大值是( )
A．3 B．4 C．5 D．6
9．函数f
(x)＝在[1，＋∞)上( )
A．有最大值，无最小值
B．有最小值，无最大值
C．有最大值，也有最小值
D．无最大值，也无最小值
10．函数y＝1＋的最小值是________．
题组三 函数的奇偶性与函数单调性的证明
11．函数①f
1(x)＝x；②f
2(x)＝2x；③f
3(x)＝x3；④f
4(x)＝中，奇函数的个数是( )
A．4
B．3
C．2
D．1
12．设函数f
(x)＝若f
(x)是奇函数，则g(2)＝( )
A．－
B．－4
C．
D．4
13．已知偶函数f
(x)在区间[0，＋∞)上的解析式为f
(x)＝x＋1，下列大小关系正确的是( )
A．f
(1)>f
(2)
B．f
(1)>f
(－2)
C．f
(－1)>f
(－2)
D．f
(－1)(2)
14．下列函数中，既是偶函数又在(0，＋∞)单调递增的函数是( )
A．y＝x3
B．y＝|x|＋1
C．y＝－x2＋1
D．y＝2－|x|
15．若函数y＝ax与y＝－在(0，＋∞)上都是减函数，则y＝ax2＋bx在(0，＋∞)上是( )
A．增函数
B．减函数
C．先增后减
D．先减后增
16．若f
(x)＝＋a是奇函数，则a＝________．
17．如果函数f
(x)＝ax2＋2x－3在区间(－∞，4)上是单调递增的，则实数a的取值范围是________．
18．已知函数f
(x)＝2x－，且f
＝3．
(1)求实数a的值；
(2)判断函数f
(x)在(1，＋∞)上的单调性，并用定义证明．
19．已知函数f
(x)＝x2＋bx＋c．
(1)若f
(x)为偶函数，且f
(1)＝0，求函数f
(x)在区间[－1,3]上的最大值和最小值；
(2)要使函数f
(x)在区间[－1,3]上单调，求实数b的取值范围．
[核心精要]
一、函数的单调性
1．函数单调性定义中的两个数x1与x2是任意的，不是特定的某两个数．
2．画出函数图象来确定函数单调性是一种常用的方法．
3．对于某些常见函数的单调性要不断总结和记忆，如y＝kx＋b，y＝，y＝ax，y＝ax2等．
学习心得：_____________________________________________________
_______________________________________________________________
_______________________________________________________________
_______________________________________________________________
_______________________________________________________________
_______________________________________________________________
_______________________________________________________________
_______________________________________________________________
二、函数的最值(值域)
1．函数在[a，b]上单调递增，则f
(x)max＝f
(b)，f
(x)min＝f
(a)．
2．函数在[a，b]上单调递减，则f
(x)max＝f
(a)，f
(x)min＝f
(b)．
学习心得：_____________________________________________________
_______________________________________________________________
_______________________________________________________________
_______________________________________________________________
_______________________________________________________________
_______________________________________________________________
_______________________________________________________________
_______________________________________________________________
三、函数的奇偶性与函数单调性的证明
1．判断函数奇偶性，首先要判断定义域是否关于原点对称，然后求f
(－x)后与f
(x)对比，若f
(－x)＝－f
(x)，则为奇函数；若f
(－x)＝f
(x)，则为偶函数；若都满足，则为既奇又偶函数；若都不满足，则为非奇非偶函数．
2．用定义法证明函数单调性的方法
(1)取值：设x1，x2是给定区间D内的任意两个值，且x10．
(2)作差：Δy＝f
(x2)－f
(x1)．
(3)变形判号：常用通分、配方、因式分解等恒等变形以判断Δy的正负．
(4)下结论：Δy>0，则D上单调递增；Δy<0，则D上单调递减．
学习心得：_____________________________________________________
_______________________________________________________________
_______________________________________________________________
_______________________________________________________________
_______________________________________________________________
_______________________________________________________________
_______________________________________________________________
_______________________________________________________________
4/7考点过关练4 函数的基本性质
考试要求
1．理解函数单调性的含义；2．会用定义法证明一个函数的单调性；3．能用单调性进行大小比较，以及求最值(值域)；4．理解奇偶性的定义，会判断一个函数的奇偶性；5．能用函数单调性、奇偶性等性质解决实际问题．
[题组冲关]
题组一 函数的单调性
1．对于函数f
(x)的定义域内的某两个数x1与x2，当x1>x2时，有f
(x1)>f
(x2)，那么函数f
(x)( )
A．单调递增
B．单调递减
C．单调性无法判断
D．以上都不对
C 单调性的定义强调的是任意两个值x1与x2，因此本题f
(x)的单调性无法判断，故选C．
2．对于y＝x2，下面说法正确的是( )
A．递增函数
B．递减函数
C．先递增后递减函数
D．先递减后递增函数
D y＝x2的图象是开口向上的抛物线，图象特点是先减后增，故选D．
3．对于函数y＝－，下面说法正确的是( )
A．定义域上单调递增
B．定义域上单调递减
C．在(－∞，0)上单调递减
D．在(1，＋∞)上单调递增
D y＝－在(－∞，0)上单调递增，在(0，＋∞)上也单调递增，但不能说在定义域上单调递增．故选D．
4．函数f
(x)＝x2＋2x＋5的单调递增区间是( )
A．(－∞，1)
B．(－∞，－1)
C．(－1，＋∞)
D．(1，＋∞)
C 因为f
(x)＝x2＋2x＋5＝(x＋1)2＋4，所以f
(x)的单调递增区间是(－1，＋∞)，故选C．
5．下列函数在(0，＋∞)上是减函数的是( )
A．y＝x＋1 B．y＝ln
x C．y＝ D．y＝－
C 函数y＝x＋1与y＝ln
x在(0，＋∞)上都是增函数，所以A，B不正确；函数y＝在(0，＋∞)上是减函数，所以C正确；y＝－在(0，＋∞)上是增函数，所以D不正确，故选C．
6．二次函数f
(x)＝4x2－mx＋5在区间(－∞，2]上是减函数，在(2，＋∞)上为增函数，则m＝________．
16 可知函数图象的对称轴是x＝2，即－＝2，解得m＝16．
题组二 函数的最值(值域)
7．函数f
(x)＝的最大值是( )
A．0 B．1 C．2 D．
B ∵x2≥0，∴x2＋1≥1，∴≤1，故函数f
(x)＝的最大值是1．
8．f
(x)＝的最大值是( )
A．3 B．4 C．5 D．6
C y＝x＋1是增函数，x<1时，f
(x)<2；
y＝－x＋6是减函数，x≥1时，f
(x)≤－1＋6＝5．
∴函数f
(x)的最大值是5．
9．函数f
(x)＝在[1，＋∞)上( )
A．有最大值，无最小值
B．有最小值，无最大值
C．有最大值，也有最小值
D．无最大值，也无最小值
A 因为函数f
(x)＝在[1，＋∞)上单调递减，
所以f
(x)max＝f
(1)＝1，f
(x)无最小值．
10．函数y＝1＋的最小值是________．
1＋ x2－2x＋3＝(x－1)2＋2≥2，∴y≥1＋．
题组三 函数的奇偶性与函数单调性的证明
11．函数①f
1(x)＝x；②f
2(x)＝2x；③f
3(x)＝x3；④f
4(x)＝中，奇函数的个数是( )
A．4
B．3
C．2
D．1
C ①②③的定义域均为R，只有①③满足f
(－x)＝－f
(x)，对于②，f
2(－x)＝2－x＝≠－f
(x)，对于④的定义域为[0，＋∞)，故奇函数有2个．
12．设函数f
(x)＝若f
(x)是奇函数，则g(2)＝( )
A．－
B．－4
C．
D．4
A f
(－2)＝2－2＝，∵f
(x)是奇函数，
∴f
(2)＝－f
(－2)＝－，
即g(2)＝－．
13．已知偶函数f
(x)在区间[0，＋∞)上的解析式为f
(x)＝x＋1，下列大小关系正确的是( )
A．f
(1)>f
(2)
B．f
(1)>f
(－2)
C．f
(－1)>f
(－2)
D．f
(－1)(2)
D 可求f
(1)＝2，f
(2)＝3．由f
(x)是偶函数，
∴f
(－1)＝2，f
(－2)＝3，
∴f
(－1)(2)．
14．下列函数中，既是偶函数又在(0，＋∞)单调递增的函数是( )
A．y＝x3
B．y＝|x|＋1
C．y＝－x2＋1
D．y＝2－|x|
B 对于A：y＝x3为奇函数，不合题意；对于C，D：y＝－x2＋1和y＝2－|x|在(0，＋∞)上单调递减，不合题意；对于B：y＝|x|＋1的图象如图所示，可知B满足题意．
15．若函数y＝ax与y＝－在(0，＋∞)上都是减函数，则y＝ax2＋bx在(0，＋∞)上是( )
A．增函数
B．减函数
C．先增后减
D．先减后增
B 因为y＝ax与y＝－在(0，＋∞)上都是减函数，
所以a<0，b<0．
所以y＝ax2＋bx的对称轴方程为x＝－<0，
所以y＝ax2＋bx在(0，＋∞)上为减函数．
16．若f
(x)＝＋a是奇函数，则a＝________．
f
(－x)＝＋a＝＋a，f
(－x)＝－f
(x)?＋a＝－?2a＝－＝1，故a＝．
17．如果函数f
(x)＝ax2＋2x－3在区间(－∞，4)上是单调递增的，则实数a的取值范围是________．
(1)当a＝0时，f
(x)＝2x－3，在定义域R上是单调递增的，故在(－∞，4)上单调递增；
(2)当a≠0时，二次函数f
(x)的对称轴为直线x＝－，因为f
(x)在(－∞，4)上单调递增，所以a<0，
且－≥4，解得－≤a<0．
综上所述，实数a的取值范围是－≤a≤0．
18．已知函数f
(x)＝2x－，且f
＝3．
(1)求实数a的值；
(2)判断函数f
(x)在(1，＋∞)上的单调性，并用定义证明．
[解] (1)因为f
(x)＝2x－，且f
＝3，
所以f
＝1－2a＝3，解得a＝－1．
(2)由(1)得f
(x)＝2x＋，f
(x)在(1，＋∞)上单调递增．
证明如下：设x1>x2>1，
则f
(x1)－f
(x2)＝2x1＋－2x2－＝(x1－x2)．
因为x1>x2>1，
所以x1－x2>0,2x1x2－1>0，x1x2>0，
所以f
(x1)>f
(x2)，
所以f
(x)在(1，＋∞)上单调递增．
19．已知函数f
(x)＝x2＋bx＋c．
(1)若f
(x)为偶函数，且f
(1)＝0，求函数f
(x)在区间[－1,3]上的最大值和最小值；
(2)要使函数f
(x)在区间[－1,3]上单调，求实数b的取值范围．
[解] (1)由f
(x)为偶函数，可得b＝0，
即f
(x)＝x2＋c．
由f
(1)＝0，可得1＋c＝0，即c＝－1．
由f
(x)＝x2－1的图象开口向上，且对称轴为直线x＝0，
可得f
(x)在[－1,0)上单调递减，在(0,3]上单调递增，
可得f
(x)的最小值为f
(0)＝－1，最大值为f
(3)＝8．
(2)函数f
(x)＝x2＋bx＋c的图象的对称轴为直线x＝－，
若f
(x)在[－1,3]上单调递增，
则－≤－1，解得b≥2；
若f
(x)在[－1,3]上单调递减，
则－≥3，解得b≤－6．
综上，可得实数b的取值范围是(－∞，－6]∪[2，＋∞)．
[核心精要]
一、函数的单调性
1．函数单调性定义中的两个数x1与x2是任意的，不是特定的某两个数．
2．画出函数图象来确定函数单调性是一种常用的方法．
3．对于某些常见函数的单调性要不断总结和记忆，如y＝kx＋b，y＝，y＝ax，y＝ax2等．
学习心得：_____________________________________________________
_______________________________________________________________
_______________________________________________________________
_______________________________________________________________
_______________________________________________________________
_______________________________________________________________
_______________________________________________________________
_______________________________________________________________
二、函数的最值(值域)
1．函数在[a，b]上单调递增，则f
(x)max＝f
(b)，f
(x)min＝f
(a)．
2．函数在[a，b]上单调递减，则f
(x)max＝f
(a)，f
(x)min＝f
(b)．
学习心得：_____________________________________________________
_______________________________________________________________
_______________________________________________________________
_______________________________________________________________
_______________________________________________________________
_______________________________________________________________
_______________________________________________________________
_______________________________________________________________
三、函数的奇偶性与函数单调性的证明
1．判断函数奇偶性，首先要判断定义域是否关于原点对称，然后求f
(－x)后与f
(x)对比，若f
(－x)＝－f
(x)，则为奇函数；若f
(－x)＝f
(x)，则为偶函数；若都满足，则为既奇又偶函数；若都不满足，则为非奇非偶函数．
2．用定义法证明函数单调性的方法
(1)取值：设x1，x2是给定区间D内的任意两个值，且x10．
(2)作差：Δy＝f
(x2)－f
(x1)．
(3)变形判号：常用通分、配方、因式分解等恒等变形以判断Δy的正负．
(4)下结论：Δy>0，则D上单调递增；Δy<0，则D上单调递减．
学习心得：_____________________________________________________
_______________________________________________________________
_______________________________________________________________
_______________________________________________________________
_______________________________________________________________
_______________________________________________________________
_______________________________________________________________
_______________________________________________________________
4/7
