2020-2021学年 人教版八年级数学上册12.2 三角形全等的判定同步练习（word解析版）

12.2
三角形全等的判定
一、单选题
1．用直尺和圆规作一个角等于已知角，如图，能得出∠A′O′B′＝∠AOB的依据是（　　）
A．SAS
B．AAS
C．ASA
D．SSS
2．具备下列条件的两个三角形中，不一定全等的是（　　）
A．有两边一角对应相等
B．三边对应相等
C．两角一边对应相等
D．有两边对应相等的两个直角三角形
3．如图，已知AB＝AD，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ABC≌△ADC的是（　　）
A．CB＝CD
B．∠BAC＝∠DAC
C．∠BCA＝∠DCA
D．∠B＝∠D＝90°
4．如图，某同学把一块三角形的玻璃打破成了三块，现要到玻璃店去配一块大小、形状完全相同的玻璃，那么他可以（　　）
A．带①去
B．带②去
C．带③去
D．带①和②去
5．如图，AC与DB交于点O，下列条件不能证明△ABC≌△DCB的是（　　）
A．AB＝DC，AC＝DB
B．∠A＝∠D，∠ABC＝∠DCB
C．BO＝CO，∠A＝∠D
D．AB＝DC，∠ACB＝∠DBC
6．AD是△ABC的中线，DE＝DF．下列说法：①CE＝BF；②△ABD和△ACD面积相等；③BF∥CE；④△BDF≌△CDE．其中正确的有（　　）
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
7．如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，CB＝CD，若连接AC、BD相交于点O，则图中全等三角形共有（　　）
A．1对
B．2对
C．3对
D．4对
8．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，则下列结论：①DE＝CD；②AD平分∠CDE；③∠BAC＝∠BDE；④BE+AC＝AB，其中正确的是（　　）
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
9．小红用如图所示的方法测量小河的宽度．她利用适当的工具，使AB⊥BC，BO＝OC，CD⊥BC，点A、O、D在同一直线上，就能保证△ABO≌△DCO，从而可通过测量CD的长度得知小河的宽度AB．在这个问题中，可作为证明△ABO≌△DCO的依据的是（　　）
A．SSS
B．ASA
C．SAS
D．HL
10．如图，△ABC中，AB＝AC，D是BC的中点，AC的垂直平分线分别交AC、AD、AB于点E、O、F，则图中全等三角形的对数是（　　）
A．1对
B．2对
C．3对
D．4对
二、填空题
11．如图，AD⊥AB，AE⊥AC，AD＝AB，AE＝AC，则判定△ADC≌△ABE的根据是　
　．
12．如图，已知AB∥CD，AD∥BC，E，F是BD上两点，且BF＝DE，则图中共有　
　对全等三角形．
13．如图，AB＝AD，要使△ABC与△ADC全等，请你添加一个条件：　
　（填一个即可）．
14．如图所示，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE，∠1＝25°，∠2＝30°，则∠3＝　
　．
15．如图，△ADC中．∠C＝90°，AC＝10cm，BC＝5cm．AD⊥AC，AB＝PQ，P、Q两点分别在AC、AD上运动，当AQ＝　
　时，△ABC才能和△APQ全等．
三、解答题
16．如图，在△ABC和△CED中，AB∥CD，AB＝CE，∠B＝∠E，求证：AC＝CD．
17．已知：如图，BF⊥AC于点F，CE⊥AB于点E，且BD＝CD
求证：（1）△BDE≌△CDF；
（2）点D在∠A的平分线上．
18．如图，AB＝AD＝BC＝DC，∠C＝∠D＝∠ABE＝∠BAD＝90°，点E、F分别在边BC、CD上，∠EAF＝45°，过点A作∠GAB＝∠FAD，且点G在CB的延长线上．
（1）△GAB与△FAD全等吗？为什么？
（2）若DF＝2，BE＝3，求EF的长．
参考答案与试题解析
一、单选题
1．用直尺和圆规作一个角等于已知角，如图，能得出∠A′O′B′＝∠AOB的依据是（　　）
A．SAS
B．AAS
C．ASA
D．SSS
【分析】利用作法得到OD＝OC＝O′C′＝O′D′，CD＝C′D′，于是可根据“SSS”判定△OCD≌△O′C′D′，然后根据全等三角形的性质得到∠A′O′B′＝∠AOB．
【解答】解：由作法得OD＝OC＝O′C′＝O′D′，CD＝C′D′，
则可根据“SSS”可判定△OCD≌△O′C′D′，
所以∠A′O′B′＝∠AOB．
故选：D．
2．具备下列条件的两个三角形中，不一定全等的是（　　）
A．有两边一角对应相等
B．三边对应相等
C．两角一边对应相等
D．有两边对应相等的两个直角三角形
【分析】根据判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL分别进行分析即可．
【解答】解：A、有两边一角对应相等，不一定全等，必须是夹角，故此选项符合题意；
B、三边对应相等，可用SSS定理判定全等，故此选项不合题意；
C、两角一边对应相等，可用AAS、ASA定理判定全等，故此选项不合题意；
D、有两边对应相等的两个直角三角形全等，故此选项不合题意；
故选：A．
3．如图，已知AB＝AD，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ABC≌△ADC的是（　　）
A．CB＝CD
B．∠BAC＝∠DAC
C．∠BCA＝∠DCA
D．∠B＝∠D＝90°
【分析】要判定△ABC≌△ADC，已知AB＝AD，AC是公共边，具备了两组边对应相等，故添加CB＝CD、∠BAC＝∠DAC、∠B＝∠D＝90°后可分别根据SSS、SAS、HL能判定△ABC≌△ADC，而添加∠BCA＝∠DCA后则不能．
【解答】解：A、添加CB＝CD，根据SSS，能判定△ABC≌△ADC，故A选项不符合题意；
B、添加∠BAC＝∠DAC，根据SAS，能判定△ABC≌△ADC，故B选项不符合题意；
C、添加∠BCA＝∠DCA时，不能判定△ABC≌△ADC，故C选项符合题意；
D、添加∠B＝∠D＝90°，根据HL，能判定△ABC≌△ADC，故D选项不符合题意；
故选：C．
4．如图，某同学把一块三角形的玻璃打破成了三块，现要到玻璃店去配一块大小、形状完全相同的玻璃，那么他可以（　　）
A．带①去
B．带②去
C．带③去
D．带①和②去
【分析】根据全等三角形的判定方法，在打碎的三块中可以采用排除法进行分析从而确定最后的答案．
【解答】解：第一块，仅保留了原三角形的一个角和部分边，不符合全等三角形的判定方法；
第二块，仅保留了原三角形的一部分边，所以此块玻璃也不行；
第三块，不但保留了原三角形的两个角还保留了其中一个边，所以符合ASA判定，所以应该拿这块去．
故选：C．
5．如图，AC与DB交于点O，下列条件不能证明△ABC≌△DCB的是（　　）
A．AB＝DC，AC＝DB
B．∠A＝∠D，∠ABC＝∠DCB
C．BO＝CO，∠A＝∠D
D．AB＝DC，∠ACB＝∠DBC
【分析】根据全等三角形的判定定理即可得到结论．
【解答】解：A．在△ABC和△DCB中，
∵，
∴△ABC≌△DCB（SSS），故A选项不合题意；
B．在△ABC和△DCB中，
∵，
∴△ABC≌△DCB（AAS），故B选项不合题意；
C．∵BO＝CO，
∴∠ACB＝∠DBC，
在△ABC和△DCB中，
∵，
∴△ABC≌△DCB（AAS），故C选项不合题意；
D．∵AB＝DC，∠ACB＝∠DBC，不能证明△ABC≌△DCB，故D选项符合题意；
故选：D．
6．AD是△ABC的中线，DE＝DF．下列说法：①CE＝BF；②△ABD和△ACD面积相等；③BF∥CE；④△BDF≌△CDE．其中正确的有（　　）
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
【分析】根据三角形中线的定义可得BD＝CD，然后利用“边角边”证明△BDF和△CDE全等，根据全等三角形对应边相等可得CE＝BF，全等三角形对应角相等可得∠F＝∠CED，再根据内错角相等，两直线平行可得BF∥CE，最后根据等底等高的三角形的面积相等判断出②正确．
【解答】解：∵AD是△ABC的中线，
∴BD＝CD，
在△BDF和△CDE中，
，
∴△BDF≌△CDE（SAS），故④正确
∴CE＝BF，∠F＝∠CED，故①正确，
∴BF∥CE，故③正确，
∵BD＝CD，点A到BD、CD的距离相等，
∴△ABD和△ACD面积相等，故②正确，
综上所述，正确的是①②③④．
故选：D．
7．如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，CB＝CD，若连接AC、BD相交于点O，则图中全等三角形共有（　　）
A．1对
B．2对
C．3对
D．4对
【分析】首先证明△ABC≌△ADC，根据全等三角形的性质可得∠BAC＝∠DAC，∠BCA＝∠DCA，再证明△ABO≌△ADO，△BOC≌△DOC．
【解答】解：∵在△ABC和△ADC中，
∴△ABC≌△ADC（SSS），
∴∠BAC＝∠DAC，∠BCA＝∠DCA，
∵在△ABO和△ADO中，
∴△ABO≌△ADO（SAS），
∵在△BOC和△DOC中，
∴△BOC≌△DOC（SAS），
故选：C．
8．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，则下列结论：①DE＝CD；②AD平分∠CDE；③∠BAC＝∠BDE；④BE+AC＝AB，其中正确的是（　　）
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
【分析】①根据角平分线的性质得出结论：DE＝CD；
②证明△ACD≌△AED，得AD平分∠CDE；
③由四边形的内角和为360°得∠CDE+∠BAC＝180°，再由平角的定义可得结论是正确的；
④由△ACD≌△AED得AC＝AE，再由AB＝AE+BE，得出结论是正确的．
【解答】解：①∵∠C＝90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB，
∴DE＝CD；
所以此选项结论正确；
②∵DE＝CD，AD＝AD，∠ACD＝∠AED＝90°，
∴△ACD≌△AED，
∴∠ADC＝∠ADE，
∴AD平分∠CDE，
所以此选项结论正确；
③∵∠ACD＝∠AED＝90°，
∴∠CDE+∠BAC＝360°﹣90°﹣90°＝180°，
∵∠BDE+∠CDE＝180°，
∴∠BAC＝∠BDE，
所以此选项结论正确；
④∵△ACD≌△AED，
∴AC＝AE，
∵AB＝AE+BE，
∴BE+AC＝AB，
所以此选项结论正确；
本题正确的结论有4个，故选D．
9．小红用如图所示的方法测量小河的宽度．她利用适当的工具，使AB⊥BC，BO＝OC，CD⊥BC，点A、O、D在同一直线上，就能保证△ABO≌△DCO，从而可通过测量CD的长度得知小河的宽度AB．在这个问题中，可作为证明△ABO≌△DCO的依据的是（　　）
A．SSS
B．ASA
C．SAS
D．HL
【分析】直接利用全等三角形的判定方法得出符合题意的答案．
【解答】解：∵AB⊥BC，CD⊥BC，
∴∠ABO＝∠OCD＝90°，
在△ABO和△DCO中，
，
∴△ABO≌△DCO（ASA），
则证明△ABO≌△DCO的依据的是ASA，
故选：B．
10．如图，△ABC中，AB＝AC，D是BC的中点，AC的垂直平分线分别交AC、AD、AB于点E、O、F，则图中全等三角形的对数是（　　）
A．1对
B．2对
C．3对
D．4对
【分析】根据已知条件“AB＝AC，D为BC中点”，得出△ABD≌△ACD，然后再由AC的垂直平分线分别交AC、AD、AB于点E、O、F，推出△AOE≌△EOC，从而根据“SSS”或“SAS”找到更多的全等三角形，要由易到难，不重不漏．
【解答】解：∵AB＝AC，D为BC中点，
∴CD＝BD，∠BDO＝∠CDO＝90°，
在△ABD和△ACD中，
，
∴△ABD≌△ACD；
∵EF垂直平分AC，
∴OA＝OC，AE＝CE，
在△AOE和△COE中，
，
∴△AOE≌△COE；
在△BOD和△COD中，
，
∴△BOD≌△COD；
在△AOC和△AOB中，
，
∴△AOC≌△AOB；
故选：D．
二、填空题
11．如图，AD⊥AB，AE⊥AC，AD＝AB，AE＝AC，则判定△ADC≌△ABE的根据是　SAS　．
【分析】首先证明∠DAC＝∠BAE，然后再加上条件AD＝AB，AE＝AC，即可证明三角形全等．
【解答】解：∵AD⊥AB，AE⊥AC，
∴∠DAB＝∠EAC＝90°，
∴∠DAB+∠BAC＝∠EAC+∠BAC，
即：∠DAC＝∠BAE，
在△ABC和△ABE中，
∴△ADC≌△ABE
（SAS），
故答案为：SAS．
12．如图，已知AB∥CD，AD∥BC，E，F是BD上两点，且BF＝DE，则图中共有　3　对全等三角形．
【分析】已知AB∥CD，AD∥BC得出角相等，从而得到三角形全等，再由全等的结论证明其它的三角形全等．
【解答】解：∵AB∥CD，AD∥BC，
∴∠ABD＝∠CDB，∠ADB＝∠CBD，
又BD＝DB，
∴△ABD≌△CDB，
AB＝AB，AD＝AD，AE＝CD，
又∵BF＝DE，
∴BE＝DF，
∴△ABE≌△CDF，△ADE≌△CBF共有3对．
故填3．
13．如图，AB＝AD，要使△ABC与△ADC全等，请你添加一个条件：　答案不唯一，如BC＝DC　（填一个即可）．
【分析】要说明△ABC≌△ADC，现有AB＝AD，公共边AC＝AC，需第三边对应相等，于是答案可得．
【解答】解：∵AB＝AD，AC＝AC
∴要使△ABC≌△ADC可利用SSS判定，
故添加DC＝BC（答案不唯一）．
故答案为：答案不唯一，如BC＝DC．
14．如图所示，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE，∠1＝25°，∠2＝30°，则∠3＝　55°　．
【分析】求出∠BAD＝∠EAC，证△BAD≌△CAE，推出∠2＝∠ABD＝30°，根据三角形的外角性质求出即可．
【解答】解：∵∠BAC＝∠DAE，
∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC，
∴∠1＝∠EAC，
在△BAD和△CAE中，
∴△BAD≌△CAE（SAS），
∴∠2＝∠ABD＝30°，
∵∠1＝25°，
∴∠3＝∠1+∠ABD＝25°+30°＝55°，
故答案为：55°．
15．如图，△ADC中．∠C＝90°，AC＝10cm，BC＝5cm．AD⊥AC，AB＝PQ，P、Q两点分别在AC、AD上运动，当AQ＝　5cm或10cm　时，△ABC才能和△APQ全等．
【分析】分两种情况讨论，由全等三角形的判定可求解．
【解答】解：∵AD⊥AC，
∴∠C＝∠PAQ＝90°，
当BC＝AQ＝5cm时，且AB＝PQ，
∴Rt△ABC≌Rt△PQA（HL），
当AQ＝AC＝10cm时，且AB＝PQ，
∴Rt△ABC≌Rt△QPA（HL），
故答案为5cm或10cm．
三、解答题
16．如图，在△ABC和△CED中，AB∥CD，AB＝CE，∠B＝∠E，求证：AC＝CD．
【分析】先由平行线的性质得∠BAC＝∠ECD，再证△ABC≌△CED（ASA），即可得出结论．
【解答】证明：∵AB∥CD，
∴∠BAC＝∠ECD，
在△ABC和△CED中，
，
∴△ABC≌△CED（ASA），
∴AC＝CD．
17．已知：如图，BF⊥AC于点F，CE⊥AB于点E，且BD＝CD
求证：（1）△BDE≌△CDF；
（2）点D在∠A的平分线上．
【分析】（1）根据全等三角形的判定定理ASA证得△BED≌△CFD；
（2）连接AD．利用（1）中的△BED≌△CFD，推知全等三角形的对应边ED＝FD．因为角平分线上的点到角的两边的距离相等，所以点D在∠A的平分线上．
【解答】证明：（1）∵BF⊥AC，CE⊥AB，∠BDE＝∠CDF（对顶角相等），
∴∠B＝∠C（等角的余角相等）；
在Rt△BED和Rt△CFD中，
，
∴△BED≌△CFD（ASA）；
（2）连接AD．
由（1）知，△BED≌△CFD，
∴ED＝FD（全等三角形的对应边相等），
∴AD是∠EAF的角平分线，即点D在∠A的平分线上．
18．如图，AB＝AD＝BC＝DC，∠C＝∠D＝∠ABE＝∠BAD＝90°，点E、F分别在边BC、CD上，∠EAF＝45°，过点A作∠GAB＝∠FAD，且点G在CB的延长线上．
（1）△GAB与△FAD全等吗？为什么？
（2）若DF＝2，BE＝3，求EF的长．
【分析】（1）先证明∠ABG＝∠D，然后依据ASA证明两个三角形全等即可；
（2）依据SAS证明△AGE≌△AFE，从而可得到EF＝GE，然后再由GB＝DF可得到EF＝BE+DF．
【解答】解：（1）全等．
证明：∵∠D＝∠ABE＝90°，
∴∠ABG＝90°＝∠D，
在△ABG和△ADF中，
，
∴△GAB≌△FAD（ASA）；
（2）∵∠BAD＝90°，∠EAF＝45°，
∴∠DAF+∠BAE＝45°，
∵△GAB≌△FAD，
∴∠GAB＝∠FAD，AG＝AF，
∴∠GAB+∠BAE＝45°，
∴∠GAE＝45°，
∴∠GAE＝∠EAF，
在△GAE和△FAE中，
，
∴△GAE≌△FAE（SAS）
∴EF＝GE．
∵△GAB≌△FAD，
∴GB＝DF，
∴EF＝GE＝GB+BE＝FD+BE＝2+3＝5．