2021-2022学年人教版数学九年级上册21.2解一元二次方程（同步练习）（word解析版）

21.2解一元二次方程
一．选择题
1．用配方法解方程：2x2+4x﹣3＝0，则配方结果正确的是（　　）
A．（x+1）2＝
B．（x﹣1）2＝
C．（x+1）2＝
D．（x﹣1）2＝
2．若实数a使关于x的一元二次方程（a+1）x2﹣3x+1＝0有两个不相等的实数根，则实数a的取值范围是（　　）
A．a＜
B．a＜且a≠﹣1
C．a＞
D．a＞且a≠﹣1
3．方程（x﹣3）2＝1的解为（　　）
A．x＝1或x＝﹣1
B．x＝4或x＝2
C．x＝4
D．x＝2
4．已知三角形的两边长是4和6，第三边的长是方程（x﹣3）2＝4的根，则此三角形的周长为（　　）
A．17
B．11
C．15
D．11或15
5．用公式法解方程x2﹣6x+1＝0所得的解正确的是（　　）
A．
B．
C．
D．
6．用公式法解方程3x2﹣2x﹣1＝0时，正确代入求根公式的是（　　）
A．x＝
B．x＝
C．x＝
D．x＝
7．四个一元二次方程：①x2﹣2x﹣3＝0；②x2﹣2x+1＝0；③x2﹣2x+2＝0；④x2＝0．其中没有实数根的方程的序号是（　　）
A．①
B．②
C．③
D．④
8．方程3x（x﹣2）＝x﹣2的根为（　　）
A．x＝2
B．x＝0
C．x1＝2，x2＝0
D．
9．若直角三角形的两边长分别是方程x2﹣7x+12＝0的两根，则该直角三角形的面积是（　　）
A．6
B．12
C．12或
D．6或
10．对于一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0），下列说法：
①若a+b+c＝0，则b2﹣4ac≥0；
②若方程ax2+c＝0有两个不相等的实根，则方程ax2+bx+c＝0必有两个不相等的实根；
③若c是方程ax2+bx+c＝0的一个根，则一定有ac+b+1＝0成立；
④若x0是一元二次方程ax2+bx+c＝0的根，则
其中正确的（　　）
A．只有①②
B．只有①②④
C．①②③④
D．只有①②③
二．填空题
11．方程25x2﹣9＝0的解是　
　．
12．把方程x2+4x+1＝0用配方法化为（x+m）2＝n的形式，则n的值是
　
　．
13．方程（y﹣2）（y﹣3）＝12解为
　
　．
14．关于x的一元二次方程x2+2x﹣k＝0有两个实数根，则k的取值范围是
　
　．
15．对于实数a、b、c、d，我们定义运算＝ad﹣bc，例如：＝2×5﹣1×3＝7，上述记号就叫做二阶行列式．若＝4，则x＝　
　．
三．解答题
16．解下列方程：
（1）（2x+3）2＝16；
（2）x2﹣4x﹣3＝0．
17．按照指定方法解下列方程：
（1）x（x﹣2）+3＝0．（自选方法）
（2）3x2﹣6x﹣2＝0．（配方法）
（3）x2﹣9＝2x+6．（因式分解法）
18．当k取何值时，关于x的方程4x2﹣（k+2）x+（k﹣1）＝0有两个相等的实数根？并求出此时方程的根．
19．如果a2+b2＝c2，那么把形如ax2+cx+b＝0（a≠0）的方程称为“勾系方程”．
（1）当a＝3，b＝4时，写出相应的“勾系方程”：　
　；
（2）求证：关于x的“勾系方程”ax2+cx+b＝0（a≠0）必有实数根．
参考答案
一．选择题
1．解：方程整理得：x2+2x＝，
配方得：x2+2x+1＝，即（x+1）2＝．
故选：A．
2．解：∵关于x的一元二次方程（a+1）x2﹣3x+1＝0有两个不相等的实数根，
∴（﹣3）2﹣4×（a+1）×1＞0且a+1≠0，
解得a＜且a≠﹣1，
故选：B．
3．解：（x﹣3）2＝1，
开方，得x﹣3＝±1，
解得：x＝4或x＝2，
故选：B．
4．解：（x﹣3）2＝4，
x﹣3＝±2，
解得x1＝5，x2＝1．
若x＝5，则三角形的三边分别为4，5，6，其周长为4+5+6＝15；
若x＝1时，6﹣4＝2，不能构成三角形，
则此三角形的周长是15．
故选：C．
5．解：∵a＝1，b＝﹣6，c＝1，
∴△＝（﹣6）2﹣4×1×1＝32＞0，
则x＝＝＝3±2，
故选：D．
6．解：∵3x2﹣2x﹣1＝0，
∴a＝3，b＝﹣2，c＝﹣1，
∴x＝＝．
故选：D．
7．解：①方程判别式Δ＝（﹣2）2﹣4×1×（﹣3）＝16＞0，有两个不相等的实数根；
②方程判别式Δ＝（﹣2）2﹣4×1×1＝0，有两个相等的实数根；
③方程判别式Δ＝（﹣2）2﹣4×1×2＝﹣4＜0，没有实数根；
④方程判别式Δ＝02﹣4×1×0＝0，有两个相等的实数根；
故选：C．
8．解：3x（x﹣2）＝x﹣2，
3x（x﹣2）﹣（x﹣2）＝0，
（x﹣2）（3x﹣1）＝0，
x﹣2＝0或3x﹣1＝0，
所以x1＝2，x2＝．
故选：D．
9．解：∵x2﹣7x+12＝0，
∴x＝3或x＝4．
①当长是4的边是直角边时，该直角三角形的面积是×3×4＝6；
②当长是4的边是斜边时，第三边是＝，该直角三角形的面积是×3×＝．
故选：D．
10．解：①若a+b+c＝0，则x＝1是方程ax2+bx+c＝0的解，
由一元二次方程的实数根与判别式的关系可知Δ＝b2﹣4ac≥0，故①正确；
②∵方程ax2+c＝0有两个不相等的实根，
∴Δ＝b2﹣4ac＝0﹣4ac＞0，
∴﹣4ac＞0，
则方程ax2+bx+c＝0的判别式Δ＝b2﹣4ac＞0，
∴方程ax2+bx+c＝0必有两个不相等的实根，故②正确；
③∵c是方程ax2+bx+c＝0的一个根，
则ac2+bc+c＝0，
∴c（ac+b+1）＝0
若c＝0，等式仍然成立，
但ac+b+1＝0不一定成立，故③不正确；
④若x0是一元二次方程ax2+bx+c＝0的根，
则由求根公式可得：
x0＝或x0＝
∴2ax0+b＝或2ax0+b＝﹣
∴
故④正确．
故选：B．
二．填空题
11．解：25x2﹣9＝0，
移项得：25x2＝9，
x2＝，
开方得：x＝±，
解得：x1＝，x2＝﹣，
故答案为：x1＝，x2＝﹣．
12．解：∵x2+4x+1＝0，
∴x2+4x＝﹣1，
则x2+4x+4＝﹣1+4，即（x+2）2＝3，
∴m＝2，n＝3，
故答案为：3．
13．解：（y﹣2）（y﹣3）＝12，
y2﹣5y﹣6＝0，
∴（y﹣6）（y+1）＝0，
∴y1＝6，y2＝﹣1，
故答案为y1＝6，y2＝﹣1．
14．解：根据题意得Δ＝22﹣4×（﹣k）≥0，
解得k≥﹣1．
故答案为k≥﹣1．
15．解：根据题中的新定义得：＝x2﹣6（x﹣2）＝4，
即x2﹣6x+8＝0，
分解因式得：（x﹣4）（x﹣2）＝0，
解得：x＝4或2．
故答案为：2或4．
三．解答题
16．解：（1）（2x+3）2＝16；
开方，得2x+3＝±4，
解得：，，
所以方程的解为：，；
（2）x2﹣4x﹣3＝0，
移项，得x2﹣4x＝3，
配方，得x2﹣4x+4＝3+4，
即（x﹣2）2＝7，
开方，得x﹣2＝，
解得：．
17．解：（1）方程整理得：x2﹣2x+3＝0，
配方得：（x﹣）2＝0，
开方得：x﹣＝0，
解得：x1＝x2＝；
（2）方程整理得：x2﹣2x＝，
配方得：x2﹣2x+1＝，即（x﹣1）2＝，
开方得：x﹣1＝±，
解得：x1＝1+，x2＝1﹣；
（3）方程整理得：x2﹣2x﹣15＝0，
因式分解得：（x﹣5）（x+3）＝0，
可得x﹣5＝0或x+3＝0，
解得：x1＝5，x2＝﹣3．
18．解：∵关于x的方程4x2﹣（k+2）x+（k﹣1）＝0有两个相等的实数根，
∴Δ＝[﹣（k+2）]2﹣4×4（k﹣1）＝k2﹣12k+20＝（k﹣2）（k﹣10）＝0，
解得：k1＝2，k2＝10．
当k＝2时，原方程为4x2﹣4x+1＝0，
解得：x1＝x2＝；
当k＝10时，原方程为4x2﹣12x+9＝0，
解得：x1＝x2＝．
19．（1）解：当a＝3，b＝4时，c2＝32+42＝25，
∴c＝±5，
∴相应的“勾系方程”为3x2+5x+4＝0或3x2﹣5x+4＝0；
故答案为3x2+5x+4＝0或3x2﹣5x+4＝0；
（2）证明：∵a≠0，
Δ＝（c）2﹣4ac
＝2c2﹣4ac
＝2（a2+b2）﹣4ac
＝2（a﹣b）2≥0，
∴关于x的“勾系方程”ax2+cx+b＝0（a≠0）必有实数根．