8.1.2向量数量积的运算律
题型一
向量数量积的运算律
1.下列选项正确的是（
）
A.
B.
C.
D.在边长为2的等边三角形中，在方向上的射影的数量为1
2.已知，，是非零向量，下列说法正确的是（
）
A.若，则∥
B.若，则=
C.若=，则
D.
3.已知，，，则=
.
4.已知正方形的边长为2，点为对角线上一点，求的最大值.
题型二
求向量的模
5.已知，，则
.
6.已知，，，则
.
7.若，，，则
.
8.若向量，满足，，，则=
.
题型三
向量夹角
9.若，，且，则与的夹角是
.
10.已知，，且，则与的夹角的取值范围是
.
11.已知向量，满足，且，，则的余弦值为
.
12.已知，，与的夹角为60°，若与的夹角为锐角，则实数的取值范围为
.
13.设两个向量，满足，，，的夹角为60°.若向量与的夹角为钝角，则实数的取值范围为
.
题型四
向量的垂直
14.两个非零向量，互相垂直的充要条件是（
）
A.
B.
C.
D.
15.已知，，，如果，那么=
.
16.若向量，，满足∥且则
.
17.已知，，且与的夹角为60°，当为何值时，向量与垂直？
答案：1.C；2.A；3.-12；4.；5.2；6.；7.；8.；9.；10.；11.；12.；13.
14.C；15.C；16.0；17..8.1.3
向量数量积的坐标运算
题型一
向量的数量积坐标运算
1.已知，，求：
（1）；
（2）；
（3）.
2.已知，，，求：
（1）；
（2）.
3.已知向量，是不平行于轴的单位向量，且，则等于（
）
A.
B.
C.
D.
题型二
向量的投影
4.已知点，，，，则向量在方向上的投影为
.
5.若，，则在方向上的投影为
.
题型三
向量的夹角
6.若两个非零向量，满足，则向量与的夹角是（
）
A.
B.
C.
D.
7.已知向量，，，若，则与的夹角的大小为
.
8.已知，，则（
）
A.
B.
C.
D.
9.已知，且与的夹角大于，则实数m的取值范围为（
）
A
或
B
C
D
且
10.已知，，且是锐角，求的取值范围.
11.已知，，且向量与的夹角为锐角，求的取值范围.
题型四
求向量的模
12.设，向量，，且，则等于（
）
A.
B.
C.
D.10
13.与向量和的夹角均相等，且模为1的向量是（
）
A.
B.或
C.
D.或
14.已知与，要使最小，则实数的值为
.
题型五
向量的平行、垂直运用
15.设向量，，当向量与平行时，=
.
16.已知，，若，则的值为
.
17.已知平面向量，.
（1）若，求的值；
（2）若，求.
18.已知向量、满足，与的夹角为，求
及；
向量与的夹角.
19.已知向量，，且与的夹角为.
（1）求；
（2）若与垂直，求实数的值.
题型六
向量的数量积坐标运算在几何图形中的运用
20.在中，，，，则的形状为
.
21.在中，，，，则等于
.
22.在四边形中，，，则该四边形的面积为
.
23.若等比三角形的边长为，平面内一点满足，则
.
24.如图，在边长为2的菱形中，，为中点，则
.
25.矩形中，是中点，在上，若
则
.
26.在中，是中点，，点在上且满足，则=
.
27.已知非零向量与满足且，则的形状是（
）
A.三边均不相等的三角形
B.直角三角形
C.等腰（非等边）三角形
D.等边三角形
28.已知向量，（为坐标原点），设是直线上的一点，求的最小值.
29.如图，在中，点为线段上的一个动点（不包括端点），且满足.
（1）若，用向量，表示；
（2）若，，且，求的取值范围.
答案：1.（1）1；（2）23；（3）43；
2.（1）0；（2）16；
3.B
4.
5.
6.
7.120°
8.A
9.B
10.
11.
12.B
13B
14.
15.
16.-2
17.（1）-1或3；（2）或2
18.（1）；
（2）90°
19.（1）；（2）。
20.等腰直角三角形
21.5
22.5
23.-2
24.-1
25.
26.
27.D
28.-8
29.（1）；
（2）
及；8.1.2
两角和与差的余弦
题型一
两角和与差的余弦
1.求
2.已知，求的值.
3.求
的值.
4.已知函数（其中，）的最小正周期为.
（1）求的值；
（2）设，，，，求的值.
题型二
公式的逆用
5.求的值.
6.求的值.
7.求的值
题型三
凑角
8.已知，，求的值
9.已知，，，求.
10.若,，，，的值.
11.，且，求的值.
12.，，且，求.
13.若，并且均为锐角，且，求的值.
题型四
公式的灵活运用
14.已知，，求的值.
15.已知，，求的值.
16.若，，求的值.
答案：
1.；
2.；
3.；
4.（1）；（2）；
5.；
6.；
7.；
8.；
9.；
10.；
11.；12.；
13.；
14.；
15.；
16.；8.2.3
倍角公式
题型一
倍角公式
已知，.
求（1）；（2）；（3）的值.
2.求的值.
3.已知，求的值.
4.在中，，，求的值.
5.已知，求的值.
6.求的值.
7.已知，求的值.
8.已知，，求的值.
9.已知，求的值.
10.已知，求的值.
11.已知，，求的值.
12.若，求的值.
13.已知为锐角，，求的值.
题型二
公式的灵活运用
14.化简
（1）；
（2）
（3）
（4）
（5）
题型三
公式的综合运用
15.函数在区间上的最大值.
16.已知函数，的最小正周期是.
（1）求的值；
（2）求函数的最大值，并求使取得最大值的的集合.
17.已知函数
（1）求函数的最下正周期和其图像的对称轴；
（2）求函数在区间上的值域.
答案：1.（1）；（2）；（3）.
；
3.；
4.；
5.；
6.；
7.；
8.；
10.；
11.；
12.；
13.；
14.（1）2；（2）；（3）；（4）；
（5）；
15.；
16.（1）；（2），
17.（1），对称轴；（2）8.1.4
三角恒等变换的应用
半角公式
1.求的值.
2.若，是第三象限角，求的值.
3.若，，求的值
4.设是第二象限角，，且，求的值.
5.化简.
6.已知，化简
7.若，，求的值.
8.设是第三象限角，且，求的值.
9.已知，求的值.
积化和差公式
和差化积公式
10.求证.
11.求的值.
12.求的值.
13.求的值.
14.求、的值.
15.求函数的最大值.
答案：1.2；
2.；
3.；
4.
5.；
6.；
7.；
8.；
9.；
10.略；
11.；
12.；
13.
；
14.；
15..8.1.1向量数量积的概念
题型一
向量的夹角
1、如图所示，若记，则
.
2.已知，，则
.
题型二
向量的数量积
3、如图所示，在中，，，则的值为（
）
A.1
B.-1
C.2
D.-2
4.如图所示，已知正六边形，下列给出的向量的数量积中最大的是
.（填序号）
①；②；③；④.
5.，，且与的夹角为60°，则=
.
6.已知，，，则（
）
A.
B.
C.1
D.2
7.在中，，，若则的形状为（
）
A.直角三角形
B.锐角三角形
C.钝角三角形
D.不能判断
题型三
向量在轴上的正射影
8.向量的模为10，它与轴正方向的夹角为150°，则它在轴正方向上的投影为（
）
A.
B.5
C.-5
D.
9.已知，若在方向上的投影为4，则=
.
10.如图所示，在等腰三角形中，，，是的中点，求：
（1）在方向上的射影的数量；
（2）在方向上的射影的数量.
答案：
1.；2.；3.B；4.①；5.4；6.A；7.C；8A；9.4；10.（1）；（2）；8.2.2
两角和与差的正弦、正切
两角和与差的正弦
题型一
两角和与差的正弦
1.求的值.
2.求的值.
3.已知，，，，求的值.
4.若，是第三象限的角，则的值。
题型二
公式的逆用
5.求的值
6.求的值.
题型三
凑角
7.已知，，，均为钝角，求的值.
8.已知，，，求的值.
题型四
公式的灵活运用
9.若，，求的值
题型五
辅助角公式
10.求函数的最大值、最小值.
11.已知，，求的最大值和最小值.
12.在锐角三角形中，三个内角为，且，求的取值范围.
13.已知，求的值
14.已知向量，且与向量所成的角为，是的三个内角.
求角的大小；
求的取值范围.
答案：
1.；
2.；
3.；
4.；
5.；
6.；
7.；
8.；
9.；
10.；
；
12.；
13.；
14.；（2）；
两角和与差的正切
题型一
两角和与差的正切
1.已知均为锐角，且，，求的值.
2.设是方程的两个实数根，求的值.
题型二
公式的灵活运用
3.求的值.
4.求的值
5.求的值.
6.计算
7.已知中，，求
8.已知为锐角，且，求的值.
9.计算的值.
题型三
凑角
10.已知，，求（1）；（2）的值.
11.已知，，且，求的值.
12.已知，，且，，求的值.
答案：
1.；
2.；
3.；
4.；5.1；
6.；
7.；
8.；
9.；10.（1）；（2）2；
11.；
12.
；
