向量的数量积与三角恒等变换
8.1
向量的数量积
阶段性章节检测习题
时间：90分钟
总分：120分
一、选择题。（12小题共60分）
1、已知·=，||=4，和的夹角为135°，则||=( )
A.12
B.3
C.6
D.
2、已知|b|＝3，在方向上的投影是，则为( )
A．
B．
C．3
D．2
3、设=40，||=10，则向量在方向上的投影为( )
A.4
B.
C.
D.
4、在△ABC中，＝，＝，若，则△ABC是( )
A．锐角三角形
B．钝角三角形
C．直角三角形
D．无法确定
5、设点A，B，C不共线，则“与的夹角为锐角”是“”的（
）
A.
充分而不必要条件
B.
必要而不充分条件
C.
充分必要条件
D.
既不充分也不必要条件
6、已知=(2,3)，=(3，t)，=1，则=（
）
A．
B．
C．2
D．3
7、设，均为单位向量，则“”是“⊥”的（
）
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
8、设,
为非零向量，则“存在负数，使得”是“”（
）
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
9、已知非零向量满足，．若，
则实数t的值为（
）
A．4
B．–4
C．
D．–
10、设，是向量，则“”是“”的（
）
A.
充分而不必要条件
B.
必要而不充分条件
C.
充分必要条件
D.
既不充分也不必要条件
11、设为非零向量，则“”是“共线”的（
）
A.
充分而不必要条件
B.
必要而不充分条件
C.
充要条件
D.
既不充分也不必要条件
12、设非零向量，满足
。且与的夹角为，则“”是“”的（
）
A.
充分非必要条件
B.
必要非充分条件
C.
充分必要条件
D.
既不充分也不必要条件
二、填空题。（8道共40分）
13、已知向量=（–4，3），=（6，m），且，则m=__________．
14、已知a，b为单位向量，且a·b=0，若，则
______.
设向量），．若，则m
=
．
16、已知平面向量||＝2，||＝6且与夹角为，则在上投影的数量为________，在上投影的数量为________．
17、已知向量，则与夹角的大小为_________.
已知向量a
=
(1,
m)
，
b
=
(2,
1)
，且a⊥b，则m=??．
19、向量，若，则在上的投影是_______。
20、设点A,B,C不共线，则“”是“”是________条件。
解答题。（3小题共20分）
已知向量＝(1，)，＝(3，m)且在方向上的投影为－3，求向量与的夹角。
22、已知||＝2||≠0，且关于x的方程x2＋||x＋＝0有实根，求与的夹角的取值范围。
23、已知向量，，．
(1)
若，求的值；
(2)
记，求的最大值和最小值以及对应的的值．向量的数量积与三角恒等变换
8.1
向量的数量积
章节检测习题
时间：90分钟
总分：120分
一、选择题。（12小题共60分）
1、已知·=，||=4，和的夹角为135°，则||=( )
A.12
B.3
C.6
D.
【答案】：C。
【解析】：由向量数量积的定义知，，
得，故选C。
2、已知|b|＝3，在方向上的投影是，则为( )
A．
B．
C．3
D．2
【答案】：D
【解析】：由题意得，
根据数量积的几何意义知：
，故选D。
3、设=40，||=10，则向量在方向上的投影为( )
A.4
B.
C.
D.
【答案】：A。
【解析】：设与夹角为，所以向量在方向上的投影为
，故选A。
4、在△ABC中，＝，＝，若，则△ABC是( )
A．锐角三角形
B．钝角三角形
C．直角三角形
D．无法确定
【答案】：B。
【解析】：＝，＝
,
.
，，即，
，即，即△ABC是钝角三角形，故选B。
5、设点A，B，C不共线，则“与的夹角为锐角”是“”的（
）
A.
充分而不必要条件
B.
必要而不充分条件
C.
充分必要条件
D.
既不充分也不必要条件
【答案】：C
【解析】：由可得，，两边平方得
，即，
即与的夹角为锐角，所以是充要条件，故选C。
6、已知=(2,3)，=(3，t)，=1，则=（
）
A．
B．
C．2
D．3
【答案】：C。
【解析】：，则，得，即，所以.故选C.
7、设，均为单位向量，则“”是“⊥”的（
）
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】：C。
【解析】：∵，∴，
又，∴，∴；反之也成立，故选C．
8、设,
为非零向量，则“存在负数，使得”是“”（
）
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】：A。
【解析】：因为为非零向量，所以的充要条件是
．因为，则由可知的方向相反，，所以，所以“存在负数，使得”可推出“”；而可推出，但不一定推出的方向相反，从而不一定推得“存在负数，使得”，所以“存在负数，使得”是“”的充分而不必要条件．
9、已知非零向量满足，．若，
则实数t的值为（
）
A．4
B．–4
C．
D．–
【答案】：B。
【解析】：由可得，即，
所以
．故选B．
10、设，是向量，则“”是“”的（
）
A.
充分而不必要条件
B.
必要而不充分条件
C.
充分必要条件
D.
既不充分也不必要条件
【答案】：D
【解析】：因为，所以由此可知，
“”是“”的既不充分也不必要条件，故选D.
11、设为非零向量，则“”是“共线”的（
）
A.
充分而不必要条件
B.
必要而不充分条件
C.
充要条件
D.
既不充分也不必要条件
【答案】：A。
【解析】：得，即，
即a与b的夹角为0°；由a与b共线，可得a与b的夹角为0°或180°，所以是充分而不必要条件，故选A。
12、设非零向量，满足
。且与的夹角为，则“”是“”的（
）
A.
充分非必要条件
B.
必要非充分条件
C.
充分必要条件
D.
既不充分也不必要条件
【答案】：C。
【解析】：由得，，即，
，即，所以为充要条件。故选C。
二、填空题。（8道共40分）
13、已知向量=（–4，3），=（6，m），且，则m=__________．
【答案】：。
【解析】：由得，，即，。
14、已知a，b为单位向量，且a·b=0，若，则______.
【答案】：。
【解析】：，
因为，
所以，所以.
设向量），．若，则m
=
．
【答案】：。
【解析】：由得，，即，所以。
16、已知平面向量||＝2，||＝6且与夹角为，则在上投影的数量为________，在上投影的数量为________．
【答案】：1；3。
【解析】：在上投影的数量为；在上投影为。
17、已知向量，则与夹角的大小为_________.
【答案】：。
【解析】：由，由于0
≤
θ
≤
π，得。
已知向量a
=
(1,
m)
，
b
=
(2,
1)
，且a⊥b，则m=??．
【答案】：。
【解析】：由得，，即，所以。
19、向量，若，则在上的投影是_______。
【答案】：。
【解析】：由得，，即，所以，
在上的投影是。
20、设点A,B,C不共线，则“”是“”是________条件。
【答案】：充要条件。
【解析】：由得，，即
所以即充要条件。
解答题。（3小题共20分）
已知向量＝(1，)，＝(3，m)且在方向上的投影为－3，求向量与的夹角。
【答案】：。
【解析】：设两向量夹角为，由在方向上的投影为－3得，，
即，所以，，即。
22、已知||＝2||≠0，且关于x的方程x2＋||x＋＝0有实根，求与的夹角的取值范围。
【答案】：
≤
θ
≤
π。
【解析】：因为Δ＝2－4||·||cos
θ(θ为向量与夹角)。
若方程有实根，则有Δ
≥
0即2－4||·||cos
θ
≥
0，
又||＝2||，∴4||2－8||2cos
θ
≥
0，
∴cos
θ
≤
，又0
≤
θ
≤
π，∴
≤
θ
≤
π。
23、已知向量，，．
(1)
若，求的值；
(2)
记，求的最大值和最小值以及对应的的值．
【答案】：(1)；(2)
x
=
0时，最大值3；时，最小值。
【解析】(1)因为，，，
所以．
若，则，与矛盾，故．
于是．
又，所以．
(2).
因为，所以，
从而.
于是，当，即时，取到最大值3；
当，即时，取到最小值．
