2020-2021学年高中数学人教版B版（2019版）必修第四册第十章测试题（含答案）

第十章测试题
一、单选题(本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.已知a,b∈R,i是虚数单位.若a+i=2-bi,则
(a+bi)2=
(　　)
A.3-4i
B.3+4i
C.4-3i
D.4+3i
2.复数z满足(-1+i)z=(1+i)2,其中i为虚数单位,则在复平面上复数z对应的点位于
(　　)
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
3.复数·(1+i)=1-i,则z=
(　　)
A.1-i
B.1+i
C.-i
D.i
4.复数z满足z(1-i)=,则复数z的实部是
(　　)
A.-1
B.1
C.-
D.
5.已知复数=x+yi(a,x,y∈R,i是虚数单位),则x+2y=
(　　)
A.1
B.
C.-
D.-1
6.已知i为虚数单位,复数z1=a+2i,z2=2-i,且|z1|=|z2|,则实数a的值为
(　　)
A.1
B.-1
C.1或-1
D.±1或0
7.
i是虚数单位,复数为纯虚数,则实数a为
(　　)
A.2
B.-2
C.-
D.
8.复数2+i与复数在复平面上的对应点分别是A,B,若O为坐标原点,则∠AOB等于
(　　)
A.
B.
C.
D.
二、多选题(本大题共4小题,每小题5分,共20分,在每小题给出的四个选项中,有多项是符合题目要求的,全部选对的得5分,选对但不全的得3分,有选错的得0分)
9.下列各式的运算结果为纯虚数的是
(　　)
A.(1-i)2
B.i2(1-i)
C.(1+i)2
D.i(1+i)
10.已知a∈N,i为虚数单位,复数z=+i,若|z|<,则a的值可能为
(　　)
A.0
B.1
C.2
D.3
11.已知x,y∈R,i为虚数单位,且i-y=-1+2i,复数z=,则以下结论正确的是
(　　)
A.z的虚部为-2i
B.z的模为2
C.z的共轭复数为2i
D.z对应的点在第四象限
12.已知i为虚数单位,则下面说法正确的是
(　　)
A.若复数z=3+i,则=-
B.复数z满足=1,z在复平面内对应的点为,则x2+=1
C.若复数z1,z2满足z1=,则z1z2≥0
D.复数z=1-3i的虚部是3
三、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)
13.i为虚数单位,设复数z1,z2在复平面内对应的点关于原点对称,若z1=2-3i,则z2=　　　　,z1+z2=　　　　.?
14.设复数a+bi(a,b∈R)的模为,则(a+bi)(a-bi)=　　　　.?
15.设z-2i=,则=　　　　.?
16.已知z,ω为复数,(1+3i)z为纯虚数,ω=,且|ω|=5,则ω=　　　　.?
四、解答题(本大题共6小题,共70分.)
17.(10分)已知复数z1=2-3i,z2=.
求:(1)z1z2.
(2).
18.(12分)已知复数z=(1-i)2+1+3i.
(1)求|z|.
(2)若z2+az+b=,求实数a,b的值.
19.(12分)复数z=-+(6m-16)i.(i为虚数单位)
(1)若复数z为纯虚数,求实数m的值;
(2)若复数z对应的点在第三象限或第四象限,求实数m的取值范围.
20.(12分)已知复数z满足(1+2i)=4+3i.
(1)求复数z.
(2)若复数(z+ai)2在复平面内对应的点在第一象限,求实数a的取值范围.
21.(12分)已知z是复数,z+2i与均为实数(i为虚数单位),且复数在复平面上的对应点在第一象限.
(1)求z的值;(2)求实数a的取值范围.
22.(12分)已知复数z满足|z|=,z2的虚部是2.
(1)求复数z.
(2)设z,z2,z-z2在复平面上的对应点分别为A,B,C,求△ABC的面积.
参考答案
1.
分析：选A.由a+i=2-bi可得a=2,b=-1,则(a+bi)2=(2-i)2=3-4i.
2.
分析：选D.z====1-i,故z在复平面内对应的点的坐标为(1,-1),位于第四象限.
3.
分析：选D.因为====-i,所以z=i.
4.
分析：选D.依题意=,所以z===+i,故z的实部为.
5.
分析：选A.由题意得a+i=(x+yi)(2+i)=2x-y+
(x+2y)i,所以x+2y=1,故选A.
6.
分析：选C.因为复数z1=a+2i,z2=2-i,且|z1|=|z2|,所以a2+4=4+1,解得a=±1.
7.
分析：选A.因为===+i,
复数为纯虚数,所以解得a=2.
8.
分析：选B.因为==-,
所以它在复平面上的对应点为B,
而复数2+i在复平面上的对应点是A(2,1),
显然AO=,BO=,AB=.
由余弦定理得cos
∠AOB==,所以∠AOB=.
9.
分析：选AC.(1-i)2=-2i,-2i是纯虚数,故A正确;i2(1-i)=-(1-i)=-1+i,不是纯虚数,排除B;i(1+i)=-1+i,不是纯虚数,排除D;(1+i)2=2i,2i是纯虚数.故C正确.
10.
分析：选ABC.z=+i=+i=+i=+i,
由|z|<得<得a2-2a-3<0,所以-111.
分析：选BC.因为i-y=-1+2i,所以解得所以z==-2i.
对于A,z的虚部为-2,A错误;
对于B,=2,B正确;
对于C,z的共轭复数为2i,C正确;
对于D,z对应的点为,不在第四象限,D错误.
12.
分析：选ABC.由===-,故A正确;由z在复平面内对应的点为,则==1,即=1,则x2+=1,故B正确;设复数z1=a+bi,则z2=a-bi,所以z1z2==a2+b2≥0,故C正确;复数z=1-3i的虚部是-3,故D不正确.
13.分析：因为(2,-3)关于原点的对称点是(-2,3),所以z2=-2+3i.z1+z2=2-3i+(-2+3i)=0.
答案:-2+3i　0
14.分析：因为|a+bi|==,所以(a+bi)(a-bi)=a2+b2=3.
答案:3
15.分析：因为z-2i===-i,
所以z=2i-i=i,则|z|=1.
答案:1
16.分析：由题意设(1+3i)z=ki(k≠0且k∈R),则ω=.因为|ω|=5,所以k=±50,故ω=±(7-i).
答案:±(7-i)
17.
分析：z2=====1-3i.
(1)z1z2=(2-3i)(1-3i)=-7-9i.
(2)====+i.
18.
分析：z=(1-i)2+1+3i=-2i+1+3i=1+i.
(1)|z|==.
(2)z2+az+b=(1+i)2+a(1+i)+b=2i+a+ai+b=a+b+(a+2)i,
因为=1-i,所以a+b+(a+2)i=1-i,所以
所以a=-3,b=4.
19.
分析：
(1)z=-+(6m-16)i,
因为复数z为纯虚数,所以所以m=-2;
(2)因为复数z对应的点在第三象限或第四象限,
所以解得
因此实数m的取值范围为∪(-8,-2)∪.
20.
分析：(1)因为(1+2i)=4+3i,
所以====2-i,所以z=2+i.
(2)由(1)知z=2+i,则(z+ai)2=(2+i+ai)2=[2+(a+1)i]2=4-(a+1)2+4(a+1)i,
因为复数(z+ai)2在复平面内对应的点在第一象限,
所以解得-1即实数a的取值范围为(-1,1).
21.
分析：(1)设z=x+yi,
又z+2i=x+i,且为实数,所以y+2=0,解得y=-2.所以===,因为为实数,所以=0,解得x=4,所以z=4-2i.
(2)因为复数==16-+8i=+i,所以解得2即实数a的取值范围是.
22.
分析：(1)设z=a+bi(a,b∈R),则z2=a2-b2+2abi,由题意得a2+b2=2且2ab=2,解得a=b=1或a=b=-1,所以z=1+i或z=-1-i.
(2)当z=1+i时,z2=2i,z-z2=1-i,
所以A(1,1),B(0,2),C(1,-1),所以S△ABC=1.
当z=-1-i时,z2=2i,z-z2=-1-3i,
所以A(-1,-1),B(0,2),C(-1,-3),
所以S△ABC=1.