高中数学人教B版（2019）必修（第四册） 第9章 解三角形 9.2 正弦定理与余弦定理的应用（解析版）

解三角形
9.2
正弦定理与余弦定理的应用
章节检测习题
时间：90分钟
总分：120分
一、选择题。（5小题共25分）
1、已知锐角三角形三边分别为3，4，a，则a的取值范围为　　
A.
B.
C.
D.
2、中，已知，，，如果有两组解，则x的取值范围　　
A.
B.
C.
D.
3、在△ABC中，已知a＝11，b＝20，A＝130°，则此三角形(　　)
A．无解
B．只有一解
C．有两解
D．解的个数不确定
4、在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，，则△ABC的形状一定是?
（???
）
A.
正三角形
B.
直角三角形
C.
等腰三角形
D.
等腰直角三角形
5、在一座50
m高的观测台台顶测得对面一水塔塔顶仰角为60°，塔底俯角为45°，那么这座塔的高为(
)
A.50(1＋)
m
B.50(1＋)
m
C.50(＋)
m
D.50(＋)
m
二、填空题。（5小题共25分）
6、一艘船以20km/h的速度向正北航行，船在A处看见灯塔B在船的东北方向，1h后船在C处看见灯塔B在船的北偏东75°的方向上，这时船与灯塔的距离BC等于______km。
7、如图，设两点在河的两岸，一测量者在所在的同侧河岸边选定一点C，测出AC的距离为，，后，就可以计算出两点的距离为________。
8、如图所示，一艘海轮从A处出发，测得灯塔在海轮的北偏东15°方向，与海轮相距20海里的B处，海轮按北偏西60°的方向航行了30分钟后到达C处，又测得灯塔在海轮的北偏东75°的方向，则海轮的速度为________海里/分。
9、一艘海轮从A处出发，在A处观察灯塔C，其方向是南偏东。海轮以每小时60海里的速度沿南偏东方向直线航行，20分钟后到达B处。在B处观察灯塔C，其方向是北偏东。则B，C之间的距离是_________。
10、在△ABC中，tan
A＋tan
B＋＝tan
Atan
B，且sin
A·cos
A＝，则此三角形为____。
三、解答题。（5小题共70分）
11、如图，海中小岛A周围38海里内有暗礁，一船正在向南航行，在B处测得小岛A在船的南偏东30°，航行30海里后，在C处测得小岛A在船的南偏东45°，如果此船不改变航向，继续向南航行，有无触礁的危险？（sin15°=0.26,
cos15°=0.97，
，）
12、如图，据气象部门预报，在距离某码头南偏东45°方向600km处的热带风暴中心正以20km/h的速度向正北方向移动，距风暴中心450km以内的地区都将受到影响，从现在起多长时间后，该码头将受到热带风暴的影响，影响时间大约为多长？
13、如图，摄影爱好者在某公园A处，发现正前方B处有一立柱，测得立柱顶端O的仰角和立柱底部B的俯角均为，已知摄影爱好者的身高约为米（将眼睛S距地面的距离SA按米处理）．
（1）求摄影爱好者到立柱的水平距离AB和立柱的高度OB；
（2）立柱的顶端有一长为2米的彩杆MN，且MN绕其中点O在摄影爱好者与立柱所在的
平面内旋转．在彩杆转动的任意时刻，摄影爱好者观察彩杆MN的视角（设为）
是否存在最大值？若存在，请求出取最大值时的值；若不存在，请说明理由．
14、在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，。
(1)
求角；
(2)
若，求的值。
15、中角A，B，C对应的边分别为a，b，c(a
≤
b
≤
c)。且
（1）求角A；
（2）求证：；
（3）若，且BC边上的中线AM长为，求的面积。
解三角形
9.2
正弦定理与余弦定理的应用
章节检测习题
时间：90分钟
总分：120分
一、选择题。（5小题共25分）
1、已知锐角三角形三边分别为3，4，a，则a的取值范围为　　
A.
B.
C.
D.
【答案】：C。
2、中，已知，，，如果有两组解，则x的取值范围　　
A.
B.
C.
D.
【答案】：B。
3、在△ABC中，已知a＝11，b＝20，A＝130°，则此三角形(　　)
A．无解
B．只有一解
C．有两解
D．解的个数不确定
【答案】：A。
4、在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，，则△ABC的形状一定是?
（???
）
A.
正三角形
B.
直角三角形
C.
等腰三角形
D.
等腰直角三角形
【答案】：B。
5、在一座50
m高的观测台台顶测得对面一水塔塔顶仰角为60°，塔底俯角为45°，那么这座塔的高为(
)
A.50(1＋)
m
B.50(1＋)
m
C.50(＋)
m
D.50(＋)
m
【答案】：B。
二、填空题。（5小题共25分）
6、一艘船以20km/h的速度向正北航行，船在A处看见灯塔B在船的东北方向，1h后船在C处看见灯塔B在船的北偏东75°的方向上，这时船与灯塔的距离BC等于______km。
【答案】：。
7、如图，设两点在河的两岸，一测量者在所在的同侧河岸边选定一点C，测出AC的距离为，，后，就可以计算出两点的距离为________。
【答案】：。
8、如图所示，一艘海轮从A处出发，测得灯塔在海轮的北偏东15°方向，与海轮相距20海里的B处，海轮按北偏西60°的方向航行了30分钟后到达C处，又测得灯塔在海轮的北偏东75°的方向，则海轮的速度为________海里/分。
【答案】：。
9、一艘海轮从A处出发，在A处观察灯塔C，其方向是南偏东。海轮以每小时60海里的速度沿南偏东方向直线航行，20分钟后到达B处。在B处观察灯塔C，其方向是北偏东。则B，C之间的距离是_________。
【答案】：。
10、在△ABC中，tan
A＋tan
B＋＝tan
Atan
B，且sin
A·cos
A＝，则此三角形为____。
【答案】：等边三角形。
三、解答题。（5小题共70分）
11、如图，海中小岛A周围38海里内有暗礁，一船正在向南航行，在B处测得小岛A在船的南偏东30°，航行30海里后，在C处测得小岛A在船的南偏东45°，如果此船不改变航向，继续向南航行，有无触礁的危险？（sin15°=0.26,
cos15°=0.97，
，）
【答案】：没有危险。
【解析】：当不改变方向设A到行道最短距离为
易得
解得
所以没危险。
12、如图，据气象部门预报，在距离某码头南偏东45°方向600km处的热带风暴中心正以20km/h的速度向正北方向移动，距风暴中心450km以内的地区都将受到影响，从现在起多长时间后，该码头将受到热带风暴的影响，影响时间大约为多长？
【答案】：15h。
【解析】：设从现在起经过x小时后该码头受到热带风暴的
影响，经x小时后热带风暴到达A点，则问题转化为A点
到O点距离小于或等于450km，而由余弦定理得，
由
得，解得，
故该码头受到热带风暴影响时间约为。
13、如图，摄影爱好者在某公园A处，发现正前方B处有一立柱，测得立柱顶端O的仰角和立柱底部B的俯角均为，已知摄影爱好者的身高约为米（将眼睛S距地面的距离SA按米处理）．
（1）求摄影爱好者到立柱的水平距离AB和立柱的高度OB；
（2）立柱的顶端有一长为2米的彩杆MN，且MN绕其中点O在摄影爱好者与立柱所在的
平面内旋转．在彩杆转动的任意时刻，摄影爱好者观察彩杆MN的视角（设为）
是否存在最大值？若存在，请求出取最大值时的值；若不存在，请说明理由．
【答案】：（1）（2）存在，。
【解析】：（1）如图，作，
依题意
又，故在中，
可求得
即摄影爱好者到立柱的水平距离AB为3米
在中，，，
，
又，故，
即立柱的高度米。
（2）存在。
因为，
所以
于是得，从而
又为锐角，
故当视角取最大值时，。
14、在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，。
(1)
求角；
(2)
若，求的值。
【答案】：（1）；（2）
【解析】：（1）由正弦定理得，
中，，
所以，
所以，，，
所以。
（2）因为，由正弦定理得，
所以，
15、中角A，B，C对应的边分别为a，b，c(a
≤
b
≤
c)。且
（1）求角A；
（2）求证：；
（3）若，且BC边上的中线AM长为，求的面积。
【答案】（1）（2）答案见解析（3）
【解析】：（1），
，
即，
。
，又，
，
（2）
则
。
（3）由及（1），知
在中，由余弦定理
得，解得。
。