1.1.1 菱形的性质与判定1 课件（共30张PPT）

(共30张PPT)
1.1.1
菱形的性质与判定1
第一章
特殊平行四边形
2021-2022学年九年级数学上册同步（北师版）
1、认识并理解菱形的定义
2、经历菱形性质定理的探索过程，学生能分类用语言归纳出边，对角线，与对称性的性质。
3、能菱形的两个基本性质，并能规范书写证明过程。
4、利用菱形的基本性质解决菱形中含有的特殊三角形的问题。
学习目标
　
四边形
平行四边形
性质
判定
边
角
对角线
对称性
温故而知新
对边平行
且相等
对角相等
互相平分
中心对称图形
A
B
C
D
两组对边
分别平行
的四边形
定义
新课导入
一、情景导入
思考：这种平行四边形特殊在哪里？
图片中有你熟悉的图形吗？
新课导入
菱形的概念及其与平行四边形的关系
图中的这些平行四边形，你能发现它们有什么样的共同特征？
平行四边形
菱形
探究新知
定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形
A
D
C
B
几何语言：
∵四边形ABCD是平行四边形
AB=BC
∴四边形ABCD是菱形
学习概念
★菱形是特殊的平行四边形
探究新知
(1)菱形具有平行四边形的所有性质，你能列举一些这样的性质吗？
(2)你认为菱形还具有哪些特殊的性质？
平行四边形
菱形
轴对称
中心对称图形
边
对边平行且相等
角
对角相等
对角线
互相平分
菱形的性质
探究新知
(1)菱形是轴对称图形吗？如果是,请指出它的对称轴.
(2)菱形的对角有什么特殊性质？
结论:
(1)菱形是轴对称图形，两条对角线所在直线都是它的对称轴.
(2)菱形的对角被对角线平分.
探究新知
(3)菱形的边有什么特殊性质？
(4)菱形的对角线有什么特殊性质?
结论:（3）菱形的四条边都相等
（4）菱形的对角线互相垂直
探究新知
已知：如图，在
ABCD中，AB=AD，
对角线AC与BD相交于点O.
求证:(1)AB
=
BC
=
CD
=AD；
(2)AC⊥BD；
A
B
C
O
D
证明:(1)∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB
=
CD，AD
=
BC
又∵AB=AD,
∴AB
=
BC
=
CD
=AD.
求证：菱形的四条边都相等,菱形的对角线互相垂直
探究新知
（2）∵AB
=
AD,
∴△ABD是等腰三角形.
又∵四边形ABCD是平行四边形
∴OB
=
OD.
在等腰△ABD中,
∵OB
=
OD，
∴AO⊥BD，即AC⊥BD
A
B
C
O
D
已知：如图，在
ABCD中，AB=AD，
对角线AC与BD相交于点O.
求证:(1)AB
=
BC
=
CD
=AD；
(2)AC⊥BD；
探究新知
∵AB
=
AD，
∴△ABD是等腰三角形
又∵AC⊥BD
∴
∠1=∠2
同理可证，
∠3=∠4，
∠5=∠6，∠7=∠8
∴AC平分∠BAD和∠BCD，BD平分∠ABC和∠ADC
A
B
C
O
D
已知：如图，在
ABCD中，AB=AD，
对角线AC与BD相交于点O.
求证:
AC平分∠BAD和∠BCD，BD平分∠ABC和∠ADC
1
2
求证：菱形的对角被对角线平分
5
6
3
4
7
8
探究新知
平行四边形
菱形的特殊性质
轴对称
中心对称图形
轴对称图形
边
对边平行且相等
四条边都相等
角
对角相等
每条对角线平分
一组对角
对角线
互相平分
互相垂直
归纳总结
菱形是特殊的平行四边形，除具有平行四边形的所有性质外，还有平行四边形所没有的特殊性质.
A
B
C
D
O
菱形的性质定理：
(1)菱形的四条边都相等
符号语言：
∵四边形ABCD是菱形
∴AB=CD=AD=BC
(2)菱形的对角线互相垂直
符号语言：
∵四边形ABCD是菱形
∴AC⊥BD
归纳总结
典例精析
类型：求线段的长度
例：
如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O
，
∠BAD=60°，BD=6，求菱形的边长AB和对角线AC的长
A
B
C
O
D
A
B
C
O
D
解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=AD，AC⊥BD
OB=
OD=
BD=
×6=3
在等腰△ABD中，
∠BAD=60°
∴
△ABD是等边三角形
∴
AB=BD=6
在Rt△ABO中，由勾股定理得
∴AC＝2OA＝2×
＝
典例精析
如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，
BD＝12cm，AC＝6cm，求菱形的周长．
解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，
AO
=
AC
=
×6=3cm
BO
=
BD
=
×12=6cm
在Rt△ABO中，由勾股定理得
∴C菱形＝4AB＝4×3
＝12
(cm)．
变式练习
1.下列说法不正确的是（
）
A．菱形的对角线互相垂直B．菱形的对角线平分各内角
C．菱形的对角线相等D．菱形的对角线交点到各边等距离
C
A
B
C
O
D
2.如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O
，
已知AB=5cm，AO=4cm，则BD的长为
.
6cm
课堂练习
3.如图，在菱形ABCD中，AC是菱形的对角线，∠D=150°，
则∠1等于（
）
A.30°
B.25
C.20°
D.15°
A
B
C
D
D
1
4.如图，在菱形ABCD中，E是AC的中点，EF∥CB，交AB于点F，如果EF=3，那么菱形ABCD的周长为（
）
A.24
B.18
C.12
D.9
A
5.菱形具有而一般平行四边形不具有的性质是
（
）
A.对角相等
B.对边相等
C.对角线互相垂直
D.对角线相等
6.如图，菱形的两条对角线长分别是6和8，则此菱形的周长是
（
）
A.40
B.32
C.24
D.20
C
D
7.
如图，菱形ABCD的周长为24
cm，对角线AC，BD相交于点O，E是AD的中点，连接OE，则线段OE的长等于（
）
A.
3cm
B.
4cm
C.
2.5cm
D.
2cm
A
8.
如图，菱形ABCD的边长为4，∠ABC=60°，
点E、F分别为AO和AB的中点，则EF的长度为（
）
A.
4
B.
3
C.
2
D.
D
11.已知菱形的一条对角线与边长相等，则菱形的四个内角度数分别为_____________________.
9.已知菱形的周长是12cm，那么它的边长是______.
10.菱形ABCD中∠ABC＝120
°，则∠BAC＝_______.
A
B
C
O
D
3
30°
60°、60°、120°、120°
12.根据下图填一填：
（1）已知菱形ABCD的周长是12cm，那么它的边长
是
______.
（2）在菱形ABCD中，∠ABC＝120
°，则∠BAC＝
_______.
（3）菱形ABCD的两条对角线长分别为6cm和8cm，
则菱形的边长是_______.
3cm
30°
A
B
C
O
D
5cm
(4)菱形的一个内角为120°,平分这个内角
的对角线长为11cm，菱形的周长为______.
44cm
13.如图，在菱形ABCD中，CE⊥AB于点E，CF⊥AD于点F，求证：AE＝AF.
证明：连接AC.
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC平分∠BAD，
又∵CE⊥AB，CF⊥AD，
∴CE＝CF
在Rt
△ACE和Rt
△
ACF.
∵
CE＝CF
，AC＝AC，
∴
Rt
△ACE≌
Rt
△ACF（HL）.
∴AE＝AF.
14.如图，四边形ABCD是菱形，F是AB上一点，DF交AC于E．
求证：∠AFD=∠CBE．
证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴CB=CD，
CA平分∠BCD．
∴∠BCE=∠DCE．
又
CE=CE，
∴△BCE≌△DCE（SAS）．
∴∠CBE=∠CDE．
∵在菱形ABCD中，AB∥CD，
∴∠AFD=∠EDC.
∴∠AFD=∠CBE．
A
D
C
B
F
E
15.如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，过点D作对角线BD的垂线交BA的延长线于点E.
（1）证明：四边形ACDE是平行四边形；
（2）若AC=8，BD=6，求△ADE的周长.
(1)证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB∥CD，AC⊥BD.
∴AE∥CD，∠AOB=90°.
∵DE⊥BD，即∠EDB=90°，∴∠AOB=∠EDB.
∴DE∥AC.∴四边形ACDE是平行四边形.
(2)∵四边形ABCD是菱形，AC=8，BD=6，
∴AO=4，DO=3.
在Rt△ABO中，由勾股定理得
AD=CD=
=5.
∵四边形ACDE是平行四边形，
∴AE=CD=5，DE=AC=8.
∴△ADE的周长为AD+AE+DE=5+5+8=18.
菱形的性质
轴对称
中心对称图形
轴对称图形
边
对边平行且相等
四条边都相等
角
对角相等
邻角互补
每条对角线平分
一组对角
对角线
互相平分
互相垂直
计算
周长=边长的四倍
课堂小结
谢谢
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