1.1.2 菱形的性质与判定2 课件(共33张PPT）

(共33张PPT)
1.1.2
菱形的性质与判定2
第一章
特殊平行四边形
2021-2022学年九年级数学上册同步（北师版）
1．理解并掌握菱形的判定方法．
2．会用这些判定方法进行有关的论证和计算．
3．经历探索菱形判定条件的过程，领会菱形的概念以及判定方法，发展学生主动探究的思想并了解说理的基本方法．
学习目标
复习与回顾：
1.菱形的定义：
2.菱形的性质：
有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。
?
?
菱形性质
边
角
对角线
对边平行
四边相等
对角相等
对角线互相平分、互相垂直且平分每一组对角
D
O
A
C
B
新课导入
　
创设情境
汶川地震后，全国各界组织发起“绿丝带行动”，号召人民为四川受灾的人们祈福。人们将绿丝带剪成小段，并用别针将折叠好的绿丝带别在胸前，如图所示，绿丝带重叠部分形成的图形是一个漂亮的菱形。你知道是怎样判断它是一个菱形的吗？
　
根据菱形的定义,可得菱形的第一个判定的方法：
AB=AD，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴四边形ABCD是菱形.
数学语言
有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.
A
B
C
D
思考
还有其他的判定方法吗？
新课导入
对角线互相垂直的平行四边形是菱形
前面我们用一长一短两根细木条,在它们的中点处固定一个小钉,做成一个可以转动的十字,四周围上一根橡皮筋,做成一个平行四边形.那么转动木条,这个平行四边形什么时候变成菱形?对此你有什么猜想？
猜想：对角线互相垂直的平行四边形是菱形.
你能证明这一猜想吗？
探究新知
A
B
C
O
D
已知：如图，四边形ABCD是平行四边形,对角线AC与BD相交于点O
，AC⊥BD.
求证：□ABCD是菱形.
证明：
∵四边形ABCD是平行四边形.
∴OA=OC.
又∵AC⊥BD,
∴BD是线段AC的垂直平分线.
∴BA=BC.
∴四边形ABCD是菱形（菱形的定义）.
证一证
对角线互相垂直的平行四边形是菱形
AC⊥BD
几何语言描述：
∵在□ABCD中，AC⊥BD,
∴
□ABCD是菱形.
A
B
C
D
菱形ABCD
A
B
C
D
□ABCD
菱形的判定定理：
归纳总结
例1
如图，
ABCD的两条对角线AC、BD相交于点O，AB=5，AO=4，BO=3.
求证：四边形ABCD是菱形.
A
B
C
D
O
又∵四边形ABCD是平行四边形，
∵
OA=4,OB=3,AB=5，
证明：
即AC⊥BD，
∴
AB2=OA2+OB2，
∴△AOB是直角三角形，
典例精析
∴四边形ABCD是菱形.
例2
如图,□ABCD的对角线AC的垂直平分线与边AD、BC分别交于点E、F,求证：四边形AFCE是菱形．
A
B
C
D
E
F
O
1
2
证明:
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AE∥FC，∴∠1=∠2.
∵EF垂直平分AC，
∴AO
=
OC
.
又∠AOE
=∠COF，
∴△AOE≌△COF，∴EO
=FO.
∴四边形AFCE是平行四边形.
又∵EF⊥AC
∴
四边形AFCE是菱形.
典例精析
在四边形ABCD中，对角线AC，BD互相平分，若添加一个条件使得四边形ABCD是菱形，则这个条件可以是
（
　
）
A．∠ABC=90°
B．AC⊥BD
C．AB=CD
D．AB∥CD
B
针对练习
四条边相等的四边形是菱形
小刚：分别以A、C为圆心,以大于
AC的长为半径作弧,两条
弧分别相交于点B
,
D,依次连接A、B、C、D四点.
已知线段AC,你能用尺规作图的方法作一个菱形ABCD,使AC为菱形的一条对角线吗？
C
A
B
D
想一想：根据小刚的作法你有什么猜想？你能验证小刚的作法对吗？
猜想：四条边相等的四边形是菱形.
探究新知
证明：∵AB=BC=CD=AD;
∴AB=CD
,
BC=AD.
∴四边形ABCD是平行四边形.
又∵AB=BC,
∴四边形ABCD是菱形.
A
B
C
D
已知：如图，四边形ABCD中,AB=BC=CD=AD.
求证：四边形ABCD是菱形.
证一证
四条边都相等的四边形是菱形
AB=BC=CD=AD
几何语言描述：
∵在四边形ABCD中，AB=BC=CD=AD，
∴四边形
ABCD是菱形.
A
B
C
D
菱形ABCD
菱形的判定定理：
归纳总结
四边形ABCD
A
B
C
D
下列命题中正确的是
（
）
A.一组邻边相等的四边形是菱形
B.三条边相等的四边形是菱形
C.四条边相等的四边形是菱形
D.四个角相等的四边形是菱形
C
针对练习
证明：
∵
∠1=
∠2,
又∵AE=AC,AD=AD,
∴
△ACD≌
△AED
(SAS).
同理△ACF≌△AEF(SAS)
.
∴CD=ED,
CF=EF.
又∵EF=ED,∴CD=ED=CF=EF,
∴四边形ABCD是菱形.
2
例3
如图,在△ABC中,
AD是角平分线,点E、F分别在
AB、
AD上,且AE=AC,EF
=
ED.
求证：四边形CDEF是菱形.
A
C
B
E
D
F
1
典例精析
例4
如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝6cm，BC＝8cm.将△ABC沿射线BC方向平移10cm，得到△DEF，A，B，C的对应点分别是D，E，F，连接AD.求证：四边形ACFD是菱形．
证明：由平移变换的性质得CF＝AD＝10cm，DF＝AC.
∵∠B＝90°，AB＝6cm，BC＝8cm，
∴AC＝DF＝AD＝CF＝10cm，
∴四边形ACFD是菱形．
四边形的条件中存在多个关于边的等量关系时，运用四条边都相等来判定一个四边形是菱形比较方便．
归纳
典例精析
由菱形的性质：“每条对角线平分一组对角”，我们还可以得到判定菱形的方法：
每条对角线平分一组对角的四边形是菱形．
对此感兴趣的同学，可以试着用逻辑推理的方法进行证明．
拓展训练
1、有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.
2、对角线互相垂直的平行四边形是菱形.
（对角线互相垂直平分的四边形是菱形.）
3、有四条边相等的四边形是菱形.
菱形的判定方法
归纳总结
4、每条对角线平分一组对角的四边形是菱形.
文字语言
图形语言
符号语言
判定法一
判定
法二
判定法三
A
B
C
D
∵AB=BC=CD=DA
∴四边形ABCD是菱形
∵在□ABCD中
AC⊥BD
∴四边形ABCD是菱形
∵在□ABCD中
AB=AD
∴四边形ABCD是菱形
A
B
C
D
O
A
B
C
D
一组邻边相等的平行四边形是菱形
对角线互相垂直的平行四边形是菱形
四边相等的四边形是菱形
菱形的三种判定方法
归纳总结
一组邻边相等
对角线互相垂直
四条边相等
五种判定方法
四边形
平行四边形
菱形
菱形的判定方法：
归纳总结
请你动脑筋
把两张等宽的纸条交叉重叠在一起，你能判断重叠部分ABCD的形状吗？
A
C
D
B
想一想
请你动脑筋
D
C
B
A
1.判断下列说法是否正确
(1)对角线互相垂直的四边形是菱形；
(2)对角线互相垂直且平分的四边形是菱形；
(3)对角线互相垂直，且有一组邻边相等的
四边形是菱形；
(4)两条邻边相等，且一条对角线平分一组
对角的四边形是菱形．
√
╳
╳
╳
2.一边长为5cm平行四边形的两条对角线的长分别为
24cm和26cm，那么平行四边形的面积是
.
312cm2
课堂练习
3.下列条件中,不能判定四边形ABCD为菱形的是
（　）
A.
AC⊥BD
,AC与BD互相平分
B.
AB=BC=CD=DA
C.
AB=BC,AD=CD,AC
⊥BD
D.
AB=CD,AD=BC,AC
⊥BD
A
B
C
O
D
C
4.如图，将△ABC沿BC方向平移得到△DCE，连接AD，下列条件能够判定四边形ACED为菱形的是（　　）
A．AB=BC
B．AC=BC
C．∠B=60°
D．∠ACB=60°
B
解析：∵将△ABC沿BC方向平移得到△DCE，
∴AC∥DE，AC=DE，
∴四边形ABED为平行四边形.
当AC=BC时，
平行四边形ACED是菱形．
故选B．
5.如图,已知平行四边形ABCD的对角线AC的垂直平分线与边AD、BC分别交于点E、F,求证：四边形AFCE是菱形．
A
B
C
D
E
F
O
1
2
证明:
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AE∥FC.
∴∠1=∠2.
∵EF垂直平分AC,
∴AO
=
OC
.
∴EO
=FO.
∴四边形AFCE是平行四边形.
又∵EF⊥AC
∴
四边形AFCE是菱形.
A
B
C
D
O
E
6.如图，已知平行四边形ABCD的对角线相交于点O，且AB=BD,DE∥AC,CE
∥BD.
求证：四边形OCED是菱形.
证明：∵DE∥AC，CE∥BD，
∴四边形OCED是平行四边形，
∵四边形ABCD是平行四边形，AB=BD,
∴OC=OD，
∴四边形OCED是菱形．
7.如图，△ABC中，AC的垂直平分线MN交AB于点D，交AC于点O，CE∥AB交MN于点E，连接AE、CD.
求证：四边形ADCE是菱形.
B
C
A
D
O
E
M
N
【分析】根据垂直平分线的性质可得AE=CE，AD=CD，OA=OC，
∠AOD=∠EOC=90°
.再结合CE∥AB，可证得△ADO≌△CEO，从而根据由一组对边平行且相等知，四边形ADCE是平行四边形.
再结合∠AOD=90°可证得四边形ADCE为菱形．
证明：∵MN是AC的垂直平分线，
∴AE=CE，AD=CD，OA=OC，∠AOD=∠EOC=90°.
∵CE∥AB，
∴∠DAO=∠ECO，
∴△ADO≌△CEO（ASA）．
∴AD=CE，OD=OE，
∵OD=OE，OA=OC，∴四边形ADCE是平行四边形
又∵∠AOD=90°，∴四边形ADCE是菱形．
A
D
O
E
M
B
C
有一组邻边相等的平行四边形是菱形.
对角线互相垂直的平行四边形是菱形.
四边相等的四边形是菱形.
运用定理进行计算和证明
菱形的判定
定义法
判定定理
课堂小结
谢谢
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