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12.3.2.2
两数和（差）的平方
课题
12.3.2.2
两数和（差）的平方
单元
第14单元
学科
数学
年级
八年级（上）
学习目标
1、通过合作学习探索得到两数差的平方公式，培养学生认识由一般法则到特殊法则的能力.2、通过观察发现两数差的平方公式的结构特征，并能从广义上理解公式中字母的含义.3、初步学会运用两数差的平方公式进行计算.
重点难点
重点:理解两数差的平方公式，运用公式进行计算.难点:从广泛意义上理解公式中的字母，判断要计算的代数式是哪两个数的差的平方
教学过程
教学环节
教师活动
设计意图
讲授新课
推导两数差的平方公式你能用图12.3.3中的面积关系来解释两数差的平方公式吗
?观察图12.3.3，用等式表示下图中图形面积的运算因为a-b
=a+(-b)，也可以利用两数和的平方公式来计算，即(a
-b)2=
[a+(-b)]2=
a2+
2a(-b)+(-b)2=
a2-2ab+b2.两数差的平方公式（ａ－ｂ）2
＝ａ2
－2ａｂ＋ｂ2
．两数差的平方，等于这两数的平方和减去它们的积的2倍。
顺口溜：首平方，尾平方，二倍乘积放中央。例5
计算:(1)
(3x
-2y)2(2)解(1)(3x-2y)2=(3x)2
-2·3x·2y
+
(2y)2=
9x2-
12xy
+4y2.(2)解法1：
=
=你还有其他解法吗?变式
计算：(1)(a+2b)2；
(2)(3a-2b)2；(3)(-3x+4y)2；
(4)(-2m-n)
2；(5)(a-b-c)
2．解：
(1)(a+2b)2
，=a2+2?a?2b+(2b)2，=a2+4ab+4b2；(2)(3a-2b)2，=(3a)2-2?3a?2b+(2b)2，=9a2-12ab+4b2；(3)(-3x+4y)2
，=(-3x)
2+2?(-3x)?4y+(4y)
2，=9x2-24xy+16y2；(4)(-2m-n)
2，=(-2m)
2+2?(-2m)?(-n)+(-n)
2，=4m2+4mn+n2；(5)(a-b-c)
2，=[(a-b)-c]
2，=(a-b)
2-2?(a-b)?c+c2，=a2+b2+c2-2ab-2ac+2bc．注意：(1)公式左边是两数差的平方;(2)公式右边是二次三项式，它是左边两数的平方和减去左边两数积的两倍。即:首平方，尾平方，二倍乘积放中央。
课堂练习：
课堂小结
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12.3.2.2
两数和（差）的平方
学案
课题
12.3.2.2
两数和（差）的平方
单元
第12章
学科
数学
年级
八年级
学习
目标
1、通过合作学习探索得到两数差的平方公式，培养学生认识由一般法则到特殊法则的能力.
2、通过观察发现两数差的平方公式的结构特征，并能从广义上理解公式中字母的含义.
3、初步学会运用两数差的平方公式进行计算.
重点
难点
重点:理解两数差的平方公式，运用公式进行计算.
难点:从广泛意义上理解公式中的字母，判断要计算的代数式是哪两个数的差的平方
导学
环节
导学过程
自
主
学
习
合
作
探
究
探究一：
推导两数差的平方公式
你能用图12.3.3中的面积关系来解释两数差的平方公式吗?
观察图12.3.3，用等式表示下图中图形面积的运算
两数差的平方公式
（ａ－ｂ）2
＝ａ2
－2ａｂ＋ｂ2
．
两数差的平方，等于这两数的平方和减去
它们的积的2倍。
探究二：
例5
计算:
(1)
(3x
-2y)2
(2)
注意：
(1)公式左边是两数差的平方;
(2)公式右边是二次三项式，它是左边两数的平方和减去左边两数积的两倍。
即:
首平方，尾平方，二倍乘积放中央。
当
堂
检
测
已知(2019-a)(2017-a)
=1000，请猜想(2019-a)?+(2017-a)?等于多少？
6.解：设x=2019-a，y=2017-a，
∴xy=1000，x-y=2，
∴x?+y?=(x-y)?+2xy
=4+2×1000，
=2004，
∴(2019-a)?+(2017-a)?=2004．
故答案为2004．
课
堂
小
结
两数差的平方公式怎样表示？
参考答案
合作探究：
探究一：
（ａ-ｂ）2
＝ａ2
-2ａｂ＋ｂ2
探究二：
解
(1)(3x-2y)2
=(3x)2
-2·3x·2y
+
(2y)2
=
9x2-
12xy
+4y2.
(2)解法1：
=
=
=
解法2：
=
=
=
课堂小结：
（ａ－ｂ）2
＝ａ2
－2ａｂ＋ｂ2
．
两数差的平方，等于这两数的平方和减去
它们的积的2倍。
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12.3.2.2
两数和（差）的平方
数学华师版
八年级上
两数和的平方，等于这两数的平方和加上它们积的2倍.
(a+b)2
=
a2+2ab+b2
用字母表示为：
这个公式叫两数和的平方公式.
等式左边是两个数(字母)和的平方.
等式右边可记为：
你平方、我平方、
你我2倍在中央.
可形象地记为：
(△+□)2
=
△2+2△□+□2
认真
观察
理解
抓住
关键
回顾
计算：
(2a+3b)2;
对照公式：(△+□)2
=
△2+2△□+□2
准确找到公式中的△、□.
(2a)2+2×2a?3b+(3b)2
解:原式=
=
4a2+12ab+9b2
想一想：为什么不写成(2a)2+(3b)2+2×2a?3b？这样写不更符合:你平方、我平方、
你我2倍在中央吗？
根据两数和的平方公式，你能推导两数差的平方公式吗？
(a-b)2=？
解:
(a-b)2=[a+(-b)]2
将(a-b)理解成省略加号的代数和的形式.
=a2+2?a?(-b)+(-b)2
=a2-2ab+b2
探索发现
这个公式叫两数差的平方公式.
两数差的平方，等于这两数的平方和减去它们积的2倍.
(a-b)2
=
a2-2ab+b2
(△-□)2
=
△2-2△□+□2
我俩有啥不同呢？
归纳
(a+b)2
=
a2+2ab+b2
(a-b)2
=
a2-2ab+b2
新知讲解
试一试
推导两数差的平方公式
你能用图12.3.3中的面积关系来解释两数差的平方公式吗
?
图12.3.3
b
b
a
a
新知讲解
试一试
观察图12.3.3，用等式表示下图中图形面积的运算
图12.3.3
b
b
a
a
=
-
+
______________
=
__________
-
________
+
_____
a2
b2
(a-b)2
2ab
新知讲解
因为a-b
=a+(-b)，也可以利用两数和的平方公式来计算，即
(a
-b)2
=
[a+(-b)]2
=
a2+
2a(-b)+(-b)2
=
a2-2ab+b2.
新知讲解
两数差的平方公式
（ａ－ｂ）2
＝ａ2
－2ａｂ＋ｂ2
．
两数差的平方，等于这两数的平方和减去
它们的积的2倍。
顺口溜：首平方，尾平方，二倍乘积放中央。
新知讲解
例5
计算:
(1)
(3x
-2y)2
(2)
新知讲解
解
(1)(3x-2y)2
=(3x)2
-2·3x·2y
+
(2y)2
=
9x2-
12xy
+4y2.
新知讲解
(2)解法1：
=
=
新知讲解
(2)解法2：
=
=
=
你还有其他解法吗?
新知讲解
变式
计算：
(1)(a+2b)2；
(2)(3a-2b)2；
(3)(-3x+4y)2；
(4)(-2m-n)
2；
(5)(a-b-c)
2．
新知讲解
解：
(1)(a+2b)2
，
=a2+2?a?2b+(2b)2，
=a2+4ab+4b2；
(2)(3a-2b)2，
=(3a)2-2?3a?2b+(2b)2，
=9a2-12ab+4b2；
新知讲解
(3)(-3x+4y)2
，
=(-3x)
2+2?(-3x)?4y+(4y)
2，
=9x2-24xy+16y2；
(4)(-2m-n)
2，
=(-2m)
2+2?(-2m)?(-n)+(-n)
2，
=4m2+4mn+n2；
新知讲解
(5)(a-b-c)
2，
=[(a-b)-c]
2，
=(a-b)
2-2?(a-b)?c+c2，
=a2+b2+c2-2ab-2ac+2bc．
注意：
(1)公式左边是两数差的平方;
(2)公式右边是二次三项式，它是左边两数的平方和减去左边两数积的两倍。
即:
首平方，尾平方，二倍乘积放中央。
新知讲解
1、下列等式中，不成立的是(
)
A.(3a-b)2=9a2-6ab+b2
B.(a+b-c)2=(c-a-b)2
C.(0.5x-y)2=0.25x2-xy+y2
D.(x+y)(x-y)(x2-y2)=x4-y4
2、判断下列计算是否正确：
(1).(-a2-b)2=a4-2a2b+b4
(
)
(2).(a-c)2=-(c-a)2
(
)
(3).(x3+2y)(x3-2y)=x9-4y2
(
)
(4).(5x-2y)(2y-5x)=-(5x-2y)2
(
)
×
×
×
√
D
课堂练习
4、若(x-y)2=0，则下列等式成立的是(
)
A.
x2+y2=2xy
B.
x2+y2=-2xy
C.
x2+y2=0
D.
x2-y2=0
3、下列多项式不能写成一个二项式
的平方的是(
)
A.9a2-6ab+b2
B.4t2+12t+9
C.
x2-4xy-4y2
D.
+m+m2
1
4
A
5、要得到(a-b)2，则a2+3ab+b2应加上(
)
A.
-ab
B.
-3ab
C.
-5ab
D.
-7ab
C
C
