6.5.2平面与平面垂直的性质 课时练习2020-2021年高一下学期数学北师大版（2019）必修第二册第六章（Word含答案解析）

平面与平面垂直的性质
1．从空间一点P向二面角α－l－β的两个面α，β分别作垂线PE，PF，E，F为垂足，若∠EPF＝60°，则二面角α－l－β的平面角的大小是(　　)
A．60°　　　　　
B．120°
C．60°或120°
D．不确定
2．如图，设平面α∩平面β＝PQ，EG⊥平面α，FH⊥平面α，垂足分别为G，H.为使PQ⊥GH，则需增加的一个条件是(　　)
A．EF⊥平面α
B．EF⊥平面β
C．PQ⊥GE
D．PQ⊥FH
3．设m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，给出如下命题：
①若α⊥β，α∩β＝m，n?α，n⊥m，则n⊥β；
②若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β；
③若α⊥β，m⊥β，m?α，则m∥α；
④若α⊥β，m∥α，则m⊥β.
其中正确命题的个数为(　　)
A．1
B．2
C．3
D．4
4．在四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，已知平面AA1C1C⊥平面ABCD，且AB＝BC，AD＝CD，则BD与CC1(　　)
A．平行
B．共面
C．垂直
D．不垂直
5．如图，二面角α－l－β的大小是60°，线段AB?α，B∈l，AB与l所成的角为30°，则AB与平面β所成的角的正弦值是(　　)
A．
B．
C．
D．
6．如图，在正方体ABCD－A′B′C′D′中：
(1)二面角D′－AB－D的大小为________．
(2)二面角A′－AB－D的大小为________．
7．已知三棱锥D－ABC的三个侧面与底面全等，且AB＝AC＝，BC＝2，则二面角D－BC－A的大小为__________．
8．如图，若边长为4和3与边长为4和2的两个矩形所在的平面互相垂直，则cos
α∶cos
β＝________.
9．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，求二面角B－A1C1－B1的正切值．
10．如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是边长为2的菱形，∠ABC＝60°，△PAB为正三角形，且侧面PAB⊥底面ABCD，E为线段AB的中点，M在线段PD上．
(1)当M是线段PD的中点时，求证：PB∥平面ACM；
(2)求证：PE⊥AC．
11．如图，在四面体ABCD中，已知AB⊥AC，BD⊥AC，那么D在平面ABC内的射影H必在(　　)
A．直线AB上
B．直线BC上
C．直线AC上
D．△ABC内部
12．在三棱锥P－ABC中，PC⊥平面ABC，∠PCA＝90°，△ABC是边长为4的正三角形，PC＝4，M是AB边上的一动点，则PM的最小值为(　　)
A．2
B．2
C．4
D．4
13．如图，直二面角α－l－β，点A∈α，AC⊥l，C为垂足，B∈β，BD⊥l，D为垂足，若AB＝2，AC＝BD＝1，则CD的长为________．
14．如图，平面ABC⊥平面ABD，∠ACB＝90°，CA＝CB，△ABD是正三角形，O为AB中点，则图中直角三角形的个数为________．
15．如图，边长为2的正方形ACDE所在的平面与平面ABC垂直，AD与CE的交点为M，AC⊥BC，且AC＝BC．
(1)求证：AM⊥平面EBC；
(2)求直线EC与平面ABE所成角的正切值．
答案
1．从空间一点P向二面角α－l－β的两个面α，β分别作垂线PE，PF，E，F为垂足，若∠EPF＝60°，则二面角α－l－β的平面角的大小是(　　)
A．60°　　　　　
B．120°
C．60°或120°
D．不确定
C　[∵PE⊥α，PF⊥β，∴P，E，F三点确定的平面垂直于α和β.
过点E作l的垂线，垂足为O，连接OF，易知l⊥OF且P，E，O，F四点共面，则∠FOE为二面角的平面角，
如图1所示．
图1
此时，∠FOE＋∠EPF＝180°，所以二面角α－l－β的平面角为120°.
当点P的位置如图2所示时，
图2
此时∠FOE＝∠EPF，所以二面角α－l－β的平面角为60°.]
2．如图，设平面α∩平面β＝PQ，EG⊥平面α，FH⊥平面α，垂足分别为G，H.为使PQ⊥GH，则需增加的一个条件是(　　)
A．EF⊥平面α
B．EF⊥平面β
C．PQ⊥GE
D．PQ⊥FH
B　[因为EG⊥平面α，PQ?平面α，所以EG⊥PQ.若EF⊥平面β，则由PQ?平面β，得EF⊥PQ.又EG与EF为相交直线，所以PQ⊥平面EFHG，所以PQ⊥GH，故选B．]
3．设m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，给出如下命题：
①若α⊥β，α∩β＝m，n?α，n⊥m，则n⊥β；
②若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β；
③若α⊥β，m⊥β，m?α，则m∥α；
④若α⊥β，m∥α，则m⊥β.
其中正确命题的个数为(　　)
A．1
B．2
C．3
D．4
B　[根据平面与平面垂直的性质知①正确；②中，α，β可能平行，也可能相交，不正确；③中，α⊥β，m⊥β，m?α时，只可能有m∥α，正确；④中，m与β的位置关系可能是m∥β或m?β或m与β相交，不正确．综上，可知正确命题的个数为2，故选B．]
4．在四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，已知平面AA1C1C⊥平面ABCD，且AB＝BC，AD＝CD，则BD与CC1(　　)
A．平行
B．共面
C．垂直
D．不垂直
C　[如图所示，在四边形ABCD中，∵AB＝BC，AD＝CD．∴BD⊥AC．∵平面AA1C1C⊥平面ABCD，平面AA1C1C∩平面ABCD＝AC，BD?平面ABCD，∴BD⊥平面AA1C1C．又CC1?平面AA1C1C，∴BD⊥CC1，故选C．]
5．如图，二面角α－l－β的大小是60°，线段AB?α，B∈l，AB与l所成的角为30°，则AB与平面β所成的角的正弦值是(　　)
A．
B．
C．
D．
B　[如图，作AO⊥β于O，AC⊥l于C，连接OB，OC，则OC⊥l，则∠ACO为二面角α－l－β的平面角，∠ABC为AB与l所成的角．
设AB与β所成的角为θ，则∠ABO＝θ.由图得sin
θ＝＝·＝sin
30°·sin
60°＝.]
6．如图，在正方体ABCD－A′B′C′D′中：
(1)二面角D′－AB－D的大小为________．
(2)二面角A′－AB－D的大小为________．
(1)45°　(2)90°　[(1)在正方体ABCD－A′B′C′D′中，AB⊥平面AD′，所以AB⊥AD′，AB⊥AD，因此∠D′AD为二面角D′－AB－D的平面角．在Rt△D′DA中，∠D′AD＝45°，所以二面角D′－AB－D的大小为45°.
(2)因为AB⊥平面AD′，所以AB⊥AD，AB⊥AA′，因此∠A′AD为二面角A′－AB－D的平面角，又∠A′AD＝90°，所以二面角A′－AB－D的大小为90°.]
7．已知三棱锥D－ABC的三个侧面与底面全等，且AB＝AC＝，BC＝2，则二面角D－BC－A的大小为__________．
90°　[如图，由题意知AB＝AC＝BD＝CD＝，BC＝AD＝2.
取BC的中点E，连接DE，AE，则AE⊥BC，DE⊥BC，所以∠DEA为所求二面角的平面角．
易得AE＝DE＝，又AD＝2，所以DE2＋AE2＝AD2，即∠DEA＝90°，即所求二面角的大小为90°.]
8．如图，若边长为4和3与边长为4和2的两个矩形所在的平面互相垂直，则cos
α∶cos
β＝________.
　[由题意，两个矩形的对角线长分别为5,2，所以cos
α＝＝，cos
β＝，所以cos
α∶cos
β＝∶2.]
9．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，求二面角B－A1C1－B1的正切值．
[解]　如图，取A1C1的中点O，连接B1O，BO.
由题意知B1O⊥A1C1，又BA1＝BC1，O为A1C1的中点，
所以BO⊥A1C1，所以∠BOB1是二面角B－A1C1－B1的平面角．
因为BB1⊥平面A1B1C1D1，OB1?平面A1B1C1D1，所以BB1⊥OB1.
设正方体的棱长为a，则OB1＝a，
在Rt△BB1O中，tan∠BOB1＝＝＝，
所以二面角B－A1C1－B1的正切值为.
10．如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是边长为2的菱形，∠ABC＝60°，△PAB为正三角形，且侧面PAB⊥底面ABCD，E为线段AB的中点，M在线段PD上．
(1)当M是线段PD的中点时，求证：PB∥平面ACM；
(2)求证：PE⊥AC．
[证明]　(1)连接BD，交AC于点O，连接MO，
∵M为PD中点，O为BD中点，∴PB∥MO.
又∵MO?面ACM，PB?面ACM，∴PB∥面ACM.
(2)∵△PAB为正三角形，E为AB的中点，∴PE⊥AB．
又∵面PAB⊥面ABCD且相交于AB，
∴PE⊥面ABCD，又AC?面ABCD，∴PE⊥AC．
11．如图，在四面体ABCD中，已知AB⊥AC，BD⊥AC，那么D在平面ABC内的射影H必在(　　)
A．直线AB上
B．直线BC上
C．直线AC上
D．△ABC内部
A　[在四面体ABCD中，已知AB⊥AC，BD⊥AC，AB∩BD＝B，∴AC⊥平面ABD．又∵AC?平面ABC，∴平面ABC⊥平面ABD，平面ABC∩平面ABD＝AB，D在平面ABC内的射影H必在直线AB上．故选A．]
12．在三棱锥P－ABC中，PC⊥平面ABC，∠PCA＝90°，△ABC是边长为4的正三角形，PC＝4，M是AB边上的一动点，则PM的最小值为(　　)
A．2
B．2
C．4
D．4
B　[如图，连接CM，则由题意PC⊥平面ABC，可得PC⊥CM，所以PM＝
，要求PM的最小值只需求出CM的最小值即可，在△ABC中，当CM⊥AB时CM有最小值，此时有CM＝4×＝2，所以PM的最小值为2.]
13．如图，直二面角α－l－β，点A∈α，AC⊥l，C为垂足，B∈β，BD⊥l，D为垂足，若AB＝2，AC＝BD＝1，则CD的长为________．
　[如图，连接BC，∵二角面α－l－β为直二面角，
AC?α，且AC⊥l，∴AC⊥β.
又BC?β，∴AC⊥BC，
∴BC2＝AB2－AC2＝3，
又BD⊥CD，∴CD＝＝.]
14．如图，平面ABC⊥平面ABD，∠ACB＝90°，CA＝CB，△ABD是正三角形，O为AB中点，则图中直角三角形的个数为________．
6　[∵CA＝CB，O为AB的中点，∴CO⊥AB．
又平面ABC⊥平面ABD，交线为AB，∴CO⊥平面ABD．
∵OD?平面ABD，∴CO⊥OD，∴△COD为直角三角形．
所以图中的直角三角形有△AOC，△COB，△ABC，△AOD，△BOD，△COD共6个．]
15．如图，边长为2的正方形ACDE所在的平面与平面ABC垂直，AD与CE的交点为M，AC⊥BC，且AC＝BC．
(1)求证：AM⊥平面EBC；
(2)求直线EC与平面ABE所成角的正切值．
[解]　(1)证明：∵平面ACDE⊥平面ABC，平面ACDE∩平面ABC＝AC，BC⊥AC，
∴BC⊥平面ACDE.
又AM?平面ACDE，∴BC⊥AM.
∵四边形ACDE是正方形，∴AM⊥CE.
又BC∩CE＝C，∴AM⊥平面EBC．
(2)如图，取AB的中点F，连接CF，EF.
∵EA⊥AC，平面ACDE⊥平面ABC，平面ACDE∩平面ABC＝AC，
∴EA⊥平面ABC，∵CF?平面ABC，∴EA⊥CF.
又AC＝BC，∴CF⊥AB．
∵EA∩AB＝A，∴CF⊥平面AEB，
∴∠CEF即为直线EC与平面ABE所成的角．
在Rt△CFE中，CF＝，FE＝，tan∠CEF＝＝.