4.3.2二倍角公式的综合应用同步练习2020-2021学年高一下学期数学北师版（2019）必修第二册第四章（Word含答案解析）

二倍角公式的综合应用
1．tan
15°等于(　　)
A．2－　　　　　
B．－
C．－
D．2＋
2．sin
xcos
x＋sin2x可化为(　　)
A．sin＋
B．sin－
C．sin＋
D．2sin＋1
3．若α∈，则
－
等于(　　)
A．cos
α－sin
α
B．cos
α＋sin
α
C．－cos
α＋sin
α
D．－cos
α－sin
α
4．已知sin
α＋cos
α＝，则2cos2－1＝(　　)
A．
B．
C．－
D．－
5．函数y＝sin＋cos的最小正周期和最大值分别为(　　)
A．π，1
B．π，
C．2π，1
D．2π，
6．设5π＜θ＜6π，cos＝a，则sin
的值为________．
7．若3sin
x－cos
x＝2sin(x＋φ)，φ∈(－π，π)，则φ＝________.
8．函数y＝sin
2x＋cos2x的最小正周期为________．
9．化简：(0<α<π)．
10．已知函数f(x)＝2sin
x·cos
x＋1－2sin2x.
(1)求f(x)的最小正周期；
(2)求f(x)在区间上的最大值与最小值．
11．(多选)如果若干个函数的图像经过平移后能够重合，则称这些函数为“同族函数”．给出下列函数，其中与函数f(x)＝sin
x－cos
x是“同族函数”的是(　　)
A．f(x)＝2sin
x·cos
x＋1
B．f(x)＝2sin
C．f(x)＝sin
x＋cos
x
D．f(x)＝sin
2x＋1
12.
设函数f(x)＝sin－cos的图象关于y轴对称，则θ＝(　　)
A．－
B．
C．－
D．
13.
函数f(x)＝sin2x＋cos
x－的最大值是________．
14．已知A＋B＝，那么cos2A＋cos2B的最大值是________，最小值是________．
15.
某高校专家楼前现有一块矩形草坪ABCD，已知草坪长AB＝100
米，宽BC＝50
米，为了便于专家平时工作、起居，该高校计划在这块草坪内铺设三条小路HE，HF和EF，并要求H是CD的中点，点E在边BC上，点F在边AD上，且∠EHF为直角，如图所示．
(1)设∠CHE＝x(弧度)，试将三条路的全长(即△HEF的周长)L表示成x的函数，并求出此函数的定义域；
(2)这三条路，每米铺设预算费用均为400
元，试问如何设计才能使铺路的总费用最低？并求出最低总费用(结果保留整数)(可能用到的参考值：取1.732，取1.414)．
答案
1．tan
15°等于(　　)
A．2－　　　　　
B．－
C．－
D．2＋
A　[tan
15°＝＝2－.]
2．sin
xcos
x＋sin2x可化为(　　)
A．sin＋
B．sin－
C．sin＋
D．2sin＋1
A　[原式＝sin
2x＋＝sin
2x－cos
2x＋＝＋＝sin＋.故选A．]
3．若α∈，则
－
等于(　　)
A．cos
α－sin
α
B．cos
α＋sin
α
C．－cos
α＋sin
α
D．－cos
α－sin
α
B　[∵α∈，∴sin
α<0，cos
α>0，则－＝－
＝|cos
α|－|sin
α|＝cos
α－(－sin
α)＝cos
α＋sin
α.]
4．已知sin
α＋cos
α＝，则2cos2－1＝(　　)
A．
B．
C．－
D．－
C　[∵sin
α＋cos
α＝，平方可得1＋sin
2α＝，可得sin
2α＝－.
2cos2－1＝cos＝sin
2α＝－.]
5．函数y＝sin＋cos的最小正周期和最大值分别为(　　)
A．π，1
B．π，
C．2π，1
D．2π，
A　[∵y＝sin＋cos＝＋
＝cos
2x，
∴该函数的最小正周期为π，最大值为1.]
6．设5π＜θ＜6π，cos＝a，则sin
的值为________．
－　[sin2＝，∵θ∈(5π，6π)，
∴∈.
∴sin
＝－＝－.]
7．若3sin
x－cos
x＝2sin(x＋φ)，φ∈(－π，π)，则φ＝________.
－　[∵3sin
x－cos
x＝2＝2sin，因φ∈(－π，π)，∴φ＝－.]
8．函数y＝sin
2x＋cos2x的最小正周期为________．
π　[y＝sin
2x＋cos2x＝sin
2x＋＝sin
2x＋cos
2x＋＝sin＋，所以该函数的最小正周期为π.]
9．化简：(0<α<π)．
[解]　∵tan＝，∴(1＋cos
α)tan＝sin
α.
又∵cos＝－sin
α，且1－cos
α＝2sin2，
∴原式＝＝＝－.
∵0<α<π，∴0<<，∴sin>0.
∴原式＝－2cos.
10．已知函数f(x)＝2sin
x·cos
x＋1－2sin2x.
(1)求f(x)的最小正周期；
(2)求f(x)在区间上的最大值与最小值．
[解]　(1)因为f(x)＝sin
2x＋cos
2x＝sin，
所以f(x)的最小正周期为π.
(2)因为－≤x≤，所以－≤2x＋≤.
当2x＋＝，即x＝时，f(x)取得最大值；
当2x＋＝－，即x＝－时，
f(x)min＝f
＝sin＋cos＝－，
即f(x)的最小值为－.
11．(多选)如果若干个函数的图像经过平移后能够重合，则称这些函数为“同族函数”．给出下列函数，其中与函数f(x)＝sin
x－cos
x是“同族函数”的是(　　)
A．f(x)＝2sin
x·cos
x＋1
B．f(x)＝2sin
C．f(x)＝sin
x＋cos
x
D．f(x)＝sin
2x＋1
BC　[A式化简f(x)＝sin
2x＋1，
C式化简f(x)＝2sin，
f(x)＝sin
x－cos
x＝2sin，
显然A中的周期、D中的振幅和周期与已知函数不符，B、C符合．]
12.
设函数f(x)＝sin－cos的图象关于y轴对称，则θ＝(　　)
A．－
B．
C．－
D．
A　[f(x)＝sin－cos＝2sin，
由题意可得f(0)＝2sin＝±2，即sin＝±1，∴θ－＝＋kπ(k∈Z)，
∴θ＝＋kπ(k∈Z).
∵|θ|<，∴k＝－1时，θ＝－.]
13.
函数f(x)＝sin2x＋cos
x－的最大值是________．
1　[由题意可得f(x)＝－cos2x＋cos
x＋
＝－(cos
x－)2＋1.
∵x∈，∴cos
x∈[0,1].
∴当cos
x＝，即x＝时，f(x)max＝1.]
14．已知A＋B＝，那么cos2A＋cos2B的最大值是________，最小值是________．
　　[∵A＋B＝，∴cos2A＋cos2B＝(1＋cos
2A＋1＋cos
2B)＝1＋(cos
2A＋cos
2B)
＝1＋cos(A＋B)cos(A－B)＝1＋coscos(A－B)＝1－cos(A－B)，
∴当cos(A－B)＝－1时，原式取得最大值；
当cos(A－B)＝1时，原式取得最小值.]
15.
某高校专家楼前现有一块矩形草坪ABCD，已知草坪长AB＝100
米，宽BC＝50
米，为了便于专家平时工作、起居，该高校计划在这块草坪内铺设三条小路HE，HF和EF，并要求H是CD的中点，点E在边BC上，点F在边AD上，且∠EHF为直角，如图所示．
(1)设∠CHE＝x(弧度)，试将三条路的全长(即△HEF的周长)L表示成x的函数，并求出此函数的定义域；
(2)这三条路，每米铺设预算费用均为400
元，试问如何设计才能使铺路的总费用最低？并求出最低总费用(结果保留整数)(可能用到的参考值：取1.732，取1.414)．
[解]　
(1)∵在Rt△CHE中，CH＝50，∠C＝90°，
∠CHE＝x，∴HE＝.
在Rt△HDF中，HD＝50，∠D＝90°，∠DFH＝x，
∴HF＝.
又∠EHF＝90°，∴EF＝，
∴三条路的全长(即△HEF的周长)L＝.
当点F在A点时，这时角x最小，求得此时x＝；
当点E在B点时，这时角x最大，求得此时x＝.
故此函数的定义域为.
(2)由题意知，要求铺路总费用最低，只要求△HEF的周长L的最小值即可．
由(1)得L＝，x∈，
设sin
x＋cos
x＝t，则sin
xcos
x＝，∴L＝＝.
由t＝sin
x＋cos
x＝sin，x∈，得≤t≤，
从而＋1≤≤＋1，
当x＝，即CE＝50时，Lmin＝100(＋1)，
当CE＝DF＝50
米时，铺路总费用最低，最低总费用为96
560
元．