第四章三角恒等变换练习2020-2021学年高一下学期数学北师大版（2019）必修第二册（Word含答案解析）

三角恒等变换
1．已知sin
θ＋cos
θ＝，且0＜θ＜，则sin
θ－cos
θ的值为(　　)
A．　　　　　　　
B．－
C．
D．－
2．若－2π＜α＜－，则
的值是(　　)
A．sin
B．cos
C．－sin
D．－cos
3．已知sin
α－cos
α＝－，则tan
α＋的值为(　　)
A．－5
B．－6
C．－7
D．－8
4.
已知tan＝，且－<α<0，则＝(　　)
A．－
B．－
C．－
D．
5．同时具有性质：①最小正周期为π；②图象关于直线x＝对称；③在上是减函数的一个函数是(　　)
A．y＝sin＋cos
B．y＝sin＋cos
C．y＝sin
2x＋cos
2x
D．y＝sin
2x－cos
2x
6．已知2cos2x＋sin
2x＝Asin(ωx＋φ)＋b(A＞0，b∈R)，则A＝________，b＝________.
7．若
＜θ＜2π，sin
θ＝－，则cos
＝________.
8.
化简：·＝________.
9．已知cos
α－sin
α＝，且π＜α＜，求的值．
10．已知函数f(x)＝coscos－sin
xcos
x＋.
(1)求函数f(x)的最小正周期和最大值；
(2)求函数f(x)在[0，π]上的单调递减区间．
11．若3sin
α＋cos
α＝0，则的值为(　　)
A．
B．
C．
D．－2
12．已知sin(α－β)＝，cos(α＋β)＝－，且α－β∈，α＋β∈，则cos
2β的值为(　　)
A．1
B．－1
C．
D．－
13．已知θ为第二象限角，tan
2θ＝－2，则＝________.
14．已知sin＋sin
α＝－，－＜α＜0，则cos等于________．
15．已知向量a＝(1，－)，b＝，函数f(x)＝a·b.
(1)若f(θ)＝0，求的值；
(2)当x∈[0，π]时，求函数f(x)的值域．
答案
1．已知sin
θ＋cos
θ＝，且0＜θ＜，则sin
θ－cos
θ的值为(　　)
A．　　　　　　　
B．－
C．
D．－
B　[∵sin
θ＋cos
θ＝，∴1＋2sin
θcos
θ＝，
则2sin
θcos
θ＝.又0＜θ＜，
所以sin
θ－cos
θ＜0，故sin
θ－cos
θ＝－＝－＝－，故选B．]
2．若－2π＜α＜－，则
的值是(　　)
A．sin
B．cos
C．－sin
D．－cos
D　[＝
＝
＝，∵－2π＜α＜－，∴－π＜＜－，
∴cos
＜0，∴＝－cos
.]
3．已知sin
α－cos
α＝－，则tan
α＋的值为(　　)
A．－5
B．－6
C．－7
D．－8
D　[∵sin
α－cos
α＝－，∴1－2sin
αcos
α＝，∴sin
αcos
α＝－，∴tan
α＋＝＋＝＝－8.]
4.
已知tan＝，且－<α<0，则＝(　　)
A．－
B．－
C．－
D．
A　[因为tan＝＝，
所以tan
α＝－，
因为－<α<0，所以sin
α＝－
，
则＝＝2sin
α＝－.]
5．同时具有性质：①最小正周期为π；②图象关于直线x＝对称；③在上是减函数的一个函数是(　　)
A．y＝sin＋cos
B．y＝sin＋cos
C．y＝sin
2x＋cos
2x
D．y＝sin
2x－cos
2x
D　[y＝sin
2x－cos
2x＝sin的最小正周期为T＝＝π；当x＝时，sin＝sin＝1，所以y＝sin
2x－cos
2x的图象关于直线x＝对称；当x∈时，2x－∈，所以函数y＝sin在上单调递减．故选D．]
6．已知2cos2x＋sin
2x＝Asin(ωx＋φ)＋b(A＞0，b∈R)，则A＝________，b＝________.
　1　[2cos2x＋sin
2x＝sin
2x＋cos
2x＋1＝sin＋1，故A＝，b＝1.]
7．若
＜θ＜2π，sin
θ＝－，则cos
＝________.
－　[∵＜θ＜2π，∴＜＜π.又sin
θ＝－，∴cos
θ＝，
∴cos
＝－＝－
＝－.]
8.
化简：·＝________.
　[原式＝·
＝·
＝·＝.]
9．已知cos
α－sin
α＝，且π＜α＜，求的值．
[解]　∵cos
α－sin
α＝，∴1－2sin
αcos
α＝，
∴2sin
αcos
α＝.
又∵α∈，∴sin
α＋cos
α＝－＝－，
∴＝＝＝＝－.
10．已知函数f(x)＝coscos－sin
xcos
x＋.
(1)求函数f(x)的最小正周期和最大值；
(2)求函数f(x)在[0，π]上的单调递减区间．
[解]　(1)因为f(x)＝coscos－sin
2x＋
＝－sin
2x＋
＝cos2
x－sin2
x－sin
2x＋
＝－－sin
2x＋
＝(cos
2x－sin
2x)＝cos，
所以函数f(x)的最小正周期为π，最大值为.
(2)由2kπ≤2x＋≤2kπ＋π，k∈Z，得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z，
函数f(x)的单调递减区间为，k∈Z.
又因为x∈[0，π]，则f(x)在[0，π]上的单调递减区间为，.
11．若3sin
α＋cos
α＝0，则的值为(　　)
A．
B．
C．
D．－2
A　[∵3sin
α＋cos
α＝0，∴tan
α＝－，
∴＝＝＝eq
\f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)))＋1,1＋2×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3))))＝，故选A．]
12．已知sin(α－β)＝，cos(α＋β)＝－，且α－β∈，α＋β∈，则cos
2β的值为(　　)
A．1
B．－1
C．
D．－
C　[由题意知cos(α－β)＝－，sin(α＋β)＝，
所以cos
2β＝cos[α＋β－(α－β)]＝cos(α＋β)cos(α－β)＋sin(α＋β)sin(α－β)＝×＋×＝.]
13．已知θ为第二象限角，tan
2θ＝－2，则＝________.
3＋2　[∵tan
2θ＝＝－2，∴tan
θ＝－或tan
θ＝.
∵＋2kπ＜θ＜π＋2kπ，k∈Z，∴tan
θ＜0，∴tan
θ＝－，
＝＝＝＝＝3＋2.]
14．已知sin＋sin
α＝－，－＜α＜0，则cos等于________．
　[因为sin＋sin
α＝－，
所以sin＋sin＝－，
所以sin＋sincos－cossin＝－，
所以sin－cos＝－，
所以－＝－，
即－cos＝－，cos＝，
所以cos＝cos＝.]
15．已知向量a＝(1，－)，b＝，函数f(x)＝a·b.
(1)若f(θ)＝0，求的值；
(2)当x∈[0，π]时，求函数f(x)的值域．
[解]　(1)∵a＝(1，－)，b＝，
∴f(x)＝a·b＝sin
x－＝sin
x－cos
x.
∵f(θ)＝0，即sin
θ－cos
θ＝0，∴tan
θ＝，
∴＝＝＝＝－2＋.
(2)由(1)知f(x)＝sin
x－cos
x＝2sin，
∵x∈[0，π]，∴x－∈，
当x－＝－，即x＝0时，f(x)min＝－；
当x－＝，即x＝时，f(x)max＝2，
∴当x∈[0，π]时，函数f(x)的值域为[－，2]．