3.1向量的数乘运算3.2向量的数乘与向量共线的关系课后习题含解析2020-2021学年高一数学北师大版必修第二册第二章平面向量及其应用（Word含答案解析）

3　从速度的倍数到向量的数乘
3.1　向量的数乘运算
3.2　向量的数乘与向量共线的关系
课后篇巩固提升
基础达标练
1.
(2019广东高二期末(理))如图,在平行四边形ABCD中,E为DC边的中点,且=a,=b,则=(　　)
　　　　　　　　　　　　　　　　
A.b-a
B.b+a
C.a+b
D.a-b
2.(多选)(2020山东微山县第二中学高一月考)下列叙述中错误的是(　　)
A.若a=b,则3a>2b
B.若a∥b,则a与b的方向相同或相反
C.若a∥b,b∥c,则a∥c
D.对任意向量a,是一个单位向量
3.(多选)已知实数m,n和向量a,b,下列说法中正确的是
(　　)
A.m(a-b)=ma-mb
B.(m-n)a=ma-na
C.若ma=mb,则a=b
D.若ma=na(a≠0),则m=n
4.已知点D为△ABC边BC上一点,且=3,则
(　　)
A.
B.
C.=-
D.
5.(2019广西壮族自治区蒙山中学高三月考(理))在△ABC中,D为AB的中点,点E满足=4,则=(　　)
A.
B.
C.
D.
6.(2a-3b)-3(a+b)=　　　　.?
7.若|a|=5,b与a的方向相反,且|b|=7,则a=　　　b.?
8.若3(c+a)+2(c-2a)-4(c-a+b)=0,则c=　　　.?
能力提升练
1.(多选)(2020山东章丘四中高三月考)下列关于平面向量的说法中不正确的是(　　)
A.已知a,b均为非零向量,则a∥b?存在唯一的实数λ,使得b=λa
B.若向量共线,则点A,B,C,D必在同一直线上
C.如果非零向量a与b不共线,且λa=μb,那么λ=μ=1
D.若点G为△ABC的重心,则=0
2.(多选)若点D,E,F分别为△ABC的边BC,CA,AB的中点,且=a,=b,则下列结论正确的是(　　)
A.=-a-b
B.=a+b
C.=-a+b
D.a
3.(2019平罗中学高三期中(理))在△ABC中,O为其内部一点,且满足+4=0,则△ABC和△AOC的面积比是(　　)
A.2
B.4
C.6
D.8
4.在四边形ABCD中,=a+2b,=-4a-b,=-5a-3b,则四边形ABCD的形状是　　　　.?
5.已知两个非零向量a,b不共线.
(1)若=a+b,=2a+8b,=3(a-b),求证:A,B,D三点共线;
(2)求实数k使ka+b与2a+kb共线.
素养培优练
　
中国的国旗和国徽上都有五角星,正五角星与黄金分割有着密切的联系.在如图所示的正五角星中,以A,B,C,D,E为顶点的多边形为正五边形,且||=|,则=(　　)
A.
B.
C.
D.
3　从速度的倍数到向量的数乘
3.1　向量的数乘运算
3.2　向量的数乘与向量共线的关系
课后篇巩固提升
基础达标练
1.
(2019广东高二期末(理))如图,在平行四边形ABCD中,E为DC边的中点,且=a,=b,则=(　　)
　　　　　　　　　　　　　　　　
A.b-a
B.b+a
C.a+b
D.a-b
解析=-a+b+a=b-a.故选A.
答案A
2.(多选)(2020山东微山县第二中学高一月考)下列叙述中错误的是(　　)
A.若a=b,则3a>2b
B.若a∥b,则a与b的方向相同或相反
C.若a∥b,b∥c,则a∥c
D.对任意向量a,是一个单位向量
解析向量不能比较大小,A错误;零向量与任意向量共线,且零向量的方向是任意的,故B错误;若b为零向量,a与c可能不是共线向量,故C错误;当a=0时,无意义,故D错误.故选ABCD.
答案ABCD
3.(多选)已知实数m,n和向量a,b,下列说法中正确的是
(　　)
A.m(a-b)=ma-mb
B.(m-n)a=ma-na
C.若ma=mb,则a=b
D.若ma=na(a≠0),则m=n
解析根据向量数乘的运算可知A和B正确;当m=0时,ma=mb=0,但a与b不一定相等,故C不正确;由ma=na,得(m-n)a=0,因为a≠0,所以m=n,故D正确.故选ABD.
答案ABD
4.已知点D为△ABC边BC上一点,且=3,则
(　　)
A.
B.
C.=-
D.
解析因为=3,所以)=.故选A.
答案A
5.(2019广西壮族自治区蒙山中学高三月考(理))在△ABC中,D为AB的中点,点E满足=4,则=(　　)
A.
B.
C.
D.
解析因为D为AB的中点,点E满足=4,
所以=-,
所以
=)-.故选A.
答案A
6.(2a-3b)-3(a+b)=　　　　.?
解析(2a-3b)-3(a+b)=a-b-3a-3b=-a-4b.
答案-a-4b
7.若|a|=5,b与a的方向相反,且|b|=7,则a=　　　b.?
解析因为|a|=5,|b|=7,
所以,又方向相反,所以a=-b.
答案-
8.若3(c+a)+2(c-2a)-4(c-a+b)=0,则c=　　　.?
解析由已知得3(c+a)+2(c-2a)-4(c-a+b)=0,
所以c+3a-4b=0,所以c=4b-3a.
答案4b-3a
能力提升练
1.(多选)(2020山东章丘四中高三月考)下列关于平面向量的说法中不正确的是(　　)
A.已知a,b均为非零向量,则a∥b?存在唯一的实数λ,使得b=λa
B.若向量共线,则点A,B,C,D必在同一直线上
C.如果非零向量a与b不共线,且λa=μb,那么λ=μ=1
D.若点G为△ABC的重心,则=0
解析由平面向量平行的推论可得A正确;向量共线,只需两向量方向相同或相反即可,点A,B,C,D不一定在同一直线上,故B错误;如果非零向量a与b不共线,且λa=μb,则λ=μ=0,故C错误;由平面向量中三角形重心的推论可得D正确.故选BC.
答案BC
2.(多选)若点D,E,F分别为△ABC的边BC,CA,AB的中点,且=a,=b,则下列结论正确的是(　　)
A.=-a-b
B.=a+b
C.=-a+b
D.a
解析如图,
在△ABC中,=-=-b-a,故A正确;=a+b,故B正确;=-b-a,=b+×(-b-a)=-a+b,故C正确;=-a,故D不正确.故选ABC.
答案ABC
3.(2019平罗中学高三期中(理))在△ABC中,O为其内部一点,且满足+4=0,则△ABC和△AOC的面积比是(　　)
A.2
B.4
C.6
D.8
解析在△ABC中,O为其内部一点,且满足+4=0,
设D是AB中点,连接OD,如图所示,则=2,且S△ABC=2S△ACD,
所以2+4=0,
所以C,O,D三点共线,且OD=2OC,
所以3S△AOC=S△ACD,所以6S△AOC=2S△ACD=S△ABC,
所以S△ABC∶S△AOC=6∶1,则△ABC和△AOC的面积比是6.故选C.
答案C
4.在四边形ABCD中,=a+2b,=-4a-b,=-5a-3b,则四边形ABCD的形状是　　　　.?
解析因为=(a+2b)+(-4a-b)+(-5a-3b)=-8a-2b=2,所以AD∥BC,且AD=2BC.所以四边形ABCD是梯形.
答案梯形
5.已知两个非零向量a,b不共线.
(1)若=a+b,=2a+8b,=3(a-b),求证:A,B,D三点共线;
(2)求实数k使ka+b与2a+kb共线.
(1)证明因为=a+b,=2a+8b+3a-3b=5a+5b=5(a+b)=5,所以共线,且有公共点B,所以A,B,D三点共线.
(2)解因为ka+b与2a+kb共线,
所以存在实数λ,使ka+b=λ(2a+kb).
所以(k-2λ)a+(1-λk)b=0,
所以
解得k=±.
素养培优练
　
中国的国旗和国徽上都有五角星,正五角星与黄金分割有着密切的联系.在如图所示的正五角星中,以A,B,C,D,E为顶点的多边形为正五边形,且||=|,则=(　　)
A.
B.
C.
D.
解析.故选A.
答案A