4.2.3三角函数的叠加及其应用 同步练习2020-2021学年高一下学期数学北师大版（2019）必修第二册第四章（Word含答案解析）

三角函数的叠加及其应用
1．计算cos
＋sin
的值是(　　)
A．
B．2
C．2
D．
2．已知函数f(x)＝cos
2x－sin
2x＋2，则(　　)
A．f(x)的最小正周期为π，最大值为3
B．f(x)的最小正周期为π，最大值为4
C．f(x)的最小正周期为2π，最大值为3
D．f(x)的最小正周期为2π，最大值为4
3．函数f(x)＝cos－cos是(　　)
A．周期为π的偶函数
B．周期为2π的偶函数
C．周期为π的奇函数
D．周期为2π的奇函数
4．函数y＝cos
2x－sin
2x的部分图象是(　　)
A　　　　　　　B
C　　　　　　　D
5.
若是函数f(x)＝sin
ωx＋cos
ωx图象的一个对称中心，则ω的一个取值是(　　)
A．2
B．4
C．6
D．8
6.
求值：cos
＋sin
＝________.
7．函数y＝sin
2x＋cos
2x的最大值为________．
8．函数y＝cos
2x＋sin
2x的单调递减区间为________．
9．已知函数f(x)＝sin
2x－cos
2x，求f(x)的最大值及取得最大值时x的值．
10.
已知函数f(x)＝sin
2x－cos
2x(其中x∈R)，求：
(1)函数f(x)的最小正周期；
(2)函数f(x)的单调区间．
11．若f(x)＝cos
x－sin
x在[－a，a]是减函数，则a的最大值是(　　)
A．
B．
C．
D．π
12．已知函数f(x)＝asin
x＋cos
x(a为常数，x∈R)的图象关于直线x＝对称，则函数g(x)＝sin
x＋acos
x的图象(　　)
A．关于点对称
B．关于点对称
C．关于直线x＝对称
D．关于直线x＝对称
13．若函数f(x)＝(1＋tan
x)cos
x,0≤x<，则f(x)的最大值为________．
14．已知实数a>0，若函数f＝a－sin
xcos
x－a的最大值为，则a的值为________．
15．已知函数f(x)＝sin
2ωx－cos
2ωx
(ω>0)的最小正周期为π.
(1)求函数f(x)的单调递增区间；
(2)将函数f(x)的图象向左平移个单位，再向上平移1个单位，得到函数y＝g(x)的图象，若y＝g(x)在[0，b](b>0)上至少含有10个零点，求b的最小值．
答案
1．计算cos
＋sin
的值是(　　)
A．
B．2
C．2
D．
C　[cos
＋sin
＝2
＝2
＝2sin＝2sin
＝2.]
2．已知函数f(x)＝cos
2x－sin
2x＋2，则(　　)
A．f(x)的最小正周期为π，最大值为3
B．f(x)的最小正周期为π，最大值为4
C．f(x)的最小正周期为2π，最大值为3
D．f(x)的最小正周期为2π，最大值为4
B　[易知f(x)＝cos
2x－sin
2x＋2＝2cos＋2，则f(x)的最小正周期为π，当2x＋＝2kπ，即x＝kπ－(k∈Z)时，f(x)取得最大值，最大值为4.]
3．函数f(x)＝cos－cos是(　　)
A．周期为π的偶函数
B．周期为2π的偶函数
C．周期为π的奇函数
D．周期为2π的奇函数
D　[因为f(x)＝cos－cos
＝－
＝－sin
x，所以函数f(x)的最小正周期为＝2π.
又f(－x)＝－sin(－x)＝sin
x＝－f(x)，所以函数f(x)为奇函数，故选D．]
4．函数y＝cos
2x－sin
2x的部分图象是(　　)
A　　　　　　　B
C　　　　　　　D
A　[由y＝cos
2x－sin
2x＝2cos可知，函数的最大值为2，故排除D；又因为函数图象过点，故排除B；又因为函数图象过点，故排除C．]
5.
若是函数f(x)＝sin
ωx＋cos
ωx图象的一个对称中心，则ω的一个取值是(　　)
A．2
B．4
C．6
D．8
C　[因为f(x)＝sin
ωx＋cos
ωx＝sin，由题意，知f＝sin＝0，所以＋＝kπ(k∈Z)，即ω＝8k－2(k∈Z)，当k＝1时，ω＝6.]
6.
求值：cos
＋sin
＝________.
　[原式＝2＝2sin
＝.]
7．函数y＝sin
2x＋cos
2x的最大值为________．
2　[∵y＝2＝2sin，
∴当2x＋＝＋2kπ，k∈Z，即x＝＋kπ，k∈Z时，函数y＝sin
2x＋cos
2x的最大值为2.]
8．函数y＝cos
2x＋sin
2x的单调递减区间为________．
(k∈Z)　[由y＝cos
2x＋sin
2x
＝cos，得2kπ≤2x－≤2kπ＋π(k∈Z)，
解得kπ＋≤x≤kπ＋(k∈Z)，所以函数的单调递减区间为(k∈Z)．]
9．已知函数f(x)＝sin
2x－cos
2x，求f(x)的最大值及取得最大值时x的值．
[解]　f(x)＝sin
2x－cos
2x＝sin.
当2x－＝＋2kπ(k∈Z)，
即x＝π＋kπ(k∈Z)时，函数f(x)取最大值，且最大值为1.
10.
已知函数f(x)＝sin
2x－cos
2x(其中x∈R)，求：
(1)函数f(x)的最小正周期；
(2)函数f(x)的单调区间．
[解]　(1)因为f(x)＝sin
2x－cos
2x＝5＝5sin，
所以函数的最小正周期T＝＝π.
(2)由2kπ－≤2x－≤2kπ＋(k∈Z)，得kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)，
所以函数f(x)的递增区间为(k∈Z)．
由2kπ＋≤2x－≤2kπ＋(k∈Z)，得kπ＋≤x≤kπ＋(k∈Z)，
所以函数f(x)的递减区间为(k∈Z)．
11．若f(x)＝cos
x－sin
x在[－a，a]是减函数，则a的最大值是(　　)
A．
B．
C．
D．π
A　[f(x)＝cos
x－sin
x＝cos，
由题意得a>0，故－a＋<，
因为f(x)＝cos在[－a，a]是减函数，所以
解得012．已知函数f(x)＝asin
x＋cos
x(a为常数，x∈R)的图象关于直线x＝对称，则函数g(x)＝sin
x＋acos
x的图象(　　)
A．关于点对称
B．关于点对称
C．关于直线x＝对称
D．关于直线x＝对称
C　[因为函数f(x)＝asin
x＋cos
x(a为常数，x∈R)的图象关于直线x＝对称，
所以f(0)＝f，所以1＝a＋，a＝，
所以g(x)＝sin
x＋cos
x＝sin，
函数g(x)的对称轴方程为x＋＝kπ＋(k∈Z)，即x＝kπ＋(k∈Z)，当k＝0时，对称轴为直线x＝，所以g(x)＝sin
x＋acos
x的图象关于直线x＝对称．]
13．若函数f(x)＝(1＋tan
x)cos
x,0≤x<，则f(x)的最大值为________．
2　[f(x)＝cos
x＋sin
x＝2sin，∵0≤x<，∴≤x＋<，
∴当x＋＝时，f(x)取最大值为2.]
14．已知实数a>0，若函数f＝a－sin
xcos
x－a的最大值为，则a的值为________．
5＋5　[设t＝sin
x＋cos
x＝sin，则t∈[－，]，
则t2＝sin
2x＋cos
2x＋2sin
xcos
x＝1＋2sin
xcos
x，
∴sin
xcos
x＝，
∴g＝f＝a－sin
xcos
x－a＝at－－a＝－t2＋at＋－a，
对称轴方程为t＝a>0，
当0当a≥时，gmax＝g＝－＋a－a＝，
解得a＝5＋5.]
15．已知函数f(x)＝sin
2ωx－cos
2ωx
(ω>0)的最小正周期为π.
(1)求函数f(x)的单调递增区间；
(2)将函数f(x)的图象向左平移个单位，再向上平移1个单位，得到函数y＝g(x)的图象，若y＝g(x)在[0，b](b>0)上至少含有10个零点，求b的最小值．
[解]　(1)f(x)＝sin
2ωx－cos
2ωx＝2sin.
由最小正周期为π，得ω＝1，所以f(x)＝2sin，
由2kπ－≤2x－≤2kπ＋(k∈Z)，整理得kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)，
所以函数f(x)的单调递增区间是(k∈Z)．
(2)将函数f(x)的图象向左平移个单位，再向上平移1个单位，得到y＝2sin
2x＋1的图象；
所以g(x)＝2sin
2x＋1.
令g(x)＝0，得x＝kπ＋或x＝kπ＋(k∈Z)，
所以g(x)在[0，π]上恰好有两个零点，若y＝g(x)在[0，b]上至少含有10个零点，则b不小于第10个零点的横坐标即可．
所以b的最小值为4π＋＝.