6.3.2刻画空间点、线、面位置关系的公理(二)2020-2021年高一下学期数学北师大版（2019）必修第二册第六章课时作业（Word含答案解析）

刻画空间点、线、面位置关系的公理(二)
1．已知空间两个角α，β，α与β的两边对应平行，且α＝60°，则β等于(　　)
A．60°
B．120°
C．30°
D．60°或120°
2．分别和两条异面直线平行的两条直线的位置关系是(　　)
A．一定平行
B．一定相交
C．一定异面
D．相交或异面
3．一条直线与两条平行线中的一条成为异面直线，则它与另一条(　　)
A．相交
B．异面
C．相交或异面
D．平行
4．空间四边形的对角线互相垂直且相等，顺次连接这个四边形各边中点，所组成的四边形是(　　)
A．梯形
B．矩形
C．平行四边形
D．正方形
5．异面直线a，b，有a?α，b?β且α∩β＝c，则直线c与a，b的关系是(　　)
A．c与a，b都相交
B．c与a，b都不相交
C．c至多与a，b中的一条相交
D．c至少与a，b中的一条相交
6．如图，正方体ABCD－A1B1C1D1中，AC与BC1所成角的大小是________．
7．一个正方体纸盒展开后如图所示，在原正方体纸盒中有如下结论：
①AB⊥EF；②AB与CM所成的角为60°；③EF与MN是异面直线；④MN∥CD．
以上结论正确的为________．(填序号)
8．在如图所示的正方体中，M，N分别为棱BC和CC1的中点，则异面直线AC和MN所成的角为________．
9．如图所示，E，F分别是长方体A1B1C1D1－ABCD的棱A1A，C1C的中点．求证：四边形B1EDF是平行四边形．
10．如图所示，在长方体ABCD－EFGH中，AB＝AD＝2，AE＝2.
(1)求直线BC和EG所成的角；
(2)求直线AE和BG所成的角．
11．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是线段BC，C1D的中点，则直线A1B与直线EF的位置关系是(　　)
A．相交
B．异面
C．平行
D．垂直
12．在三棱锥A－BCD中，AC⊥BD，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA的中点，则四边形EFGH是(　　)
A．菱形
B．矩形
C．梯形
D．正方形
13．如图，空间四边形ABCD的对角线AC＝8，BD＝6，M，N分别为AB，CD的中点，并且异面直线AC与BD所成的角为90°，则MN等于________．
14．如图所示，G，H，M，N分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线GH，MN是异面直线的图形有________(填序号)．
15．在三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1与AC，AB所成的角均为60°，∠BAC＝90°，且AB＝AC＝AA1，求异面直线A1B与AC1所成角的余弦值．
答案
1．已知空间两个角α，β，α与β的两边对应平行，且α＝60°，则β等于(　　)
A．60°
B．120°
C．30°
D．60°或120°
D　[由等角定理，知β与α相等或互补，故β＝60°或120°.]
2．分别和两条异面直线平行的两条直线的位置关系是(　　)
A．一定平行
B．一定相交
C．一定异面
D．相交或异面
D　[可能相交也可能异面，但一定不平行(否则与条件矛盾)．]
3．一条直线与两条平行线中的一条成为异面直线，则它与另一条(　　)
A．相交
B．异面
C．相交或异面
D．平行
C　[如图所示的正方体ABCD－A1B1C1D1中，直线AA1与直线B1C1是异面直线，与B1C1平行的直线有A1D1，AD，BC，显然直线AA1与A1D1相交，与BC异面．]
4．空间四边形的对角线互相垂直且相等，顺次连接这个四边形各边中点，所组成的四边形是(　　)
A．梯形
B．矩形
C．平行四边形
D．正方形
D　[如图，因为BD⊥AC，且BD＝AC，又因为E，F，G，H分别为对应边的中点，所以FGEHBD，HGEFAC．所以FG⊥HG，且FG＝HG.所以四边形EFGH为正方形．]
5．异面直线a，b，有a?α，b?β且α∩β＝c，则直线c与a，b的关系是(　　)
A．c与a，b都相交
B．c与a，b都不相交
C．c至多与a，b中的一条相交
D．c至少与a，b中的一条相交
D　[若c与a，b都不相交，∵c与a都在α内，∴a∥c.
又c与b都在β内，∴b∥c.
由基本事实4，可知a∥b，与已知条件矛盾．
如图，只有以下三种情况．
]
6．如图，正方体ABCD－A1B1C1D1中，AC与BC1所成角的大小是________．
60°　[连接AD1，则AD1∥BC1.∴∠CAD1(或其补角)就是AC与BC1所成的角，连接CD1，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，AC＝AD1＝CD1，∴∠CAD1＝60°，即AC与BC1所成的角为60°.]
7．一个正方体纸盒展开后如图所示，在原正方体纸盒中有如下结论：
①AB⊥EF；②AB与CM所成的角为60°；③EF与MN是异面直线；④MN∥CD．
以上结论正确的为________．(填序号)
①③　[把正方体的平面展开图还原成原来的正方体可知，AB⊥EF，EF与MN是异面直线，AB∥CM，MN⊥CD，只有①③正确．]
8．在如图所示的正方体中，M，N分别为棱BC和CC1的中点，则异面直线AC和MN所成的角为________．
60°　[连接BC1，AD1(图略)，∵MN∥BC1∥AD1，
∴∠D1AC或其补角是异面直线AC和MN所成的角，连接CD1(图略)．
∵△ACD1是等边三角形，∴∠D1AC＝60°.]
9．如图所示，E，F分别是长方体A1B1C1D1－ABCD的棱A1A，C1C的中点．求证：四边形B1EDF是平行四边形．
[证明]　设Q是DD1的中点，连接EQ，QC1.
∵E是AA1的中点，∴EQA1D1.
又在矩形A1B1C1D1中，A1D1B1C1，
∴EQB1C1(基本事实4)．
∴四边形EQC1B1为平行四边形．∴B1E
C1Q.
又∵Q，F是DD1，C1C两边的中点，∴QDC1F.
∴四边形QDFC1为平行四边形．
∴C1QDF.
∴B1EDF.
∴四边形B1EDF为平行四边形．
10．如图所示，在长方体ABCD－EFGH中，AB＝AD＝2，AE＝2.
(1)求直线BC和EG所成的角；
(2)求直线AE和BG所成的角．
[解]　(1)连接AC(图略)．∵EG∥AC，∴∠ACB即是BC和EG所成的角．
∵在长方体ABCD－EFGH中，AB＝AD＝2，AE＝2，
∴tan∠ACB＝1，∴∠ACB＝45°，
∴直线BC和EG所成的角是45°.
(2)∵AE∥BF，∴∠FBG即是AE和BG所成的角．
易知tan∠FBG＝，∴∠FBG＝60°，
∴直线AE和BG所成的角是60°.
11．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是线段BC，C1D的中点，则直线A1B与直线EF的位置关系是(　　)
A．相交
B．异面
C．平行
D．垂直
A　[如图所示，连接BD1，CD1，CD1与C1D交于点F，由题意可得四边形A1BCD1是平行四边形，在平行四边形A1BCD1中，E，F分别是线段BC，CD1的中点，所以EF∥BD1，所以直线A1B与直线EF相交，故选A．]
12．在三棱锥A－BCD中，AC⊥BD，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA的中点，则四边形EFGH是(　　)
A．菱形
B．矩形
C．梯形
D．正方形
B　[如图，在△ABD中，点H，E分别为边AD，AB的中点，所以HEBD，同理GFBD，所以HEGF，所以四边形EFGH为平行四边形．又AC⊥BD，所以HG⊥HE，所以四边形EFGH是矩形，故选B．]
13．如图，空间四边形ABCD的对角线AC＝8，BD＝6，M，N分别为AB，CD的中点，并且异面直线AC与BD所成的角为90°，则MN等于________．
5　[取AD的中点P，连接PM，PN，则BD∥PM，AC∥PN，∴∠MPN即异面直线AC与BD所成的角，∴∠MPN＝90°，PN＝AC＝4，PM＝BD＝3，∴MN＝5.]
14．如图所示，G，H，M，N分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线GH，MN是异面直线的图形有________(填序号)．
②④　[①中，∵G，M是中点，∴AGBM，
∴GMABHN，
∴GH∥MN，即G，H，M，N四点共面；
②中，∵H，G，N三点共面，且都在平面HGN内，而点M显然不在平面HGN内，∴H，G，M，N四点不共面，即GH与MN异面；
③中，∵G，M是中点，
∴GMCD，
∴GMHN，∴H，G，M，N四点共面；
④中，同②，G，H，M，N四点不共面，即GH与MN异面．]
15．在三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1与AC，AB所成的角均为60°，∠BAC＝90°，且AB＝AC＝AA1，求异面直线A1B与AC1所成角的余弦值．
[解]　如图所示，把三棱柱补为四棱柱ABDC－A1B1D1C1，连接BD1，A1D1，AD，由四棱柱的性质知BD1∥AC1，则∠A1BD1就是异面直线A1B与AC1所成的角．
设AB＝a，∵AA1与AC，AB所成的角均为60°，且AB＝AC＝AA1，
∴A1B＝a，BD1＝AC1＝2AA1·cos
30°＝a.
又∠BAC＝90°，∴在矩形ABDC中，AD＝a，
∴A1D1＝a，
∴A1D＋A1B2＝BD，∴∠BA1D1＝90°，
∴在Rt△BA1D1中，cos∠A1BD1＝＝＝.