6.5.1直线与平面垂直的判定 课时练习2020-2021年高一下学期数学北师大版（2019）必修第二册第六章（Word含答案解析）

直线与平面垂直的判定
1．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，下面结论错误的是(　　)
A．BD∥平面CB1D1
B．AC1⊥BD
C．AC1⊥平面CB1D
D．异面直线AD与CB1所成的角为45°
2．下列四个命题中，正确的是(　　)
①若一条直线垂直于一个平面内的无数条直线，则这条直线与这个平面垂直；
②若一条直线平行于一个平面，则垂直于这条直线的直线必垂直于这个平面；
③若一条直线平行于一个平面，另一条直线垂直于这个平面，则这两条直线互相垂直；
④若两条直线垂直，则过其中一条直线有唯一一个平面与另一条直线垂直．
A．①②　　　　　　
B．②③
C．②④
D．③④
3．空间四边形ABCD的四边相等，则它的两对角线AC，BD的关系是(　　)
A．垂直且相交
B．相交但不一定垂直
C．垂直但不相交
D．不垂直也不相交
4．如图，α∩β＝l，点A，C∈α，点B∈β，且BA⊥α，BC⊥β，那么直线l与直线AC的关系是(　　)
A．异面
B．平行
C．垂直
D．不确定
5．如图，在三棱锥P－ABC中，PA⊥平面ABC，AB⊥BC，PA＝AB，D为PB的中点，则下列结论正确的有(　　)
①BC⊥平面PAB；②AD⊥PC；③AD⊥平面PBC；④PB⊥平面ADC．
A．0个
B．1个
C．2个
D．3个
6.
如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，与AD1垂直的平面是________．
7．已知PA垂直于平行四边形ABCD所在的平面，若PC⊥BD，则平行四边形ABCD一定是________．
8.
如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别是棱AA1和AB上的点，若∠B1MN是直角，则∠C1MN＝__________.
9．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是棱AB，BC的中点，O是底面ABCD的中心，求证：EF⊥平面BB1O.
10．如图，三棱锥A－SBC中，∠BSC＝90°，∠ASB＝∠ASC＝60°，SA＝SB＝SC．求直线AS与平面SBC所成的角．
11．如图，在正方形ABCD中，E，F分别是BC，CD的中点，G是EF的中点，现在沿AE，AF及EF把这个正方形折成一个空间图形，使B，C，D三点重合，重合后的点记为H，那么，在这个空间图形中必有(　　)
A．AG⊥△EFH所在平面
B．AH⊥△EFH所在平面
C．HF⊥△AEF所在平面
D．HG⊥△AEF所在平面
12．如图所示，在正三棱柱ABC－A1B1C1中，若AB∶BB1＝∶1，则AB1与平面BB1C1C所成角的大小为(　　)
A．45°
B．60°
C．30°
D．75°
13．在直三棱柱ABC－A1B1C1中，BC＝CC1，当底面A1B1C1满足条件________时，有AB1⊥BC1.(注：填上你认为正确的一种条件即可，不必考虑所有可能的情况)
14．如图，四棱锥S－ABCD底面为正方形，SD⊥底面ABCD，则下列结论中正确的有________个．
①AC⊥SB；
②AB∥平面SCD；
③SA与平面ABCD所成的角是∠SAD；
④AB与SC所成的角等于DC与SC所成的角．
15．在矩形ABCD中，AB＝1，BC＝a，PA⊥平面ABCD，且PA＝1，边BC上是否存在点Q，使得PQ⊥QD？为什么？
答案
1．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，下面结论错误的是(　　)
A．BD∥平面CB1D1
B．AC1⊥BD
C．AC1⊥平面CB1D
D．异面直线AD与CB1所成的角为45°
C　[由正方体的性质得BD∥B1D1，且BD?平面CB1D1，所以BD∥平面CB1D1，故A正确；因为BD⊥平面ACC1A1，所以AC1⊥BD，故B正确；异面直线AD与CB1所成的角即为AD与DA1所成的角，故为45°，所以D正确．]
2．下列四个命题中，正确的是(　　)
①若一条直线垂直于一个平面内的无数条直线，则这条直线与这个平面垂直；
②若一条直线平行于一个平面，则垂直于这条直线的直线必垂直于这个平面；
③若一条直线平行于一个平面，另一条直线垂直于这个平面，则这两条直线互相垂直；
④若两条直线垂直，则过其中一条直线有唯一一个平面与另一条直线垂直．
A．①②　　　　　　
B．②③
C．②④
D．③④
D　[①②不正确．]
3．空间四边形ABCD的四边相等，则它的两对角线AC，BD的关系是(　　)
A．垂直且相交
B．相交但不一定垂直
C．垂直但不相交
D．不垂直也不相交
C　[如图，取BD中点O，连接AO，CO，
则BD⊥AO，BD⊥CO，且AO∩CO＝O，
∴BD⊥平面AOC，又AC?平面AOC，∴BD⊥AC，
又BD，AC异面，∴选C．]
4．如图，α∩β＝l，点A，C∈α，点B∈β，且BA⊥α，BC⊥β，那么直线l与直线AC的关系是(　　)
A．异面
B．平行
C．垂直
D．不确定
C　[∵BA⊥α，α∩β＝l，l?α，∴BA⊥l.同理BC⊥l.又BA∩BC＝B，∴l⊥平面ABC．∵AC?平面ABC，∴l⊥AC．]
5．如图，在三棱锥P－ABC中，PA⊥平面ABC，AB⊥BC，PA＝AB，D为PB的中点，则下列结论正确的有(　　)
①BC⊥平面PAB；②AD⊥PC；③AD⊥平面PBC；④PB⊥平面ADC．
A．0个
B．1个
C．2个
D．3个
D　[∵PA⊥平面ABC，BC?平面ABC，则PA⊥BC，又AB⊥BC，PA∩AB＝A，
故BC⊥平面PAB，①
正确；
∵BC⊥平面PAB，AD?平面PAB，∴BC⊥AD，
又PA＝AB，D为PB的中点，故AD⊥PB，又BC∩PB＝B，故AD⊥平面PBC，
∵PC?平面PBC，故AD⊥PC，②③正确；
若PB⊥平面ADC，CD?ADC，故PB⊥CD，D为PB的中点，故CB＝CP，
又PC>AC>BC，故CB＝CP不成立，故④错误；故选D．]
6.
如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，与AD1垂直的平面是________．
A1DB1　[∵AD1⊥A1D，AD1⊥A1B1，A1D∩A1B1＝A1，A1D，A1B1?平面A1DB1，∴AD1⊥平面A1DB1.]
7．已知PA垂直于平行四边形ABCD所在的平面，若PC⊥BD，则平行四边形ABCD一定是________．
菱形　[如图，∵PA⊥平面ABCD，BD?平面ABCD，∴BD⊥PA．又BD⊥PC，PA∩PC＝P，∴BD⊥平面PAC．又AC?平面PAC，∴BD⊥AC．∴平行四边形ABCD为菱形．]
8.
如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别是棱AA1和AB上的点，若∠B1MN是直角，则∠C1MN＝__________.
90°　[∵B1C1⊥平面ABB1A1，MN?平面ABB1A1，∴B1C1⊥MN.又∵MN⊥B1M，B1M∩B1C1＝B1，∴MN⊥平面C1B1M，∴MN⊥C1M，即∠C1MN＝90°.]
9．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是棱AB，BC的中点，O是底面ABCD的中心，求证：EF⊥平面BB1O.
[证明]　∵ABCD为正方形，
∴AC⊥BO.
又∵BB1⊥平面ABCD，AC?平面ABCD，∴AC⊥BB1，
又∵BO∩BB1＝B，∴AC⊥平面BB1O，又EF是△ABC的中位线，∴EF∥AC，∴EF⊥平面BB1O.
10．如图，三棱锥A－SBC中，∠BSC＝90°，∠ASB＝∠ASC＝60°，SA＝SB＝SC．求直线AS与平面SBC所成的角．
[解]　因为∠ASB＝∠ASC＝60°，SA＝SB＝SC，所以△ASB与△SAC都是等边三角形．
因此，AB＝AC．
如图，取BC的中点D，连接AD，SD，则AD⊥BC．设SA＝a，
则在Rt△SBC中，BC＝a，CD＝SD＝a.
在Rt△ADC中，AD＝＝a，
则AD2＋SD2＝SA2，所以AD⊥SD．
又BC∩SD＝D，所以AD⊥平面SBC．
因此，∠ASD即为直线AS与平面SBC所成的角．
在Rt△ASD中，SD＝AD＝a，所以∠ASD＝45°，
即直线AS与平面SBC所成的角为45°.
11．如图，在正方形ABCD中，E，F分别是BC，CD的中点，G是EF的中点，现在沿AE，AF及EF把这个正方形折成一个空间图形，使B，C，D三点重合，重合后的点记为H，那么，在这个空间图形中必有(　　)
A．AG⊥△EFH所在平面
B．AH⊥△EFH所在平面
C．HF⊥△AEF所在平面
D．HG⊥△AEF所在平面
B　[根据折叠前、后AH⊥HE，AH⊥HF不变，∴AH⊥平面EFH.]
12．如图所示，在正三棱柱ABC－A1B1C1中，若AB∶BB1＝∶1，则AB1与平面BB1C1C所成角的大小为(　　)
A．45°
B．60°
C．30°
D．75°
A　[如图，取BC的中点D，连接AD，B1D，
∵AD⊥BC且AD⊥BB1，∴AD⊥平面BCC1B1，
∴∠AB1D即为AB1与平面BB1C1C所成的角．
设AB＝，则AA1＝1，AD＝，AB1＝，
∴sin∠AB1D＝＝，∴∠AB1D＝45°.故选A．]
13．在直三棱柱ABC－A1B1C1中，BC＝CC1，当底面A1B1C1满足条件________时，有AB1⊥BC1.(注：填上你认为正确的一种条件即可，不必考虑所有可能的情况)
A1C1⊥B1C1　[如图所示，连接B1C．由BC＝CC1，可得BC1⊥B1C．因此，要得AB1⊥BC1，则需BC1⊥平面AB1C，即只需AC⊥BC1即可．由直三棱柱可知，只要满足AC⊥BC即可．而A1C1∥AC，B1C1∥BC，故只要满足A1C1⊥B1C1即可．]
14．如图，四棱锥S－ABCD底面为正方形，SD⊥底面ABCD，则下列结论中正确的有________个．
①AC⊥SB；
②AB∥平面SCD；
③SA与平面ABCD所成的角是∠SAD；
④AB与SC所成的角等于DC与SC所成的角．
4　[∵SD⊥平面ABCD，AC?平面ABCD，∴SD⊥AC．∵四边形ABCD为正方形，
∴BD⊥AC，又SD∩BD＝D，∴AC⊥平面SBD，而SB?平面SBD，∴AC⊥SB，故①正确．
∵AB∥CD，AB?平面SDC，CD?平面SDC，∴AB∥平面SCD，故②正确．
∵SD⊥平面ABCD，∴SA在底面上的射影为AD，
∴SA与底面ABCD所成的角为∠SAD，③正确．
∵AB∥CD，故④也正确．]
15．在矩形ABCD中，AB＝1，BC＝a，PA⊥平面ABCD，且PA＝1，边BC上是否存在点Q，使得PQ⊥QD？为什么？
[解]　∵PA⊥平面ABCD，QD?平面ABCD，∴PA⊥QD．
若边BC上存在一点Q，使得QD⊥AQ，又PA∩AQ＝A，
则有QD⊥平面PAQ，又PQ?平面PAQ，从而QD⊥PQ.
在矩形ABCD中，当AD＝a<2时，直线BC与以AD为直径的圆相离，
故不存在点Q，使AQ⊥DQ.
∴当a≥2时，才存在点Q，使得PQ⊥QD．