6.6.1柱、锥、台的侧面展开与面积课时练习2020-2021年高一下学期数学北师大版（2019）必修第二册第六章（Word含答案解析）

柱、锥、台的侧面展开与面积
1．已知一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，则这个圆柱的表面积与侧面积的比是(　　)
A．
B．
C．
D．
2．将边长为1的正方形以其一边所在直线为旋转轴旋转一周，所得几何体的侧面积是(　　)
A．4π
B．3π
C．2π
D．π
3．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，三棱锥D1－AB1C的表面积与正方体的表面积的比为(　　)
A．1∶1
B．1∶
C．1∶
D．1∶2
4．已知某圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，母线长为3，圆台的侧面积为84π，则该圆台较小底面的半径为(　　)
A．7
B．6
C．5
D．3
5．如图所示，侧棱长为1的正四棱锥，若底面周长为4，则这个棱锥的侧面积为(　　)
A．5
B．
C．
D．＋1
6．棱长都是3的三棱锥的侧面积S为________．
7．若圆台的上、下底面半径和母线长的比为1∶4∶5，高为8，则其侧面积为________．
8．一个圆锥的表面积为πa
m2，且它的侧面展开图是一个半圆面，则圆锥的底面半径为________m.
9．一个直角梯形ABCD的两底边长分别为AD＝2，BC＝5，高AB＝4，将其绕较长的底边旋转一周，求所得旋转体的表面积．
10．正四棱锥的侧面积是底面积的2倍，高是3，求它的侧面积．
11．已知一个圆柱的底面半径和高分别为r和h，h<2πr，侧面展开图是一个长方形，这个长方形的长是宽的2倍，则该圆柱的表面积与侧面积的比是(　　)
A．
B．
C．
D．
12．一个正三棱台的上、下底面边长分别为3
cm和6
cm，高是
cm.则三棱台的侧面积为(　　)
A．27
cm2
B．
cm2
C．
cm2
D．
cm2
13．长方体ABCD－A1B1C1D1中，宽、长、高分别为3、4、5，现有一个小虫从A出发沿长方体表面爬行到C1来获取食物，则其路程的最小值为________．
14．如图，底面为菱形的直棱柱ABCD－A1B1C1D1的两个对角面ACC1A1和BDD1B1的面积分别为6和8，则棱柱的侧面积为________．
15．一个圆锥的底面半径为2
cm，高为6
cm，在其内部有一个高为x
cm的内接圆柱．
(1)求圆锥的侧面积．
(2)当x为何值时，圆柱的侧面积最大？并求出侧面积的最大值．
答案
1．已知一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，则这个圆柱的表面积与侧面积的比是(　　)
A．
B．
C．
D．
A　[设圆柱底面半径、母线长分别为r，l，由题意知l＝2πr，S侧＝l2＝4π2r2.
S表＝S侧＋2πr2＝4π2r2＋2πr2＝2πr2(2π＋1)，＝＝.]
2．将边长为1的正方形以其一边所在直线为旋转轴旋转一周，所得几何体的侧面积是(　　)
A．4π
B．3π
C．2π
D．π
C　[底面圆半径为1，高为1，侧面积S＝2πrh＝2π×1×1＝2π.故选C．]
3．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，三棱锥D1－AB1C的表面积与正方体的表面积的比为(　　)
A．1∶1
B．1∶
C．1∶
D．1∶2
C　[设正方体棱长为a，由题意知，三棱锥的各面都是正三角形，其表面积为4S△AB1D1＝4×a2＝2a2.正方体的表面积为6a2，∴三棱锥D1－AB1C的表面积与正方体的表面积的比为2a2∶6a2＝1∶.]
4．已知某圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，母线长为3，圆台的侧面积为84π，则该圆台较小底面的半径为(　　)
A．7
B．6
C．5
D．3
A　[设圆台较小底面的半径为r，则另一底面的半径为3r.由S侧＝3π(r＋3r)＝84π，解得r＝7.]
5．如图所示，侧棱长为1的正四棱锥，若底面周长为4，则这个棱锥的侧面积为(　　)
A．5
B．
C．
D．＋1
B　[设底面边长为a，则由底面周长为4，得
a＝1，SE＝＝，∴S侧＝4×××1＝.]
6．棱长都是3的三棱锥的侧面积S为________．
　[因为三棱锥的四个面是全等的正三角形，所以S＝3××32＝.]
7．若圆台的上、下底面半径和母线长的比为1∶4∶5，高为8，则其侧面积为________．
100π　[设圆台上、下底面半径分别为r和R，母线长为l，设r＝k，R＝4k，l＝5k(k>0)，则(5k)2－(3k)2＝82，∴k＝2，从而r＝2，R＝8，l＝10，S侧＝π(2＋8)×10＝100π.]
8．一个圆锥的表面积为πa
m2，且它的侧面展开图是一个半圆面，则圆锥的底面半径为________m.
　[设圆锥的母线长为l，底面半径为r，则解得r＝.]
9．一个直角梯形ABCD的两底边长分别为AD＝2，BC＝5，高AB＝4，将其绕较长的底边旋转一周，求所得旋转体的表面积．
[解]　如图，作DM⊥BC于点M，则DM＝AB＝4，MC＝BC－AD＝5－2＝3.
在Rt△CMD中，CD＝＝＝5.
当梯形ABCD绕底边BC旋转一周后，得到同底的圆柱与圆锥的组合体，其中AB边形成圆柱的一个底面，AD边形成圆柱的侧面，CD边形成圆锥的侧面，将它们的面积分别设为S1，S2，S3，则所求旋转体的表面积为S＝S1＋S2＋S3，即S＝π×42＋2π×4×2＋π×4×5＝16π＋16π＋20π＝52π.故所求旋转体的表面积是52π.
10．正四棱锥的侧面积是底面积的2倍，高是3，求它的侧面积．
[解]　如图，设PO＝3，PE是斜高，
∵S侧＝2S底，∴4××BC×PE＝2BC2，∴BC＝PE.
在Rt△POE中，PO＝3，OE＝BC＝PE.
∴9＋＝PE2，∴PE＝2.
∴S底＝BC2＝PE2＝(2)2＝12.
S侧＝2S底＝2×12＝24.
11．已知一个圆柱的底面半径和高分别为r和h，h<2πr，侧面展开图是一个长方形，这个长方形的长是宽的2倍，则该圆柱的表面积与侧面积的比是(　　)
A．
B．
C．
D．
A　[由题意可知2h＝2πr，∴h＝πr，则该圆柱的表面积与侧面积的比是＝＝＝，选A．]
12．一个正三棱台的上、下底面边长分别为3
cm和6
cm，高是
cm.则三棱台的侧面积为(　　)
A．27
cm2
B．
cm2
C．
cm2
D．
cm2
B　[如图，O1，O分别是上、下底面中心，则O1O＝
cm，
连接A1O1并延长交B1C1于点D1，连接AO并延长交BC于点D，连接DD1，过D1作D1E⊥AD于点E.
在Rt△D1ED中，D1E＝O1O＝
cm，
DE＝DO－OE＝DO－D1O1＝××(6－3)＝
(cm)，
DD1＝＝eq
\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2))))＝
(cm)，
所以S正三棱台侧＝3×(c＋c′)·DD1＝
(cm2)．]
13．长方体ABCD－A1B1C1D1中，宽、长、高分别为3、4、5，现有一个小虫从A出发沿长方体表面爬行到C1来获取食物，则其路程的最小值为________．
　[把长方体含AC1的面作展开图，有三种情形如图所示：利用勾股定理可得AC1的长分别为、、.
由此可见图(2)是最短路线，其路程的最小值为.]
14．如图，底面为菱形的直棱柱ABCD－A1B1C1D1的两个对角面ACC1A1和BDD1B1的面积分别为6和8，则棱柱的侧面积为________．
20　[设底面边长为x，高为h，则有AC＝，BD＝，
∵底面ABCD为菱形，∴AC与BD互相垂直平分，
∴x2＝＋＝，∴x＝，∴S侧＝4x·h＝4××h＝20.]
15．一个圆锥的底面半径为2
cm，高为6
cm，在其内部有一个高为x
cm的内接圆柱．
(1)求圆锥的侧面积．
(2)当x为何值时，圆柱的侧面积最大？并求出侧面积的最大值．
[解]　(1)圆锥的母线长为＝2(cm)，
∴圆锥的侧面积S1＝π×2×2＝4
π(cm2)．
(2)画出圆锥的轴截面如图所示：
设圆柱的底面半径为r
cm，由题意，知＝，
∴r＝，∴圆柱的侧面积S2＝2πrx＝(－x2＋6x)＝－[(x－3)2－9]，
∴当x＝3时，圆柱的侧面积取得最大值，且最大值为6π
cm2.